2.4.1 函数的奇偶性（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

2.4.1 函数的奇偶性 知识点一 函数的奇偶性 ★1．奇函数、偶函数的定义 ★2．函数的奇偶性 (1)当函数是奇函数或偶函数时,称具有奇偶性. (2)函数按奇偶性可以分成四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数 注意： 判断函数奇偶性的两个关键点 1.看定义域:定义域关于原点对称.当定义域不关于原点对称时,是非奇非偶函数.如函数在区间上是偶函数,但在区间上是非奇非偶函数. 2.看等式:当定义域关于原点对称时,再看与的关系: ①是偶函数; ②是奇函数; ③,且是非奇非偶函数; ④且既是奇函数又是偶函数,这样的函数,这样的函数只有一类,即,且关于原点对称. ★3．奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性 设非零函数，的定义域分别是，，若,则有下列结论： 注意： 1.常见的奇函数 (1)正比例函数是奇函数 (2)反比例函数是奇函数 (3)当时,函数是奇函数,如, (4)设函数的定义域关于原点对称,则函数是奇函数. 注:因为,所以函数是奇函数. 2.常见的偶函数 (1)常数函数:(为常数目)是偶函数: (2)当时,函数是偶函数,如, (3)含绝对值的函数是偶函数,如,. 4)设函数的定义域关于原点对称,则函数是偶函数. 注:因为,所以函数是偶函数. 知识点二 奇、偶函数的图像特征（几何意义） ★1. 函数的最大（小）值 类型 奇函数 偶函数 图象 图像特征 关于原点对称 关于y轴对称 单调性 关于原点对称的区间上有相同的单调性 关于原点对称的区间上有相反的单调性 简记为“奇同偶异” 最值 关于原点对称的区间上的最大（小）值与最小（大）互为相反数 关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值 注意： 1.奇、偶函数的图象也可以用来判断函数的奇偶性,即如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数 2.若奇函数在处有定义，则其图象一定过原点。 知识点三sansans 函数图象的对称性 ★1.函数图象关于直线成轴对称图形 (1)函数的图象关于)轴(即直线x=0)成轴对称图形的充要条件是函数y=/(x)为偶函数.(2)推广:函数y=/(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.6】(3)函数的图象成轴对称图形的常用结论 若函数,在区间上具有单调性,则在区间上具有以下性质: (1)与(为常数)具有相同的单调性 (2)若为常数,则当时,与具有相同的单调性;当时,与具有相反的单调性.特别地,与的单调性相反. (3)若的函数值恒为正或恒为负,为常数,则当时，与具有相反的单调性;当 时,与具有相同的单调性. (4)在,的公共单调区间上,有如下结论: (5)当,都是增(减)函数时,若两者的函数值都恒大于零,则也是增(减)函数;若两者的函数值都恒小于零,则是减(增)函数. 知识点四sisansans 复合函数的单调性 利用单调性的定义可知在区间上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”. 注意： 判断复合函数的单调性的步骤 (1)求出函数的定义域 (2)将复合函数分解成简单函数(所谓简单函数即我们熟悉其单调性的函数). (3)判断简单函数的单调性 (4)若这两个函数同增或同减(即单调性相同),则复合函数为增函数;若这两个函数一增一减(即单调性相异),则复合函数为减函数.简记为“同增异减” 题型一、函数奇偶性的定义与判断 解题技巧提炼 判断函数的奇偶性时,要先求定义域,再进行奇偶性的判断.若有些函数解析式较复杂,可在定义域的基础上化简,然后判断,判断含参函数的奇偶性时，注意对参数进行分类讨论，也可以代入特殊值进行验证 1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 4．已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明你的结论； (2)用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； (3)当时，求函数的值域. 5．已知定义在上的函数，对任意，都有，且当时，. (1)求并判断的奇偶性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型二、由奇偶性求函数解析式 解题技巧提炼 利用奇偶性求函数解析式的方法 已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是:先设出未知区间上的自变量,再利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可. 具体如下:(1)求哪个区间上的解析式,x就设在那个区间上;(2)将-x代入已知区间上的解析式;(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x). 6．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 7．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 8．是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 10．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 题型三、函数奇偶性的应用 解题技巧提炼 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 1.比较大小问题,一般解法是先利用奇偶性,将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值,转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小 2.抽象不等式问题,解题步骤是:(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系:(2)利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式,如0=f(1),f(x-1)<0则fx-1)<f(1). 11．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是定义城为的奇函数，当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 12．设函数的定义域为R，对于任意实数x总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且，则 . 14．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·山西运城·期末）已知满足，且函数为偶函数，若，则（    ） A．0 B．1012 C．2024 D．3036 16．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. (1)证明：在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 题型四、抽象函数的奇偶性 解题技巧提炼 解决奇偶性与对称性的综合问题时要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再利用适合的式子判断函数图象的对称轴或对称中心.