精品解析：2024年福建省中考模拟预测卷数学试题

2023—2024学年第二学期初中毕业年级模拟考试·预测卷 数学试题 （全卷共8页，25小题；满分：150分；答卷时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人的准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码上的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在各答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（ ）． A. B. C. D. 7 2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 据中经数据网公布，年底，福建常住人口数万人，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 为宣传节约用水的环保理念，同学们设计了下列环保节水图标，其中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 与运算结果相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，以为直径的交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，平分交于于点E，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，已知，请阅读以下作图步骤： ①以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交线段，于两点； ②分别以这两点为圆心，大于这两点距离的长为半径画弧，两弧交于点P； ③分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在两侧交于两点； ④过这两点作直线分别交，于点，，连接，． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ） A. B. C. D. 10. 某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（ ） A. 众数、平均数分别是分与分 B. 众数、中位数分别是分与分 C. 众数、中位数分别是分与分 D. 中位数、平均数分别是分与分 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：=___． 12. 在平面直角坐标系中，双曲线同时经过点，，则a的值为_______． 13. 电脑等现代技术的广泛使用，改变了人们的书写习惯．为了引起青少年对汉字书写的重视，某校举行了汉字听写比赛，并将决赛中甲、乙两个小组五次比赛的成绩（百分制）进行整理，绘制成如图所示的统计图，已知两个小组平均成绩均为分，学校需要从甲、乙两组中选择成绩比较稳定的一组代表学校参加市级汉字听写比赛，则应该选择的小组是_______组． 14. 在中，点，分别为，的中点，与交于点O，已知四边形的周长为4，的周长为_______． 15. 已知，则值为_______． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线上有三点，，，且，，则_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 如图，在中，点D在线段上，，点E在延长线上，点F在上，且，．求证：． 20. 先化简．再求值：，其中． 21. 如图，在中，，，将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，点F在上，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：四边形为菱形． 22. 如图，大小质地完全相同的两个圆形转盘，都被平均分成份，并涂上红、白两种颜色．其中：涂有白色份，红色份；涂有红色份，白色份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． （1）自由转动转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； （2）游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规则的情况下，若将转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以份均分），是否有可能使这个游戏对双方都公平？若能，转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由． 23. 数学家海伦在《》中给出一种“在山体两侧同时施工，挖掘直线隧道”方法：如图1，在山体两侧的点A和点B之间挖一条直线隧道，从B处出发任作线段，过C作，过D作，过E作，过A作于点G，每条线段均可测量，长度分别为，，（单位：）．在上分别取点M和N，过点M和N分别作和的垂线，分别为两垂线上的点，在四点共线的前提下，通过计算，可确定的位置，故只需保证在隧道挖掘过程中，山体侧的工人始终能分别看见处的标志即可确保为直线隧道．为确定的位置，小明积极思考，求解如下： 如图2，延长，过A作垂直于的延长线，垂足为H，连接，由题意可得 ① ，（用含的代数式表示） 又四点共线， ， 又， ， ， ， ， 即的位置应满足． 阅读以上材料，完成下列问题： （1）补全小明求解过程中①所缺的内容，并计算当，时，的长； （2）小明给出另一种从B向A单向直线挖隧道方法：如图3，在山体外侧画一条直线l，过点分别作直线l的垂线段，垂足分别为，点Q为直线l上的点，在三点共线的前提下，通过测量、计算，确定点Q的位置，故只需保证在隧道挖掘过程中，B侧的工人始终能看见Q处的标志即可确保为直线隧道．请你根据小明的方法，测量所需的线段长度，并利用所学的知识确定点Q的位置，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母表示） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（A在B左侧），与y轴交于点C，直线过抛物线顶点M，与抛物线交于另一点N． （1）若，求c的值； （2）若． ①求抛物线的解析式； ②已知点P在x轴的正半轴上，且，直线与直线交于点Q，与抛物线交于点D，且，求点D的坐标． 25. 如图1，在菱形中，，点E在延长线上，且，连接交于点F． