2.4.2 简单幂函数的图象和性质（18大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

2.4.2 简单幂函数的图象和性质 知识点一 幂函数的概念 ★1、幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 注意点： (1)自变量前的系数是1. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数． (4)函数的定义域与α有关． 知识点二 幂函数的图象 注意点： (1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． (2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高). 知识点三 幂函数的性质及应用 ★1、五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 增函数 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 注意点： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上，函数单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)若α为奇数，则幂函数为奇函数， 若α为偶数，则幂函数为偶函数． 题型一、画出具体幂函数图象 解题技巧提炼 幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象，当α<0时，图象类似于y＝x－1；当0<α<1时，图象类似于y＝；当α>1时，图象类似于y＝x3. ②根据幂函数的定义域及奇偶性确定在其他象限内的图象． (2)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为 ①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)． ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 1．求下列函数的定义域，并作出它们的大致图象： (1)； (2)； (3)． 2．作出函数的图象 3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 4．已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 题型二、幂函数图像的识别 解题技巧提炼 幂函数的图象在第一象限内具有如下特征:在平面直角坐标系中,直线y=1,y=x将直线x=1的右侧部分分为(I)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域,α∈(1,+∞)⇔幂函数的图象经过区域(I);α∈(0,1)⇔幂函数的图象经过区域(Ⅱ);α∈(-∞,0)⇔幂函数的图象经过区域(Ⅲ).在直线x=1的右侧,从x轴向上,幂函数的指数α由小到大递增,即“指大图高” 5．作出函数的大致图像． 6．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·福建厦门·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型三、根据实际问题作幂函数图象 解题技巧提炼 第一步,画出第一象限的部分.幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象:当α<0时,以y=x-1为代表;当0<x<1时,以y=x为代表;当α>1时,以y=x2为代表； 第二步,求幂函数的定义域.幂函数在第二或第三象限内是否有图象,取决于其定义域； 第三步,若幂函数在y轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出y轴左侧的图象. 9．（23-24高一上·河南南阳·期末）如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·湖南长沙·期中）在直角梯形中，，，，，直线截这个梯形位于此直线左方的图形的面积（如图中阴影部分）为，则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 12．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的函数图象是（    ）. A． B． C． D． 题型四、幂函数图象的应用 解题技巧提炼 幂指数对图象的影响： 当a=1时,y=x的图象是一条直线; 当a=1时,y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包含点(0,1)的直线; 当α为其他值时,相应幂函数的图象如下表： 13．已知图甲是函数的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（    ）.    A． B． C． D． 14．函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 15．（23-24高二下·福建福州·期末）高斯取整函数又称“下取整函数”，其中表示不大于的最大整数，如．若函数，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．2 16．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数的定义域为，，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．若对任意的，都有，则的取值范围是 D．若，则有3个互不相等的实数根 17．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 18．已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 题型五、判断函数是否是幂函数 解题技巧提炼 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数． 19．判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 20．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·四川广安·期中）下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 22．（23-24高一上·山东青岛·期中）下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（    ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点 23．（23-24高一上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．函数在单调递增 D．幂函数的图像都过点 题型六、求幂函数的值 解题技巧提炼 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定,要保证解析式有意义.值域要在定义域范围内求解 24．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 25．已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 26．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ． 27．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 28．