也可利用图象变换关系得出函数图象的对称轴或对称中心.总之，要充分利用条件进行适当转化 17．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 18．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 19．（23-24高三下·广东·开学考试）已知函数的定义域为，且，，若，则（    ） A．是周期为4的周期函数 B．的图像关于直线对称 C．是偶函数 D． 20．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．在上单调递增 21．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 22．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.1 函数的奇偶性 知识点一 函数的奇偶性 ★1．奇函数、偶函数的定义 ★2．函数的奇偶性 (1)当函数是奇函数或偶函数时,称具有奇偶性. (2)函数按奇偶性可以分成四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数 注意： 判断函数奇偶性的两个关键点 1.看定义域:定义域关于原点对称.当定义域不关于原点对称时,是非奇非偶函数.如函数在区间上是偶函数,但在区间上是非奇非偶函数. 2.看等式:当定义域关于原点对称时,再看与的关系: ①是偶函数; ②是奇函数; ③,且是非奇非偶函数; ④且既是奇函数又是偶函数,这样的函数,这样的函数只有一类,即,且关于原点对称. ★3．奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性 设非零函数，的定义域分别是，，若,则有下列结论： 注意： 1.常见的奇函数 (1)正比例函数是奇函数 (2)反比例函数是奇函数 (3)当时,函数是奇函数,如, (4)设函数的定义域关于原点对称,则函数是奇函数. 注:因为,所以函数是奇函数. 2.常见的偶函数 (1)常数函数:(为常数目)是偶函数: (2)当时,函数是偶函数,如, (3)含绝对值的函数是偶函数,如,. 4)设函数的定义域关于原点对称,则函数是偶函数. 注:因为,所以函数是偶函数. 知识点二 奇、偶函数的图像特征（几何意义） ★1. 函数的最大（小）值 类型 奇函数 偶函数 图象 图像特征 关于原点对称 关于y轴对称 单调性 关于原点对称的区间上有相同的单调性 关于原点对称的区间上有相反的单调性 简记为“奇同偶异” 最值 关于原点对称的区间上的最大（小）值与最小（大）互为相反数 关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值 注意： 1.奇、偶函数的图象也可以用来判断函数的奇偶性,即如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数 2.若奇函数在处有定义，则其图象一定过原点。 知识点三sansans 函数图象的对称性 ★1.函数图象关于直线成轴对称图形 (1)函数的图象关于)轴(即直线x=0)成轴对称图形的充要条件是函数y=/(x)为偶函数.(2)推广:函数y=/(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.6】(3)函数的图象成轴对称图形的常用结论 若函数,在区间上具有单调性,则在区间上具有以下性质: (1)与(为常数)具有相同的单调性 (2)若为常数,则当时,与具有相同的单调性;当时,与具有相反的单调性.特别地,与的单调性相反. (3)若的函数值恒为正或恒为负,为常数,则当时，与具有相反的单调性;当 时,与具有相同的单调性. (4)在,的公共单调区间上,有如下结论: (5)当,都是增(减)函数时,若两者的函数值都恒大于零,则也是增(减)函数;若两者的函数值都恒小于零,则是减(增)函数. 知识点四sisansans 复合函数的单调性 利用单调性的定义可知在区间上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”. 注意： 判断复合函数的单调性的步骤 (1)求出函数的定义域 (2)将复合函数分解成简单函数(所谓简单函数即我们熟悉其单调性的函数). (3)判断简单函数的单调性 (4)若这两个函数同增或同减(即单调性相同),则复合函数为增函数;若这两个函数一增一减(即单调性相异),则复合函数为减函数.简记为“同增异减” 题型一、函数奇偶性的定义与判断 解题技巧提炼 判断函数的奇偶性时,要先求定义域,再进行奇偶性的判断.若有些函数解析式较复杂,可在定义域的基础上化简,然后判断,判断含参函数的奇偶性时，注意对参数进行分类讨论，也可以代入特殊值进行验证 1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数． 【分析】先求函数的定义域，如果对称，则利用奇偶性的定义判断即可；若不对称，则是非奇非偶函数. 【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称，且， 又，， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， ∴是非奇非偶函数． （4）函数的定义域为， ∵，都有， 且， ∴是奇函数． 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式. 【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数， 由对任意的，当时，有成立， 得在上单调递减， 因此函数在上单调递增，由，得， 不等式，因此，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 4．已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明你的结论； (2)用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）判断出在上的单调性可得答案. 【详解】（1）为奇函数，证明如下， 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数； （2）设， ， 因为，所以，， 所以，， 所以函数在上是增函数； （3）设， ， 因为，所以，， 所以，， 所以函数在上是减函数， 由（2）知，函数在上是增函数 又，， ， 所以函数的值域为. 5．已知定义在上的函数，对任意，都有，且当时，. (1)求并判断的奇偶性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 【分析】（1）令,得到与的关系,可判断函数奇偶性. （2）先判断函数单调性.再利用函数奇偶性和单调性解不等式,再把恒成立问题转化为求最值问题.即可求解. 【详解】（1）令可得：       （2）先证明：在R上为减函数 证明：设任意，且，则 又当时，， 即在R上为减函数. ， 可得恒成立 当时，2>0恒成立 当时，，综上实数的取值范围是 题型二、由奇偶性求函数解析式 解题技巧提炼 利用奇偶性求函数解析式的方法 已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是:先设出未知区间上的自变量,再利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可. 具体如下:(1)求哪个区间上的解析式,x就设在那个区间上;(2)将-x代入已知区间上的解析式;(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x). 6．