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）如图2，若点P在线段上，且，为中点，交于点N，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期初中毕业年级模拟考试·预测卷 数学试题 （全卷共8页，25小题；满分：150分；答卷时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人的准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码上的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在各答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 相反数是（ ）． A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 【详解】解：的相反数是7． 故选：D． 2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体三视图中主视图．根据题意可知从正面看是三角形的几何体，即为本题答案． 【详解】解：A、主视图是长方形，故此选项错误； B、主视图是长方形，故此选项错误； C、主视图是三角形，故此选项正确； D、主视图是正方形，故此选项错误； 故选：C． 3. 据中经数据网公布，年底，福建常住人口数为万人，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法表示为的形式，其中，为整数．据此即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 4. 为宣传节约用水的环保理念，同学们设计了下列环保节水图标，其中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意； B．图形是轴对称图形，符合题意； C．图形不是轴对称图形，不符合题意； D．图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 5. 与运算结果相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方．根据积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 6. 如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 和题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，，， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：D． 7. 如图，在中，以为直径的交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先求解，证明是的垂直平分线，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵以为直径的交于点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． ∴； 故选：D． 8. 如图，中，平分交于于点E，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的性质，由勾股定理可得，再证明，再利用等面积法建立方程得，则，再根据勾股定理求解即可．理解并掌握勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，平分交于于点E， ∴， 则， ∴， ∴，则， ∴， 故选：B． 9. 如图，已知，请阅读以下作图步骤： ①以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交线段，于两点； ②分别以这两点为圆心，大于这两点距离的长为半径画弧，两弧交于点P； ③分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在两侧交于两点； ④过这两点作直线分别交，于点，，连接，． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据作图得出是的角平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的定义得出，根据垂直平分线的旋转得出，，根据等边对等角得出，，推得，，根据平行线的判定得出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出． 【详解】解：连接，如图： 由①②可得是的角平分线，由③④可得是的垂直平分线， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线和垂直平分线的画法，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握角平分线和垂直平分线的画法是解题的关键． 10. 某班举办“校园安全”知识答题竞赛活动，规定：共道题，答对一道得分，答错或不答不得分．现将全班名学生的成绩进行统计，制作成如下不完整的形统计图，已知分和分的学生共有人，分的学生超过人，分的学生在形统计图中所对应的圆心角是钝角．根据扇形统计图中的信息，下列判断正确的是（ ） A. 众数、平均数分别是分与分 B. 众数、中位数分别是分与分 C. 众数、中位数分别是分与分 D. 中位数、平均数分别是分与分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数和平均数的定义和扇形统计图相关知识，根据众数、中位数和平均数的定义和扇形统计图进行分析即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由全班共有人，分和分的学生共有人，分学生超过人， ∵分学生的扇形统计图中对应的圆心角是钝角，而， ∴分学生人数大于等于人， ∵分和分的学生共有人，剩下四种分数的也有人，按照分数从小到大排序，则在第位和第位的是分和分， ∴中位数是分， 根据扇形统计图，只有分的是钝角，其余都是锐角，因此得分的人数最多，∴众数是分， 由分和分学生共有人，分学生超过人，分学生人数大于等于人，因此分学生最少人，分学生最多人，分学生最少人，此时设分学生人，则分学生人，分学生： 人，平均数为 ， ∵， ∴平均数大于， ∴众数分，中位数分，平均数大于分， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：=___． 