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 29．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 题型七、求幂函数的解析式 解题技巧提炼 一般使用待定系数法求幂函数的解析式 30．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 31．（2024高二下·湖南·学业考试）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 32．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 33．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 34．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求的取值范围. 题型八、根据函数是幂函数求参数 解题技巧提炼 根据幂函数定义和单调性列方程或不等式进行求参数的值或取值范围. 35．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 36．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 37．（24-25高三上·重庆·开学考试）若幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 38．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ． 39．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 题型九、求幂函数的定义域 解题技巧提炼 幂函数的定义域由幂指数α确定: (1)当幂指数为正整数时,定义域为R; (2)当幂指数为零或负整数时,定义域为(-∞，0)∪(0,+∞): (3)当幂指数为分数时,可以先化成根式,再依据根式有意义求定义域, 40．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 41．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 42．求函数的定义域. 43．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 44．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)试求m的值并写出该幂函数的解析式，指出其定义域； (2)试求满足的实数a的取值范围. 题型十、求与幂函数有关的复合函数定义域 解题技巧提炼 幂函数的定义域由幂指数α确定: (1)当幂指数为正整数时,定义域为R; (2)当幂指数为零或负整数时,定义域为(-∞，0)∪(0,+∞): (3)当幂指数为分数时,可以先化成根式,再依据根式有意义求定义域, 45．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 48．（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 49．（22-23高一上·广东广州·期末）设函数，则（    ） A．存在实数，使的定义域为R B．若函数在区间上递增，则 C．函数一定有最小值 D．对任意的负实数，的值域为 50．函数的定义域为 ． 题型十一、求幂函数的值域 解题技巧提炼 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定,要保证解析式有意义.值域要在定义域范围内求解 51．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（    ） A． B．为偶函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 52．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 53．（21-22高一上·河北石家庄·期中）若幂函数的图象过点，则的值域为 ． 54．（20-21高一上·上海奉贤·阶段练习）设幂函数的图像过点，则的值域是 55．（22-23高一上·上海青浦·期末）已知幂函数，写出函数定义域，奇偶性，单调区间，值域，零点，并做出大致图像． 56．（22-23高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 题型十二、求与幂函数有关的复合函数值域 解题技巧提炼 复合函数的值域和定义域是相互关联的.注意彼此之间的增减性和单调性. 57．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 58．（18-19高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　  　） A． B． C．1 D．﹣1 59．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的最大值是 . 60．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 61．（21-22高一上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 题型十三、根据幂函数值域求参数或范围 解题技巧提炼 幂函数的值域求参数或范围时，要结合函数单调性，列出方程或不等式，对参数的讨论有时还需要分类讨论，做题时需要注意，切勿漏解. 62．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，，使得，则实数 ． 63．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 64．（22-23高一上·云南玉溪·阶段练习）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数. (1)求函数的解析式. (2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 65．已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 66．已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 题型十四、幂函数图象的判断及应用 解题技巧提炼 利用函数的单调性和奇偶性以及关键点来画出草图或进行图象判断. 67．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 68．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 69．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 70．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求出幂函数及的解析式； (2)在同一坐标系中画出及的图象； (3)观察（2）中的图象，写出当时，的取值范围（不用说明理由） 题型十五、幂函数图象过定点问题 解题技巧提炼 幂函数图像所过定点为（1,1） 71．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 72．（2021高二上·广西·学业考试）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 73．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 74．