2.3 函数的单调性和最值（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

2.3 函数的单调性和最值 知识点一 函数的单调性 ★1．函数的单调性与单调区间 设函数定义域是,是定义域上的一个区间: (1)如果对于任意的,当,时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.这时区间叫作函数的单调递增区间. (2)如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减,这时,区间叫作函数的单调递减区间 (3)如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就称函数在区间上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称单调区间. ★2．增函数与减函数 (1)如果对于定义域上任意的,当,时,都有,那么就称函数是增函数. (2)如果对于定义域上任意的,当,时,都有,那么就称函数是减函数. 注意： 增(减)函数是针对整个定义域而言的,函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定是增(减)函数.如函数在区间和上都是单调递减的,但是在整个定义域上不具有单调性 ★3．常见函数的单调性 ★4．用定义法判断函数的单调性 用定义法判断函数单调性的一般步骤: (1)取值:设为给定区间内的任意两个值,且; (2)作差:计算; (3)变形:对进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、有理化等; (4)判号:将与0比较大小,当正负不确定时需要进行分类讨论; (5)定论:指出函数在给定区间上的单调性. 注意： (1)在用定义判断函数的单调性时,为了确定符号，一般是将(或)尽量分解出含有(或)的因式,再将剩下的因式化成积或商的形式,或化成几个非负实数的和的形式,这样有利于确定该因式的符号; (2)变形的关键是通过因式分解、配方、通分、分母(分子)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. 知识点二 函数的最值 ★1. 函数的最大（小）值 注意： 函数的最值与值域的联系与区别 联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域. 区别:(1)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在; (2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素,如函数的值域为,最小值为; (3)若函数的值域是开区间(两端点值都取不到)的形式,则函数无最值;若函数的值域是闭区间的形式，则闭区间的端点值就是函数的最值. ★2. 函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则函数,在处有最大值,如图(1)所示. (2)若函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,则函数,在处有最小值,如图(2)所示. (3)若函数在定义域上是增函数,则函数在处取得最大值,在处取得最小值,如图(3)所示. (4)若函数在定义域上是减函数,则函数在处取得最小值,在处取得最大值,如图(4)所示 注意： (1)对于在一个闭区间上的连续函数来说,它一定有最小值,也一定有最大值. (2)当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. (3)当函数在闭区间上不单调时,要将单调区间分界点处的函数值与区间端点处的函数值比较,确定函数的最值. (4)开区间上的“单峰(谷)”函数一定存在最大(小)值. ★3. 函数图像的变换 对勾函数(,且为常数)是高考的常考内容,也是中学阶段比较重要的函数. (1)单调性:在和[上单调递增;在和上单调递减.函数的图象如图. (2)最值:当时,在处有最小值;当时,在处有最大值. 注意： 如果函数为,可将解析式变形为,其单调性和最值可用上述结论求解. 知识点三sansans 函数单调性的运算性质 若函数,在区间上具有单调性,则在区间上具有以下性质: (1)与(为常数)具有相同的单调性 (2)若为常数,则当时,与具有相同的单调性;当时,与具有相反的单调性.特别地,与的单调性相反. (3)若的函数值恒为正或恒为负,为常数,则当时，与具有相反的单调性;当 时,与具有相同的单调性. (4)在,的公共单调区间上,有如下结论: (5)当,都是增(减)函数时,若两者的函数值都恒大于零,则也是增(减)函数;若两者的函数值都恒小于零,则是减(增)函数. 知识点四sisansans 复合函数的单调性 利用单调性的定义可知在区间上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”. 注意： 判断复合函数的单调性的步骤 (1)求出函数的定义域 (2)将复合函数分解成简单函数(所谓简单函数即我们熟悉其单调性的函数). (3)判断简单函数的单调性 (4)若这两个函数同增或同减(即单调性相同),则复合函数为增函数;若这两个函数一增一减(即单调性相异),则复合函数为减函数.简记为“同增异减” 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 解题技巧提炼 定义法判断函数单调性的一般步骤： 取值、作差变形、定号、下结论. 1．函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有 ． ①；②； ③；④． 【答案】①② 【分析】利用函数单调性的性质逐个判断即可. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 所以和同号，故①，②正确， 因为的大小关系无法判断，所以的大小关系也无法判断，故③④错误. 故答案为：①② 2．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可. （2）利用（1）的结论，利用单调性求出函数值域. 【详解】（1）函数，， 则， 当时，，则，即， 所以函数在区间上单调递减. （2）由（1）知，函数在上单调递减，则， 而，所以函数的值域为. 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 4．证明函数在区间上单调递减． 【答案】证明见解析 【分析】根据单调性的定义，即可作差求证. 【详解】证明:，且， ． 因为， 所以，，，， 所以， 即． 所以函数在上单调递减． 题型二、求函数的单调区间 解题技巧提炼 求函数的单调区间可以利用分离常数法、换元法等方法，也可以借助图像法求解. 5．函数的单调区间为 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】，所以的单调递增区间为和 故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间， 6．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间. 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 7．画出下列函数的图象，并写出它的单调区间． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析，单调递增区间为，单调递减区间为． (2)作图见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为和． 