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 【答案】 【分析】根据题意，当时，，由函数的解析式求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 7．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】设，则利用奇函数的定义得出，可得出函数在上的解析式.即可求解 【详解】设，则，则， 函数是上的奇函数，则当时，. 又， 所以 故答案为： . 8．是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，通过解方程组进行求解即可. 【详解】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得，． 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 10．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）由（1），利用奇函数定义求出函数的解析式. 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 题型三、函数奇偶性的应用 解题技巧提炼 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 1.比较大小问题,一般解法是先利用奇偶性,将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值,转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小 2.抽象不等式问题,解题步骤是:(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系:(2)利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式,如0=f(1),f(x-1)<0则fx-1)<f(1). 11．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是定义城为的奇函数，当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由即可求解. 【详解】因为函数是定义城为的奇函数， 故选：D 12．设函数的定义域为R，对于任意实数x总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义及性质判定即可. 【详解】∵函数的定义域为R且， ∴是定义在R上的偶函数， ∴，， 又∵在上单调递增，且， ∴，即． 故选：A 13．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且，则 . 【答案】3 【分析】由的图象关于直线对称知是偶函数，根据已知得，进而推出周期为6，先将进行化简，再求值即可. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以的图象关于轴对称，所以为偶函数， 令，则， 所以， 又，则, 所以, 所以的周期为6， 因为+1， 所以, 故答案为：3. 14．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 15．（23-24高一上·山西运城·期末）已知满足，且函数为偶函数，若，则（    ） A．0 B．1012 C．2024 D．3036 【答案】D 【分析】由题意得，函数的周期为4，进一步，由此即可顺利得解. 【详解】由题意函数为偶函数，所以，的图象关于直线对称， 所以， 函数的周期为4， 在中，分别令， 得， 解得， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：关键是得到函数的对称性、周期性，从而顺利得解. 16．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立. (1)证明：在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或或 【分析】（1）根据定义法即可证明函数单调性； （2）利用函数单调性和奇偶性可得，解不等式可得结果； （3）不等式先对所有的得到，再由对所有的恒成立，可求得实数的取值范围. 【详解】（1）取任意，且； 由是定义在上的奇函数，可得， 又因为对任意的且时，有成立， 所以，且； 因此可得，即. 所以在上单调递增； （2）由于是定义在上的奇函数，将不等式变形 可得； 由（1）可知函数在上单调递增， 所以不等式需满足， 解不等式可得； 解不等式可得或； 解不等式可得或； 综合可得； 即不等式的解集为 （3）由（1）可知，在上的最大值为， 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 即对所有的恒成立， 令，即对所有的恒成立， 所以，即， 解得或或. 所以实数的取值范围为或或 【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题经常借助函数单调性求得其最值，转化成不等式恒成立即可. 题型四、抽象函数的奇偶性 解题技巧提炼 解决奇偶性与对称性的综合问题时要注意把已知函数的奇偶性按定义转化,再利用适合的式子判断函数图象的对称轴或对称中心.也可利用图象变换关系得出函数图象的对称轴或对称中心.总之，要充分利用条件进行适当转化 17．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 18．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可. 【详解】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 19．（23-24高三下·广东·开学考试）已知函数的定义域为，且，，若，则（    ） A．是周期为4的周期函数 B．的图像关于直线对称 C．是偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可. 【详解】对A，因为，所以， 所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确. 对B，因为，所以，所以的图象关于直线对称，则B正确. 对C，因为，所以.令，得，则. 因为的图象关于直线对称，所以，则，从而不是偶函数，则C错误. 对D，由的对称性与周期性可得， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题选项的关键是利用抽象函数的性质得到其周期性和对称性，对于D选项，利用赋值法得到相关函数值，再利用其对称性和周期性计算即可. 20．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解. 【详解】令，得到，则.故A错误. 令，得到， 则， 则或, 由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确. 令，得到， 则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即, 时，，两边除以， 即，故C正确. 令，则， 时，，则， 且，则，即.故D错误. 故选：BC. 【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 21．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 22．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$