（21-22高一上·上海金山·期中）设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 题型十六、判断幂函数的单调性 解题技巧提炼 利用单调性比较幂值大小应注意 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． (3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等． (4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想． 75．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 76．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 77．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 78．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 79．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 80．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型十七、幂函数的奇偶性 解题技巧提炼 81．（22-23高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 82．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 83．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 84．（23-24高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 85．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知幂函数. (1)求的值； (2)若为偶函数，求的解析式； (3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 题型十八、函数图象的变换 解题技巧提炼 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上，函数单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)若α为奇数，则幂函数为奇函数， 若α为偶数，则幂函数为偶函数． 86．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   87．（23-24高三上·重庆·阶段练习）定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 88．（21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 89．（20-21高一上·福建泉州·开学考试）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 90．（2022·江西赣州·二模）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（    ） A． B． C． D． 91．（20-21高一上·黑龙江·期中）已知的图象为如图（1），把经过适当的变换得到，其图象为（2），那么 用可以表示为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.2 简单幂函数的图象和性质 知识点一 幂函数的概念 ★1、幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 注意点： (1)自变量前的系数是1. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数． (4)函数的定义域与α有关． 知识点二 幂函数的图象 注意点： (1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． (2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高). 知识点三 幂函数的性质及应用 ★1、五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 增函数 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 注意点： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上，函数单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)若α为奇数，则幂函数为奇函数， 若α为偶数，则幂函数为偶函数． 题型一、画出具体幂函数图象 解题技巧提炼 幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象，当α<0时，图象类似于y＝x－1；当0<α<1时，图象类似于y＝；当α>1时，图象类似于y＝x3. ②根据幂函数的定义域及奇偶性确定在其他象限内的图象． (2)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为 ①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)． ②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 1．求下列函数的定义域，并作出它们的大致图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)定义域为，图象见解析 (2)定义域为，图象见解析 (3)定义域为，图象见解析 【分析】根据幂函数的性质求定义域，再根据性质画出函数的图象. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以函数在第一象限单调递增，且满足， 所以函数是奇函数，关于原点对称，过点，，， 作出函数的大致图象，如下图所示， （2）函数的定义域为， 因为，所以函数在第一象限单调递减，且过点，，， 作出函数的大致图象，如图所示， （3）的定义域为， 因为，所以函数在第一象限单调递增，且满足， 所以函数是偶函数，关于轴对称，且过点，，， 2．作出函数的图象 【答案】作图见解析 【分析】化简函数，对函数进行平移变换可得到所求函数图像. 【详解】函数，则其图象可看作由反比例函数的图象， 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示：    3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据奇函数定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. （3）当时，， 则， 其对称轴为， 当时，即，则， 当时，即，则， 故. 4．已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数解析式得出函数性质，作图即可. （2）根据分段函数性质对分类讨论，列出方程即可求解. 【详解】（1）函数的图象如下图所示： （2）当时，，可得：； 当时，，可得：； 当时，，可得； 综上所述，a的取值构成集合为. 题型二、幂函数图像的识别 解题技巧提炼 幂函数的图象在第一象限内具有如下特征:在平面直角坐标系中,直线y=1,y=x将直线x=1的右侧部分分为(I)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域,α∈(1,+∞)⇔幂函数的图象经过区域(I);α∈(0,1)⇔幂函数的图象经过区域(Ⅱ);α∈(-∞,0)⇔幂函数的图象经过区域(Ⅲ).