【答案】9 【解析】 【详解】解： 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，双曲线同时经过点，，则a的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．将，代入，即可求出的值． 【详解】解：根据双曲线同时经过点，，将，代入得： ，，即，， 得出， 解得：． 故答案为：． 13. 电脑等现代技术的广泛使用，改变了人们的书写习惯．为了引起青少年对汉字书写的重视，某校举行了汉字听写比赛，并将决赛中甲、乙两个小组五次比赛的成绩（百分制）进行整理，绘制成如图所示的统计图，已知两个小组平均成绩均为分，学校需要从甲、乙两组中选择成绩比较稳定的一组代表学校参加市级汉字听写比赛，则应该选择的小组是_______组． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，数据稳定性的判断．根据各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定即可求解． 【详解】解：根据题意可得甲，乙两组的平均数相同相近，从图中看到，甲组成绩的波动比乙组的波动大． 故答案为：乙． 14. 在中，点，分别为，的中点，与交于点O，已知四边形的周长为4，的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质．根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线等于第三边的一半可得，，结合四边形的周长即可求解． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴，， 在平行四边形中，， 故是的中位线，是的中位线， ∴，， 四边形的周长为， 故的周长为． 故答案为：． 15. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据，推得，再代入即可求解． 【详解】解：， 即， 整理得：， ， 将代入求得． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线上有三点，，，且，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，抛物线的对称性，坐标系中两点间的距离等．先根据抛物线的对称性求出，，根据坐标系中两点间的距离得出，结合锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：根据题意可得点与点关于抛物线的对称轴对称， 故，整理得，， ∵点，在抛物线上， 故，， 则， 将代入，得出， 故， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质化简、负整数指数幂的性质，熟练掌握其运算是解题的关键． 根据二次根式性质化简、负整数指数幂的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据：“大小小大中间找”确定不等式组解集． 【详解】解： 由①得，即 由②得，即 不等式组解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集． 19. 如图，在中，点D在线段上，，点E在的延长线上，点F在上，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，全等三角形的判定和性质．根据等边对等角推出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 先化简．再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分母有理化．先根据分式的混合运算化简原式，再将代入计算． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，在中，，，将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，点F在上，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：四边形为菱形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得，根据全等三角形的对应角相等得出，根据三角形内角和定理求出，即； （2）根据旋转得出，根据平行线的判定得出，，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 由旋转的性质可知，． 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：由旋转的性质可知，， 由（1）可知，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知，，且， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定，旋转的性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 22. 如图，大小质地完全相同的两个圆形转盘，都被平均分成份，并涂上红、白两种颜色．其中：涂有白色份，红色份；涂有红色份，白色份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． （1）自由转动转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； （2）游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规则的情况下，若将转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以份均分），是否有可能使这个游戏对双方都公平？若能，转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）这个游戏规则对乙更有利；没办法使这个游戏规则对双方都公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了游戏的公平性，概率的计算方法，列表法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）首先计算出各种情况的概率，然后比较即可； （2）用列表法可以表示所有可能出现的结果，计算出甲、乙两人获胜的概率，即可知道游戏规则对谁都公平，根据无论如何涂色都是有种等可能的结果，不可能出现种结果，所以不可能使这个游戏对双方都公平． 【小问1详解】 解：自由转动转盘一次，指针指向白色的可能为次，红色的可能为次， ∴转盘停止后指针指向白色的概率， 【小问2详解】 解：如表： 由上表可知，共有种等可能的结果，指针所指区域颜色相同的结果共有种， ∴甲获胜的概率为， ∵颜色不同的结果共有种， ∴乙获胜的概率为， ∴这个游戏规则对乙更有利， 没有可能使这个游戏对双方都公平。