精品解析：2024年湖南省长沙市长郡集团九年级毕业会考模拟练习数学试题

2024年上学期初三年级第一次模拟测试 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 以上说法都不对 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 规定的时间 D. 以上都不对 7. 如图， 是半圆O直径，C，D是圆上的两点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 9. 如表表格是校女子排球队12名队员的年龄分布： 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（名） 1 4 5 2 则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（　　） A. 极差是4 B. 中位数是 C. 众数是15 D. 平均数是15 10. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 13. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______． 14. 如图，在矩形 中，将四边形沿 折叠得到四边形．已知，则_________． 15. 一次函数与的图象如图所示，则的解集是________． 16. 如图， 是操场上直立的一根旗杆，旗杆 上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度________________米． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 阅读材料，完成下面问题： 如图，点A是直线 外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图． （1）在直线 上任取一点 ，画线段 ． （2）以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交直线于点 ． （3）分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧交于点 ，画射线 （4）以点A为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点 ，画直线 ． （1）利用，可得到 平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据 ； （2）若，，求线段 的长． 20. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为 ，圆心角β的度数为 ； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 21. 如图，四边形是菱形，对角线 、 交于点O，点D、B是对角线 所在直线上两点，且，连接 、 、 、 ，． （1）求证：四边形 是正方形； （2）若正方形 的面积为72，，求菱形的面积． 22. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 23. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽 所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题： （1）求证：； （2）求证：； （3）若 ，，，求的长． 24. 定义： 在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点 ，绕原点顺时针旋转 后的对应点 (点 与 不重合) 仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点 称为这个函数的“凡尔赛点”，点 叫作点 的“后凡尔赛点”． （1）函数①，② ，③ ，其中是 “凡尔赛函数”的是 （填序号） （2）若一次函数 是 “凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； （3）若点 是二次函数 (其中 为常数， ) 的“凡尔赛点”，点 为 的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与 轴交于 两点，由点、 四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围． 25. 如图1，在 中， ，，， 是 的中点．经过 ， ， 三点的 交 于点 ，连接． （1）求和的长； （2）如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接． ①记，当的面积最大时，求x的值； ②如图3，连接 并延长交 于点 ，连接、 ．当平分时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期初三年级第一次模拟测试 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 3. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时， 是正整数；当原数的绝对值时， 是负整数． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 4. 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 以上说法都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【详解】解：总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：B． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握如何在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式组的解集，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可得出答案． 【详解】解：， 由可得： ， 由可得：， 因而，不等式组的解集为：， 故选： ． 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 规定的时间 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意和方程中式子的意义． 根据是表示快马的速度是慢马的2倍，则是表示慢马的速度，是表示快马的速度，所以是表示慢马的时间，是表示慢马的时间，即可求解． 【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：， ∴x表示规定的时间． 故选：C． 7. 如图， 是半圆O直径，C，D是圆上的两点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角等于 可得 ，然后在中求出的度数，再根据“圆的内接四边形对角互补”即可求出的度数．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 是半圆O的直径， ， ， ， ∵四边形 是 的内接四边形， ， 故选：B． 8. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 9. 如表表格是校女子排球队12名队员的年龄分布： 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（名） 1 4 5 2 则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（　　） A. 极差是4 B. 中位数是 C. 众数是15 D. 平均数是15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数的意义，平均数与极差的含义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．根据极差，中位数和众数，平均数的定义分别求解，再判断即可． 【详解】解：观察图表可知： 这12名队员的年龄的极差为．故A不符合题意； 共12人，中位数是第6，第7个数的平均数，因而中位数是15．故B不符合题意； 年龄是15岁的人数最多的是5人，众数是15．故C符合题意； 平均数为．故D不符合题意； 故选：C． 10. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的取值范围． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 阻力和阻力臂的函数关系式为， ， ， 当时，， 小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 【答案】不确定事件 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，属于随机事件． 【详解】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，是不确定事件， 故答案为：不确定事件． 13. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π． 故答案为6π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14. 如图，在矩形 中，将四边形沿 折叠得到四边形．已知，则_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，矩形的折叠问题，先根据翻折变换的性质求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解： 四边形由四边形翻折而成， ， ， ， ． 