在直线x=1的右侧,从x轴向上,幂函数的指数α由小到大递增,即“指大图高” 5．作出函数的大致图像． 【答案】图像见解析 【分析】类比反比例函数的图像画出即可. 【详解】.对称中心.类比反比例函数的图像得到的大致图像. 6．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数式可确定函数奇偶性，可排除C选项，再根据，，时值可排除B,D选项. 【详解】由题意知，且， 则，所以为奇函数，关于原点对称，可排除C选项， 又因当时，则，故可排除B选项， 当时，则，可排除D选项， 故选：A 7．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和幂函数性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 故选：A. 8．（23-24高二下·福建厦门·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【详解】因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 故选：B. 题型三、根据实际问题作幂函数图象 解题技巧提炼 第一步,画出第一象限的部分.幂函数在第一象限内的图象类似于“三个代表”的图象:当α<0时,以y=x-1为代表;当0<x<1时,以y=x为代表;当α>1时,以y=x2为代表； 第二步,求幂函数的定义域.幂函数在第二或第三象限内是否有图象,取决于其定义域； 第三步,若幂函数在y轴左侧有图象，则可以研究函数的奇偶性，根据其奇偶性画出y轴左侧的图象. 9．（23-24高一上·河南南阳·期末）如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将容器看做一个球体，根据的实际意义求解． 【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间， 高度的变化较大，即较大， 到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大． 故选：D． 10．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论点P处于不同位置时的面积y与x之间的关系，得出解析式，继而可得其大致图象. 【详解】根据题意可得，当时（如图1所示），S△APM＝=x； 当时（如图2所示），S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM ＝； 当时（如图3所示），S△APM＝， ∴ 根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合， 故选A． 11．（22-23高一上·湖南长沙·期中）在直角梯形中，，，，，直线截这个梯形位于此直线左方的图形的面积（如图中阴影部分）为，则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的运动位置分析面积的表达式，进而得到分段函数：，然后根据不同段上的函数的性质即可求解． 【详解】由题意可知：当时，， 当时，； 所以． 结合不同段上的函数的性质，可知选项C符合． 故选：C． 12．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的函数图象是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出函数解析式，据此分析选项，即可得答案 【详解】解：根据题意，当时，， 当时，， 当时，， 所以只有A选项符合， 故选：A 题型四、幂函数图象的应用 解题技巧提炼 幂指数对图象的影响： 当a=1时,y=x的图象是一条直线; 当a=1时,y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包含点(0,1)的直线; 当α为其他值时,相应幂函数的图象如下表： 13．已知图甲是函数的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知，甲、乙轴右侧部分的图象一致，再将乙图右侧的图象沿翻折即可得到图乙的图象，据此可得到答案. 【详解】设图乙对应的函数为， 由图可知当时，， 当时，， 所以. 故选：A. 14．函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 【答案】，. 【分析】根据函数图象即可求解最大值和最小值. 【详解】由图可知：当时，取最大值，当时，取最小值， 故答案为：， 15．（23-24高二下·福建福州·期末）高斯取整函数又称“下取整函数”，其中表示不大于的最大整数，如．若函数，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AB 【分析】根据定义可得的表达式，通过图象可得函数的值域，即可求解. 【详解】由题意可得，则对应的图象为：    由图象可知. 故选：AB 16．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数的定义域为，，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．若对任意的，都有，则的取值范围是 D．若，则有3个互不相等的实数根 【答案】AC 【分析】由已知，可得，从而可得当时，的解析式，即可判断A，B选项；由函数在上的图象平移变换，结合的图象，对任意的，都有，可得的取值范围，进而判断C选项；由在上的单调性，作出函数和的图象，可得两函数交点个数，则可判断D选项. 【详解】当时，， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 函数的定义域为，满足，即， 且当时，, 当时，，故， 故A正确，B错误； 将函数在上的图象每次向右平移2个单位， 再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在上的图象， 同理可得函数在上的图象每次向左平移2个单位， 再将纵坐标缩短为原来的倍即可得函数在上的图象， 作出函数的图象，如图所示：    由此可令，即有， 解得，又因为对任意的，都有， 由图象可得，故C正确； 因为，易知在上单调递增， 且， 作出函数和的图象，如图所示：    由此可得两函数只有一个交点， 所以只有1个实数根，故D错误. 故选：AC. 17．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 【答案】D 【分析】根据题意，由和互为反函数，其图象关于对称，把函数的值转化为边长为的正方形内整点的个数，结合有两个，即可求解. 【详解】根据题意，可得表示轴，及函数所成围成区域的整点的个数， 设函数和，可得函数和互为反函数， 两个函数的图象关于对称， 由函数对称性，可得轴，，与函数围成的区域 所以轴，及围成的区域所包含的整数点一样多， 如图所示，把和分别看成横轴和纵轴， 则函数表示边长为的正方形内整点的个数的之和， 其中有两个，所以整点的个数为， 即. 故选：D. 18．已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据绝对值的性质去绝对值，即可得函数表达式，进而根据一次函数的性质作出图象即可， （2）根据的定义，即可结合函数图象求解. 【详解】（1） 图像如图． （2）函数的图像如图． 表达式为 题型五、判断函数是否是幂函数 解题技巧提炼 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数． 19．