因为无论如何涂色都是有种等可能的结果，若使游戏对双方都公平，那么颜色相同和颜色不同的结果都应为或种，而不可能出现种结果， ∴不可能使这个游戏对双方都公平． 23. 数学家海伦在《》中给出一种“在山体两侧同时施工，挖掘直线隧道”的方法：如图1，在山体两侧的点A和点B之间挖一条直线隧道，从B处出发任作线段，过C作，过D作，过E作，过A作于点G，每条线段均可测量，长度分别为，，（单位：）．在上分别取点M和N，过点M和N分别作和的垂线，分别为两垂线上的点，在四点共线的前提下，通过计算，可确定的位置，故只需保证在隧道挖掘过程中，山体侧的工人始终能分别看见处的标志即可确保为直线隧道．为确定的位置，小明积极思考，求解如下： 如图2，延长，过A作垂直于的延长线，垂足为H，连接，由题意可得 ① ，（用含的代数式表示） 又四点共线， ， 又， ， ， ， ， 即的位置应满足． 阅读以上材料，完成下列问题： （1）补全小明求解过程中①所缺的内容，并计算当，时，的长； （2）小明给出另一种从B向A单向直线挖隧道的方法：如图3，在山体外侧画一条直线l，过点分别作直线l的垂线段，垂足分别为，点Q为直线l上的点，在三点共线的前提下，通过测量、计算，确定点Q的位置，故只需保证在隧道挖掘过程中，B侧的工人始终能看见Q处的标志即可确保为直线隧道．请你根据小明的方法，测量所需的线段长度，并利用所学的知识确定点Q的位置，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母表示） 【答案】（1）①， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，掌握其性质是解题的关键． （1）根据题意进行解答即可． （2）延长交l于点Q，证明即可解答． 【小问1详解】 ， 当，时， 由题意 又， ∴． 【小问2详解】 测量，，， 延长交l于点Q， ∵，， ∴， ∴，即， 得， 即点Q在直线l上，且在点S的下方处． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（A在B左侧），与y轴交于点C，直线过抛物线顶点M，与抛物线交于另一点N． （1）若，求c的值； （2）若． ①求抛物线的解析式； ②已知点P在x轴的正半轴上，且，直线与直线交于点Q，与抛物线交于点D，且，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）配方得，故，则， 即可求解； （2）①设，则抛物线为，由 得，可求，所以，又因为，则，得到，由，得，可得，所以，解得，，即可求函数解析式； ②可证明，则，求得，，可求直线，在中，求得，故，则点Q在x轴下方，过O点作交于点G，分别过点作轴于点轴于点E，证明，因此．设，则，得到，求得，则直线，由即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 所以， 因为直线过， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：①如图： 设，则抛物线， 由 得， 即， 解得，， 所以， 所以， 又因为， 所以，即， 所以， 由，得， 所以， 所以， 解得，， 所以； ②因为， 所以， 所以， 由，解得：， 所以， 由①可知，， 所以， 设直线， 则， 所以， 所以直线， 在中，， 所以， 所以． 因为， 所以点Q在x轴下方． 过O点作交于点G，分别过点作轴于点轴于点E， 则，， 所以， 所以， 所以． 设，则， 所以， 所以， 所以， 解得：， 所以， 设直线， 则， 所以， 所以直线， 由 解得，或 所以或． 【点睛】本题考查了二次函数与角度的综合问题，难度很大，考查了已知两点求距离，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25. 如图1，在菱形中，，点E在延长线上，且，连接交于点F． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）如图2，若点P在线段上，且，为中点，交于点N，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对边平行得出，根据平行线截取线段成比例得出，即可推得； （2）根据菱形的四条边相等，对边平行得出，，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，根据直角三角形的性质得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的性质得出，即可证明； （3）设，连接，根据题意可得，结合（2）得出，，结合勾股定理求出，结合题意得出，推得，结合菱形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，，过点P作于点Q，根据平行线的性质得出，故，根据勾股定理得出，，，得出，过点C作于点G，交于点H，连接，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得为的重心，结合重心的性质得出，根据锐角三角函数求出，推得，得出、、、四点共圆，设，则，，得出，结合锐角三角函数求出，则，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：设菱形的对角线与相交于点O，如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设，连接， ∵， ∴， 由（2）可得，，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在菱形中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 过点P作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点C作于点G，交于点H，连接，， ∴，（三线合一） 又， ∴为的重心， ∴， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴、、、四点共圆， ∴． 设， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线截取线段成比例，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，重心的性质，四点共圆的应用等，熟练掌握等边三角形和圆的相关判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$