【分析】（1）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象； （2）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象. 【详解】（1）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象， 函数的图象如图所示，   的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象， 函数图象如图所示，     的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 8．（23-24高一上·广东惠州·期中）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式； (2)指出的单调区间； (3)直接写出的值域． 【答案】(1) (2)单调增区间为：，；单调减区间为： (3) 【分析】（1）利用待定系数法结合图象即可求出其解析式； （2）根据图象即可得到其单调区间； （3）根据图象即可得到其值域. 【详解】（1）当时，设解析式为，由图象有，解得， ∴，当时，设解析式为． ∵图象过点，∴，解得，∴， 综上，函数在上的解析式为． （2）由图知单调增区间为：，；单调减区间为：． （3）由图可知，其值域为． 9．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值． 【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为，值域为. (2) 【分析】（1）结合题目所给性质，求函数的单调性和值域； （2）求出函数的值域，根据值域的包含关系求解. 【详解】（1）, 令， 所以在单调递减，单调递增， 令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为， 且， 所以的值域为. （2）因为在单调递减， 所以， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得. 10．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求出即得. （2）利用（1）的解析式，分段讨论求出单调递增区间，再借助集合包含关系求解即得. 【详解】（1）设二次函数， 则， 由，得，解得，又， 即，于是， 所以的解析式是. （2）由（1）得， 当时，的单调递增区间为，依题意，，则； 当时，的单调递增区间为，依题意，， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 题型三、根据函数的单调性求参数取值范围 解题技巧提炼 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. 2.借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.需注意,若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的, 11．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 12．已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解. 【详解】因为， 所以， 所以在上严格增函数 所以，． 故答案为： 13．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 14．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；． (1)若，求在上的值域； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的性质求解值域即可； （2）先求出的等价关系，然后将问题转化为，利用真子集的定义列式求解即可． 【详解】（1）当时，， 故的值域为； （2）图象的对称轴为直线， 由题意得，即， 因为是的充分不必要条件， 所以， 则(等号不同时成立)，解得， 经检验，当或时，， 所以的取值范围为． 15．（23-24高一上·重庆·阶段练习）设函数. (1)已知在区间上单调递增，求的取值范围； (2)是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在满足条件，理由见解析 【分析】 （1），分，结合函数单调性讨论即可求解； （2）根据题意可知，理由对称轴和的关系进行讨论，分别研究即可求解. 【详解】（1）由题可知， 当时，在上单调递增，从而在，符合题意； 当时，由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增，故，即， 综上可知，的取值范围为. （2）因为，其对称轴为， 由题知， 当时，在上恒成立，等价于， 当，即时，在上单调递减， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾； 当，即时，则有， 由可得，结合可得，由为正整数得， 又，由可得，，即，则， 所以，结合得，此时，符合条件， 故存在满足条件. 16．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）结合勾形函数的性质、绝对值的定义只要在上的最小值不小于0即可得； （2）作出函数的图象得4个单调区间，首先确定，以及区间的两个端点都不在区间上，在时有，，再由求出的范围，然后再分四个区间讨论确定范围． 【详解】（1）设，∵，∴函数分别在区间，上单调且， 要使函数分别在区间，上单调，则只需； （2）如图，可知，在、、、均为单调函数， 显然，， 若，则，，则， 若，则，令， ，因此， （Ⅰ）当时，在上单调递减， 则两式相除整理得， ∵∴上式不成立即，无解，无取值. （Ⅱ）当时，在上单调递增， 则，即在有两个不等实根， 而令则， ，，由二次函数性质可得：， （Ⅲ）当时，在上单调递减， 则，两式相除整理得 ∴，∴，∴， 由得， 则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解. （Ⅳ）当时，在上单调递增， 则，两式相除得，整理得， 又，，，即，因此不成立，所以无取值， 综上，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的单调性，由于含有绝对值符号，因此作出函数图象有助于问题的求解，通过图象确定单调性，确定，否定单调区间的三个端点不属于区间，从而很形象地指出根据四个单调区间分类讨论． 题型四、利用函数单调性求最值或值域 解题技巧提炼 求函数最值的方法： 求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值:求函数最值的常用方法有: (1)配方法,主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围； (2)换元法,用换元法时一定要注意新元的取值范围; (3)数形结合法,对于图象较容易画出的函数的最值问题,可借助图象直观求出； (4)利用函数的单调性,要注意函数的单调性对函数最值的影响,特别是闭区间上函数的最值、 17．函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知函数在上单调递减，结合单调性求最值. 