判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)不是幂函数； (2)不是幂函数； (3)幂函数 (4)不是幂函数； (5)不是幂函数； (6)幂函数 【分析】形如的函数叫幂函数，由幂函数的定义可知（1）（2）（4）（5）不是幂函数，只有（3）（6）为幂函数. 【详解】（1），当时，不是幂函数，所以该函数不是幂函数； （2），两个幂函数和的形式，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （3），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数； （4），底数不是，属于复合函数，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （5），系数不为，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （6），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数. 20．（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解. 【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意. 故选：BD. 21．（23-24高一上·四川广安·期中）下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由幂函数的定义依次判断各项即可. 【详解】因为幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数， 又，所以A项、C项正确. 故选：AC. 22．（23-24高一上·山东青岛·期中）下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（    ） A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点 【答案】AB 【分析】根据幂函数的性质、定义判断各项的正误. 【详解】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错； B：根据幂函数定义也是幂函数，错； C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对； D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对. 故选：AB 23．（23-24高一上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．函数在单调递增 D．幂函数的图像都过点 【答案】AB 【分析】根据题意，由幂函数的定义以及性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则，解得，所以，故A正确； 因为是幂函数，故B正确； 因为函数，由幂函数的性质可知，所以在单调递减，故C错误； 因为幂函数不过点，故D错误； 故选：AB 题型六、求幂函数的值 解题技巧提炼 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定,要保证解析式有意义.值域要在定义域范围内求解 24．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用分段函数的概念计算即可. 【详解】由题意知. 故选：D 25．已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用待定系数法求幂函数解析式，再代入求值即可. 【详解】幂函数的图象经过点， 设幂函数，将点代入解析式得到，即，解得. 故.故. 故选：A. 26．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ． 【答案】 【分析】设幂函数为，根据题意求得，得到，代入即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 27．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】/ 【分析】由奇函数的性质即可求解 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以 故答案为： 28．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 【答案】2 【分析】设，是常数，代入已知条件运算求解． 【详解】设，是常数，则，解得 则． 故答案为：2． 29．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 故答案为：4 题型七、求幂函数的解析式 解题技巧提炼 一般使用待定系数法求幂函数的解析式 30．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 31．（2024高二下·湖南·学业考试）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求得. 【详解】将代入得：，解得：. 故选：A 32．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可 【答案】 答案不唯一 【分析】根据常见幂函数的性质即可求解. 【详解】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ， 又因为 为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为: 答案不唯一. 33．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）代入点的坐标求解即可； （2）利用幂函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为该函数的图象过点， 所以， 所以，所以或， 又，故. （2）由（1）知，故为上的增函数，又由， 得，解得. 所以满足条件的实数a的取值范围为. 34．（23-24高二下·吉林白山·期末）已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的性质得到，求出的范围，再由确的值，再代入检验，即可求出的解析式，再利用换元法求出解析式； （2）参变分离可得，恒成立，结合二次函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意幂函数为偶函数，且在区间上单调递增， 可得，解得， 由于，故， 当时，，此时为奇函数，不符合题意， 当或时，，此时为偶函数，符合题意， 故； 由，可得，令， 所以， 故. （2）由，恒成立， 可得，恒成立. 又，所以当时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 题型八、根据函数是幂函数求参数 解题技巧提炼 根据幂函数定义和单调性列方程或不等式进行求参数的值或取值范围. 35．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得， 对于,解得或， 当时，满足，但时，不满足， 故， 故选：A 36．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是R上的偶函数，不符合题意， 当时，是上的奇函数，符合题意， 所以. 故选：D 37．（24-25高三上·重庆·开学考试）若幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据幂函数定义和单调性求参数即可. 【详解】根据幂函数定义和单调性,知道，解得，则. 故选：D 38．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ． 【答案】2 【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值. 【详解】由为幂函数，则，解得，或， 当时，，其图象关于轴对称， 当时，，其图象关于对称， 因此， 故答案为：2. 39．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以或， 当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意； 当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去， 所以，不等式为， 因为函数在和上单调递减， 所以或或， 解得或. 故答案为：. 题型九、求幂函数的定义域 解题技巧提炼 幂函数的定义域由幂指数α确定: (1)当幂指数为正整数时,定义域为R; (2)当幂指数为零或负整数时,定义域为(-∞，0)∪(0,+∞): (3)当幂指数为分数时,可以先化成根式,再依据根式有意义求定义域, 40．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域. 【详解】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 41．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用给定的变量范围求解抽象函数定义域即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 42．求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，，解得. 即函数的定义域为 43．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【详解】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 44．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象经过点. (1)试求m的值并写出该幂函数的解析式，指出其定义域； (2)试求满足的实数a的取值范围. 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，从而得解； （2）根据函数的定义域和单调性，即可利用不等式求的取值范围. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，所以， 所以，解得或，又，所以， 则该幂函数的解析式为，故其定义域为. （2）因为， 所以的定义域为，且在上单调递增， 故由，得，解得， 所以的取值范围为. 题型十、求与幂函数有关的复合函数定义域 解题技巧提炼 幂函数的定义域由幂指数α确定: (1)当幂指数为正整数时,定义域为R; (2)当幂指数为零或负整数时,定义域为(-∞，0)∪(0,+∞): (3)当幂指数为分数时,可以先化成根式,再依据根式有意义求定义域, 45．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 46．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 47．（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 48．（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 49．（22-23高一上·广东广州·期末）设函数，则（    ） A．存在实数，使的定义域为R B．若函数在区间上递增，则 C．函数一定有最小值 D．对任意的负实数，的值域为 【答案】ABC 【分析】根据复合函数的单调性与二次函数的单调性与最值情况分别判断各选项. 【详解】A选项：函数，当时，即时，其定义域为，故A选项正确； B选项：当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，不成立； 当，即时，，在上单调递增，满足在区间上递增，成立； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故，且，即；综上所述，若函数在区间上递增，，故B选项正确； C选项：由恒成立，， 当时，，时取最小值为； 当且时，在或时取最小值为；当时，，时取最小值为； 当时，在或时取最小值为；故C选项正确； D选项：当时，，其值域为， 当且时，在时取最大值为，其值域为，故D选项错误； 故选：ABC. 50．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则，解得. 故答案为：. 题型十一、求幂函数的值域 解题技巧提炼 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定,要保证解析式有意义.值域要在定义域范围内求解 51．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（    ） A． B．为偶函数 C．为单调递增函数 D．的值域为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得， 所以，故A正确，C正确； 由于，故为奇函数，故B错误； 的值域为，D错误， 故选：AC. 52．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 53．（21-22高一上·河北石家庄·期中）若幂函数的图象过点，则的值域为 ． 【答案】 【分析】设，根据条件求出，然后可得答案. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以 所以，所以 故答案为： 54．（20-21高一上·上海奉贤·阶段练习）设幂函数的图像过点，则的值域是 【答案】 【解析】由图像过点，可得，进而可得值域. 【详解】幂函数的图像过点，所以，解得， 所以，因为， 所以的值域是. 故答案为：. 55．（22-23高一上·上海青浦·期末）已知幂函数，写出函数定义域，奇偶性，单调区间，值域，零点，并做出大致图像． 【答案】答案见解析． 【分析】描点法作出函数图象，根据图象得出函数的性质． 【详解】列表： 0 1 2 3 2.08 1.59 1 0 1 1.59 2.08 描点，用光滑曲线连接各点，得函数图象，如图， 函数定义域是R，函数为偶函数（因为图象关于轴对称）， 增区间是，减区间是，值域是，零点是． 56．（22-23高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【详解】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 题型十二、求与幂函数有关的复合函数值域 解题技巧提炼 复合函数的值域和定义域是相互关联的.注意彼此之间的增减性和单调性. 57．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 【答案】B 【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值. 【详解】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，. 故选：B. 58．（18-19高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　  　） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】D 【分析】先由已知条件求得，再利用配方法求二次函数的最值即可得解. 