【详解】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 18．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值. 【详解】， 设，而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 则. 所以函数的最大值为. 故答案为： 19．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】令， 函数，在时，单调递减，因此， 当时，， 所以的值域是， 故选：C 20．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是 . 【答案】 【分析】先分离变形，然后结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增，故，且， 所以函数的值域为； 故答案为： 21．（23-24高一上·贵州·阶段练习）函数，，若，使成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可得出的取值范围. 【详解】由以及可得； 再由以及可得； 若，使成立可得， 即，解得； 又，因此的取值范围是. 故答案为： 22.（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先求含根式函数的定义域可得，由于当时，与都单调递增，所以可得为上的增函数，则最小值可求. 【详解】由，得，即的定义域， 当时，与都单调递增， 所以在上单调递增，当时，取得最小值1． 故答案为：1. 23．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数，的最小值为． (1)求． (2)是否存在实数，，且，使得当的定义域为时，的值域为，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用换元法以后对进行分类讨论，得出分段函数的解析式； （2）假设存在满足条件，利用函数单调性分析可推出矛盾，进而证明不存在. 【详解】（1）令，则时，， 所以，， 该函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，函数在上为减函数， 所以函数在处取得最小值，最小值为； 当时，函数在处取得最小值，最小值为； 当时，函数在上为增函数， 所以函数在处取得最小值，最小值为， 所以． （2）假设存在实数，，且，使得当的定义域为时，的值域为． 当时，易得在上为减函数， 所以，即 两式相减，得 又，所以． 而当时，，这与矛盾． 故满足条件的实数，不存在． 24．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把当时，解方程即得. （2）通过讨论a的取值，确定函数在区间的最小值为． 【详解】（1）当时，， 由，得，解得或，则或， 所以方程的解集为. （2）当时，， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当时，函数，其图象的对称轴为， 当时，函数在上单调递减， 则，即； 当，即时，函数在上单调递增， 则，即； 当，即时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，即， 综上所述：. 题型五、根据函数的最值求参数 解题技巧提炼 在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.若对于区间D上的任意x,a>f(x)恒成立,则 a>f(x)max;若对于区间 D上的任意 x,a<f(x)恒成立,则a<f(x)min;若在区间D上存在x使a>f(x)成立,则a>f(x)min;若在区间 D上存在x 使a<f(x)成立,则a<f(x)max.其他情形(如a≥f(x)等)同理可得相应结论 25．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 26．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数式，结合函数变换画出图象，求出在上的解析式，借助数形结合求得结果. 【详解】当时，，由，得， 即函数的图象每向右平移1个单位，图象上对应点的纵坐标变为原来的2倍，如图，      当时，， 令，整理得：，解得， 观察图象知，当时，对任意时，成立， 所以m的取值范围是. 故选：B 【点睛】易错点睛：图象解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解. 27．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】原不等式可化为，设，只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为，设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为， 因为恒成立，所以. 故答案为：. 28．（24-25高一上·湖北孝感·开学考试）（1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值； （2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）（2）或. 【分析】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值； （2）先求出对称轴，再分和讨论即可. 【详解】（1）把二次函数解析式配成顶点式, 得： ， 因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是， 所以顶点的纵坐标即为最小值是， 而当时，函数值最大， 所以最大值是. 综上当，；当，. （2） 当时，不符合最大值为4，不合题意； 其对称轴为， ①当时，其图象开口向上，此时离对称轴更远， 当时有最大值，最大值为，，解得； ②当，其图象开口向下， 则当时函数有最大值，最大值为， ，解得. 综上所述的值为或. 29．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数，其中. (1)当时，若，求的值； (2)证明：； (3)若函数的最大值为，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）化简函数解析式，分类讨论去掉绝对值符号，解方程，可得答案； （2）利用分析法，要证明，只需证，一步步逆推，直到找到不等式成立的条件，即可证明原不等式成立； （3）令，确定a的范围，从而，结合的取值范围，可得的范围，结合函数最值分类讨论求解，即可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，，不合题意； 当时，， 由得，，符合题意， 故； （2）的定义域为， 要证明，只需证， 只需证：， 只需证：， 只需证：，该式显然成立， 当且仅当时等号成立， 故； （3）， 令， 由题意可知的最大值为， 则， 而，故，即， 从而，， 因为，当且仅当时等号成立， 由（2）知，当且仅当时等号成立， 故的值域为，故的值域为, 令，则， 令，则， 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 故a的值为或. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问，根据函数的最大值求解参数，解答时要结合绝对值性质化简函数解析式，构造函数，确定其值域，结合最值，分类求解，即可求得答案. 30．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； (2)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (3)求函数在内的“区间”． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）写成分段形式，然后根据二次函数的单调性写出答案； （2）直接根据“区间”的定义计算判断； （3）设函数在内的“区间”为，列方程组，解方程组即可. 【详解】（1）由已知， 故函数的单调递增区间为和，可合并为， 若函数在区间上是严格增函数，则， 所以区间可以为； （2）对于区间，， 此时， 即函数在区间上的值域为，不符合“区间”的定义， 所以区间不是函数的一个“区间”； （3）设函数在内的“区间”为， 即函数在区间上的值域为 因为函数在上单调递减， 所以，即，， 即为方程的两根， 又 所以， 因为， 所以， 即“区间”为. 题型六、根据图像判断函数单调性 解题技巧提炼 求能作出图象的函数的单调性问题时,都可应用图象法判断函数的单调性.图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断. 31．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 32．（23-24高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象即可得出单调递减区间. 【详解】根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：. 故选：. 33．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是 ， . 【答案】 2 和. 【分析】根据图象确定最大值对应的的值；根据图象直接判断出单调递减区间. 【详解】由图象可知：在时取最大值，所以最大值点为； 由图象可知：的单调递减区间为和， 故答案为：；和. 34．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，以下结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．函数的图象关于直线轴对称 D．若函数在上有8个零点，则所有零点之和为24 【答案】ABD 【分析】首先画出函数的图象，对于A，根据周期性算得，进一步算出验证即可；对于BC，观察函数图象即可判断；对于D，根据图象的对称性计算即可. 【详解】由题意当时，，即是周期为3的周期函数，画出它的函数图象如图所示： A.因为，，故.故选项A正确. B.如图，函数在上单调递增，故选项B正确. C.如图，函数的图象不是轴对称图形，故选项C错误. D.若函数在上有8个零点，即函数与的图像在上有8个交点， 根据对称性可知其零点之和为，故选项D正确. 故选：ABD. 35．（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知函数．    (1)用分段函数的形式表示该函数并画出该函数的图象； (2)写出此函数的单调区间（不需要写过程）． 【答案】(1)，作图见解析 (2)单调递减区间为，无单调递增区间． 【分析】（1）利用三段法写出分段函数形式，并画出函数图象； （2）数形结合得到函数的单调区间. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以， 画出函数图象如下：    （2）由函数的图象可知，函数的单调递减区间为，无单调递增区间． 36．（24-25高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 【答案】单调区间分别为，，，且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数 【分析】观察图像得到单调区间即可，判断函数增减性即可. 【详解】由题中图像可以看出的单调区间分别为，，，， 且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数． 题型七、复合函数的单调性 解题技巧提炼 求复合函数单调区间的关键是“同增异减” 37．已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性求解即可． 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域满足，即． 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为． 故选：D． 38．（2023高一·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，根据复合函数单调性得在上是减函数，利用单调性可得答案. 【详解】设， 为上为增函数，在上为减函数， 根据复合函数单调性得在上是减函数， 若， 则． 故选：C． 39．函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性即可确定的单调性. 【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 故答案为：. 40．已知函数，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据复合函数单调性得出二次函数的单调性应用单调性求参. 【详解】因为在上y随x的增大而增大， 所以在上y随x的增大而减小， 则,且, 因为,所以, 所以只需要, 即. 故答案为：. 41．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）讨论函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值． 【答案】在上单调递减，最大值为，最小值为 【分析】利用单调性的定义推得的单调性，从而求得最值，由此得解. 【详解】因为，令，则， 对于，在上单调递减，证明如下： 在上任取，，且. 则 ， 因为，则， 所以，，. 故，即， 所以在上单调递减， 而在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在的最大值为， 最小值为. 42．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）； (2)设在区间上最大值为，求的解析式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间. （2）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式. 【详解】（1）当时，， 当时，易得单调递增； 当时，， 因为对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，，所以在上单调递增， 综上，的单调递增区间为，. （2）因为， 当时，，则， 根据对勾函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，，则，显然在上单调递增， 所以； 当时，， 当时，单调递增，故， 当时，， 若时，则；若时，则； 所以当时，； 若时，，又，， 当，即时，， 当，即时，； 综上，. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于充分理解对勾函数的单调性. 43．已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论； (3)已知且，若.试证：. 【答案】(1)，；； (2)函数在区间上单调递增，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据二次不等式的解集与二次方程根的对应关系，列出满足的等量关系，求解即可； （2）利用单调性的定义，作差、定号、写出结论即可； （3）先证在上的单调性，结合其在上的单调性，求得范围；要证，即证，，转化为证明；构造，根据其单调性，即可证明. 【详解】（1），即， 因为不等式解集为，所以，解得： ， 所以； （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 在上任取，且， 则， 因为，所以， 又，， 所以， 即当时，， 所以函数在区间上单调递增； （3）先证在单调递减： 在上任取，且， 则 因为，故， 又，， 故 即当时，， 故在单调递减； 结合（2）中所证：函数在区间上单调递增， 在区间上的单调递减， 因为，且，， 所以，， 证明，即证明，即证明， 因为，所以即证明， 也就是证明，即， 令， 因为在区间上的单调递增， 根据复合函数单调性可知，在区间上的单调递减， 所以单调递增， 又，所以在区间上恒成立， 即，得证：. 【点睛】本题考察三个二次的关系，以及利用单调性定义证明单调性；解决问题的关键是第三问中，能够将目标式转化为证明，再构造函数，利用其单调性进行证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 函数的单调性和最值 知识点一 函数的单调性 ★1．函数的单调性与单调区间 设函数定义域是,是定义域上的一个区间: (1)如果对于任意的,当,时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.这时区间叫作函数的单调递增区间. (2)如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减,这时,区间叫作函数的单调递减区间 (3)如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就称函数在区间上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称单调区间. ★2．增函数与减函数 (1)如果对于定义域上任意的,当,时,都有,那么就称函数是增函数. (2)如果对于定义域上任意的,当,时,都有,那么就称函数是减函数. 注意： 增(减)函数是针对整个定义域而言的,函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定是增(减)函数.如函数在区间和上都是单调递减的,但是在整个定义域上不具有单调性 ★3．常见函数的单调性 ★4．用定义法判断函数的单调性 用定义法判断函数单调性的一般步骤: (1)取值:设为给定区间内的任意两个值,且; (2)作差:计算; (3)变形:对进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、有理化等; (4)判号:将与0比较大小,当正负不确定时需要进行分类讨论; (5)定论:指出函数在给定区间上的单调性. 注意： (1)在用定义判断函数的单调性时,为了确定符号，一般是将(或)尽量分解出含有(或)的因式,再将剩下的因式化成积或商的形式,或化成几个非负实数的和的形式,这样有利于确定该因式的符号; (2)变形的关键是通过因式分解、配方、通分、分母(分子)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. 知识点二 函数的最值 ★1. 函数的最大（小）值 注意： 函数的最值与值域的联系与区别 联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域. 区别:(1)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在; (2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素,如函数的值域为,最小值为; (3)若函数的值域是开区间(两端点值都取不到)的形式,则函数无最值;若函数的值域是闭区间的形式，则闭区间的端点值就是函数的最值. ★2. 函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则函数,在处有最大值,如图(1)所示. (2)若函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,则函数,在处有最小值,如图(2)所示. (3)若函数在定义域上是增函数,则函数在处取得最大值,在处取得最小值,如图(3)所示. (4)若函数在定义域上是减函数,则函数在处取得最小值,在处取得最大值,如图(4)所示 注意： (1)对于在一个闭区间上的连续函数来说,它一定有最小值,也一定有最大值. (2)当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. (3)当函数在闭区间上不单调时,要将单调区间分界点处的函数值与区间端点处的函数值比较,确定函数的最值. (4)开区间上的“单峰(谷)”函数一定存在最大(小)值. ★3. 函数图像的变换 对勾函数(,且为常数)是高考的常考内容,也是中学阶段比较重要的函数. (1)单调性:在和[上单调递增;在和上单调递减.函数的图象如图. (2)最值:当时,在处有最小值;当时,在处有最大值. 注意： 如果函数为,可将解析式变形为,其单调性和最值可用上述结论求解. 知识点三sansans 函数单调性的运算性质 若函数,在区间上具有单调性,则在区间上具有以下性质: (1)与(为常数)具有相同的单调性 (2)若为常数,则当时,与具有相同的单调性;当时,与具有相反的单调性.特别地,与的单调性相反. (3)若的函数值恒为正或恒为负,为常数,则当时，与具有相反的单调性;当 时,与具有相同的单调性. (4)在,的公共单调区间上,有如下结论: (5)当,都是增(减)函数时,若两者的函数值都恒大于零,则也是增(减)函数;若两者的函数值都恒小于零,则是减(增)函数. 知识点四sisansans 复合函数的单调性 利用单调性的定义可知在区间上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”. 注意： 判断复合函数的单调性的步骤 (1)求出函数的定义域 (2)将复合函数分解成简单函数(所谓简单函数即我们熟悉其单调性的函数). (3)判断简单函数的单调性 (4)若这两个函数同增或同减(即单调性相同),则复合函数为增函数;若这两个函数一增一减(即单调性相异),则复合函数为减函数.简记为“同增异减” 题型一、定义法判断或证明函数的单调性 解题技巧提炼 定义法判断函数单调性的一般步骤： 取值、作差变形、定号、下结论. 1．函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有 ． ①；②； ③；④． 2．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 4．证明函数在区间上单调递减． 题型二、求函数的单调区间 解题技巧提炼 求函数的单调区间可以利用分离常数法、换元法等方法，也可以借助图像法求解. 5．函数的单调区间为 6．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 7．