【详解】解：已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，）， 则，即，所以， 所以， 所以y＝f（x2）﹣2f（x） ， 当且仅当，即时取等号， 即函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于， 故选：D. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，重点考查了二次函数求最值问题，属基础题. 59．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数的最大值是 . 【答案】/0.25 【分析】求出定义域，令，结合幂函数和二次函数性质求解. 【详解】，解得.定义域为. , 令.则. ，在单调递增，在单调递减. 则，，则. 故答案为：. 60．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】代入数据计算，平方得到，再计算得到答案，设，得到 ，变换得到，计算最值得到答案. 【详解】，，故， . ，即， 设，，在上单调递减，在上单调递增， 故，， 故，故， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：；. 61．（21-22高一上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可； （2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可. 【详解】（1）解：令，则， 则， 故． （2）解：由（1）可得． 因为函数和函数均在上单调递增， 所以在上单调递增． 故． 对任意，，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 则解得或． 故的取值范围是． 题型十三、根据幂函数值域求参数或范围 解题技巧提炼 幂函数的值域求参数或范围时，要结合函数单调性，列出方程或不等式，对参数的讨论有时还需要分类讨论，做题时需要注意，切勿漏解. 62．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，，使得，则实数 ． 【答案】 【分析】由，转化为，再根据的取值范围可确定的取值范围，然后结合，分别讨论的范围，列出不等式组即可求解. 【详解】由，得，则该函数在和上均为单调递减函数， 又因为， 则当时，有，又，则有：，解得：； 当时，有，由，显然，所以不符合题意； 当时，有，又，则此时为的子集，显然不成立，故此时没有实数解； 当时，有，由，显然，所以不符合题意； 当时，有，又，得：，此时没有实数解； 综上所述，实数. 故答案为：. 63．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 64．（22-23高一上·云南玉溪·阶段练习）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数. (1)求函数的解析式. (2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可； （2）首先得到的解析式，即可判断函数的单调性，再根据题意得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为幂函数在内是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）知，，函数的定义域为， 又，所以函数的值域为， 因为在上单调递增， 若存在，使得在上的值域为， 则函数在上单调递增， 有，解得或，或， 显然，所以，， 即存在，使得在上的值域为， 故函数为“佳”函数. “佳”函数的区间为； 65．已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数特征得，再由单增确定值； （2）先求出值域，由为减函数求出值域，结合结合边界值建立不等式，解不等式即可求解k的取值范围． 【详解】（1）∵为幂函数，∴， 解得或， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴； （2）由（1）得，∴时，， ∵为上的减函数， ∴当时，， ∵，∴， ∴解得， 实数k的取值范围是． 66．已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，求得的可能取值，再根据在上的单调性求得的准确值. （2）首先求得的值域，然后根据得到，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】（1）∵为幂函数，∴，∴或2. 当时，在上单调递增，满足题意. 当时，在上单调递减，不满足题意，舍去. ∴. （2）由（1）知，. ∵在上单调递增，∴. ∵，，∴，∴解得. 故实数的取值范围为. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性和值域，考查根据集合运算结果求参数的取值范围，属于基础题. 题型十四、幂函数图象的判断及应用 解题技巧提炼 利用函数的单调性和奇偶性以及关键点来画出草图或进行图象判断. 67．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图像性质可判定. 【详解】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快. 故选：C. 68．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 故选：C 69．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 70．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上． (1)求出幂函数及的解析式； (2)在同一坐标系中画出及的图象； (3)观察（2）中的图象，写出当时，的取值范围（不用说明理由） 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)或． 【分析】（1）由幂函数所过的点求幂函数解析式； （2）画出幂函数图象； （3）数形结合求不等式解集. 【详解】（1）设，由题设解得， 所以； （2）图象如图所示 （3）由图象知：当时，或． 题型十五、幂函数图象过定点问题 解题技巧提炼 幂函数图像所过定点为（1,1） 71．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案. 【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 72．（2021高二上·广西·学业考试）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断得这三个函数为幂函数，根据幂函数图像所过定点可判断. 【详解】根据幂函数的定义可知，函数，与均为幂函数， 因为幂函数图像所过定点为，所以可得这三个函数图像均过点. 故选：C 73．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出定点A的坐标，并求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：D 74．（21-22高一上·上海金山·期中）设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 【答案】B 【分析】由幂函数过点，根据两个幂函数的定义域的情况进行分类分析可得答案. 【详解】和是两个不同的幂函数，设， 由幂函数过点， 当和的定义域均为时，它们的图象的交点有，，还可能有 当和中至少有一个的定义域为时，它们的图象的交点有 当和中一个的定义域为，另一个的定义域为时，它们的图象的交点有. 