画出下列函数的图象，并写出它的单调区间． (1)； (2)． 8．（23-24高一上·广东惠州·期中）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式； (2)指出的单调区间； (3)直接写出的值域． 9．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值． 10．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 题型三、根据函数的单调性求参数取值范围 解题技巧提炼 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. 2.借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.需注意,若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的, 11．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 13．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 14．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；． (1)若，求在上的值域； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 15．（23-24高一上·重庆·阶段练习）设函数. (1)已知在区间上单调递增，求的取值范围； (2)是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型四、利用函数单调性求最值或值域 解题技巧提炼 求函数最值的方法： 求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值:求函数最值的常用方法有: (1)配方法,主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围； (2)换元法,用换元法时一定要注意新元的取值范围; (3)数形结合法,对于图象较容易画出的函数的最值问题,可借助图象直观求出； (4)利用函数的单调性,要注意函数的单调性对函数最值的影响,特别是闭区间上函数的最值、 17．函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 18．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 . 19．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是 . 21．（23-24高一上·贵州·阶段练习）函数，，若，使成立，则的取值范围是 ． 22.（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）函数的最小值为 ． 23．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数，的最小值为． (1)求． (2)是否存在实数，，且，使得当的定义域为时，的值域为，若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 24．（23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求方程的解集； (2)设在的最小值为，求的表达式. 题型五、根据函数的最值求参数 解题技巧提炼 在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解.若对于区间D上的任意x,a>f(x)恒成立,则 a>f(x)max;若对于区间 D上的任意 x,a<f(x)恒成立,则a<f(x)min;若在区间D上存在x使a>f(x)成立,则a>f(x)min;若在区间 D上存在x 使a<f(x)成立,则a<f(x)max.其他情形(如a≥f(x)等)同理可得相应结论 25．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 28．（24-25高一上·湖北孝感·开学考试）（1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值； （2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 29．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数，其中. (1)当时，若，求的值； (2)证明：； (3)若函数的最大值为，求的值. 30．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； (2)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (3)求函数在内的“区间”． 题型六、根据图像判断函数单调性 解题技巧提炼 求能作出图象的函数的单调性问题时,都可应用图象法判断函数的单调性.图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断. 31．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是 ， . 34．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，以下结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．函数的图象关于直线轴对称 D．若函数在上有8个零点，则所有零点之和为24 35．（23-24高一上·甘肃金昌·期中）已知函数．    (1)用分段函数的形式表示该函数并画出该函数的图象； (2)写出此函数的单调区间（不需要写过程）． 36．（24-25高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 题型七、复合函数的单调性 解题技巧提炼 求复合函数单调区间的关键是“同增异减” 37．已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 38．（2023高一·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 39．函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 40．已知函数，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 . 41．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）讨论函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值． 42．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）； (2)设在区间上最大值为，求的解析式. 43．已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论； (3)已知且，若.试证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$