所以它们图像交点的个数为1或2或3 故选：B 题型十六、判断幂函数的单调性 解题技巧提炼 利用单调性比较幂值大小应注意 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． (3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等． (4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想． 75．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，不符合题意； 对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意； 对于C，为偶函数，不符合题意； 对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意． 故选：B． 76．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【详解】由题意结合图象可知. 故选：B. 77．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以， 由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A 78．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,则. 由，解得或，故函数的定义域为或. 又函数在上单调递减，在上单调递增, 在上单调递增，则函数在上单调递增. 故选：B. 79．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 80．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 题型十七、幂函数的奇偶性 解题技巧提炼 81．（22-23高一上·广东湛江·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数奇偶性的性质以及幂函数性质分别检验各选项． 【详解】根据幂函数的性质可知：为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数， 故A正确，BD错误， 且为偶函数，所以为非奇非偶函数，C错误； 故选：A． 82．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 【答案】A 【分析】点代入函数解析式求出的值，由幂函数的性质分析奇偶性和单调性. 【详解】点在幂函数的图象上，则，解得， 所以， 由幂函数的性质可知，幂函数定义域为， ，函数是奇函数，A选项正确；B选项错误； 函数在和上单调递减，但在定义域内不单调，CD选项错误. 故选：A 83．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． 84．（23-24高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义求解即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）判断出函数的定义域，结合奇偶性的定义求解即可． 【详解】（1）由题意，设，则，故， 所以； （2）设任意且， 则， 而，，， 故，即 函数在上单调递减． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， 则函数为非奇非偶函数． 85．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知幂函数. (1)求的值； (2)若为偶函数，求的解析式； (3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)2或3 (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义建立方程，解方程，验证即可； （2）由（1），结合奇偶函数的定义即可求解； （3）由（2）可得，对称轴为，结合二次函数的单调性建立不等式，解之即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 解得或3. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以或3； （2）由（1）知，当时，，则，为奇函数； 当时，，则，为偶函数， 所以的解析式为； （3）由（2）知，，则，对称轴为， 又函数在上不是单调函数， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 题型十八、函数图象的变换 解题技巧提炼 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上，函数单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)若α为奇数，则幂函数为奇函数， 若α为偶数，则幂函数为偶函数． 86．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 87．（23-24高三上·重庆·阶段练习）定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据已知条件推出是周期为4，关于、对称的偶函数，再结合、与的平移伸缩关系判断各项的正误. 【详解】由为奇函数，则，即，B错； 所以关于对称， 由，令，则，即， 所以关于对称，则关于，即y轴对称，C对； 所以，则，故， 则，即的周期为4，则， 综上，是周期为4，关于、对称的偶函数， 将所有横坐标缩短为原来的一半得到函数， 所以是周期为2，关于、对称的偶函数，D错； 则，A错； 故选：C 88．（21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程与函数的关系，结合函数图象以及平移变换，可得答案. 【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标， 令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标， 易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到， 所以. 故选：C. 89．（20-21高一上·福建泉州·开学考试）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】先将目标函数分离常数，再根据函数图像的平移变换即可得解． 【详解】函数， 为了得到函数的图像， 只需将函数的图像，向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 故选：． 90．（2022·江西赣州·二模）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三步进行图像变换①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】 ①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C. 91．（20-21高一上·黑龙江·期中）已知的图象为如图（1），把经过适当的变换得到，其图象为（2），那么 用可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图（1）到图（2）由y轴左边的没有变化，右边的是结果沿轴翻折得到的，即可判断正确的表示. 【详解】的图象关于原点对称，的图象关于轴对称，而图（1）到图（2）：y轴左边的没有变化，右边的是结果沿轴翻折得到的，故， 故选：C. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$