四边形 是矩形， ， ． 故答案为：． 15. 一次函数与的图象如图所示，则的解集是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键． 利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：观察函数图象得时，， 所以的解集是． 故答案为：． 16. 如图， 是操场上直立的一根旗杆，旗杆 上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度________________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形．在中，根据，求出米，在中，根据即可求出 的高度． 【详解】解：在中， ∵°， ∴米， 在中， ∵， ∴米． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟记特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算及代数式求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及相关运算法则是解题关键．先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再按照整式加减法则和整式除法法则完成化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 19. 阅读材料，完成下面问题： 如图，点A是直线 外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图． （1）在直线 上任取一点 ，画线段 ． （2）以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交直线于点 ． （3）分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧交于点 ，画射线 （4）以点A为圆心， 长为半径画弧，交射线 于点 ，画直线 ． （1）利用，可得到 平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据 ； （2）若，，求线段 的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及解直角三角形； （1）根据题意可直接进行求解； （2）过点A作，求得，解直角三角形结合等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由作图可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴ 平分， 综上所述：这两个三角形全等的判定依据； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点A作，由作图得， ∴， ∵ 平分， ∴， 在中，， ∴， ∴． 20. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为 ，圆心角β的度数为 ； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）60， 统计图如图所示； （2）20，144° （3）1000名 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B组的人数及百分比求出样本容量，用样本容量乘以A的百分比求出人数即可补全条形统计图； （2）用A的人数12除以60，再乘以百分比即可得到a值；用360°乘以百分比得到圆心角β的度数； （3）用C加D的人数和与60的比乘以2000即可得到答案； （4）列树状图得到所有等可能的结果总数及恰好选中甲和乙的结果数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 （1）样本容量为， C组的人数为， 故答案为：60； 【小问2详解】 ，即a=20；， 故答案为：20，144°； 【小问3详解】 （名）， 答：全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有1000名； 【小问4详解】 （4）画树状图如图： 共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种， ∴P（恰好选中甲和乙）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，用列表法或画树状图法求概率． 21. 如图，四边形是菱形，对角线 、 交于点O，点D、B是对角线 所在直线上两点，且，连接 、 、 、 ，． （1）求证：四边形 是正方形； （2）若正方形 的面积为72，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵菱形的对角线 和 交于点O， ∴，， ， ∵， ∴， 又∵ ， ∴四边形 是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形 是正方形； （2）24 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形 是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题； （2）由正方形的面积公式求得，进而得到，由四边形 是菱形得到 ，，菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形 的面积为72， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形 是菱形， ∴，， ∴菱形的面积． 22. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】（1）2，3.6 （2） （3） 明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， 故答案为：2，3.6； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 略 23. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽 所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题： （1）求证：； （2）求证：； （3）若 ，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 是 的直径, ∴， ∴， ∵所在的直线是 的切线，点恰好在所在的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 证明：∵，, ∴. ∴， 即． （3）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质 ，圆周角定理，相似三角形的判定与性质掌握圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由圆周角定理得出，由切线性质得出即可求证； （2）先证明即可得出； （3）由得出，代入数据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∵ ， ∴， ． 24. 定义： 在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点 ，绕原点顺时针旋转 后的对应点 (点 与 不重合) 仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点 称为这个函数的“凡尔赛点”，点 叫作点 的“后凡尔赛点”． （1）函数①，② ，③ ，其中是 “凡尔赛函数”的是 （填序号） （2）若一次函数 是 “凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； （3）若点 是二次函数 (其中 为常数， ) 的“凡尔赛点”，点 为 的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与 轴交于 两点，由点、 四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围． 【答案】（1）③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“凡尔赛函数”概念解答即可； （2）根据点是一次函数的“凡尔赛点”，点的“后凡尔赛点”为，列方程解答即可； （3）点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”，用a表示出b、c的值，得到，令得，由根与系数的关系得到，令，得到，解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，“凡尔赛函数”必经过两个相邻的象限，且两点与原点所成三角形为等腰直角三角形， ∴①②不符合题意， ∵经过两个相邻的象限，且必然存在等腰直角三角形， ∴③符合题意， 故答案为：③． 【小问2详解】 解：∵点是一次函数的“凡尔赛点”，设的“后凡尔赛点”为，过点作 轴的垂线，垂足为， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 得； 当时，，满足条件； 当时， ∵关于k的一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 又∵m为整数， ∴或， 当时，，解得 或； 当时，解得（舍去），． 综上：k的值为 或1或或． 【小问3详解】 解：∵点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”， ∴“后凡尔赛点”B的坐标为． ∴， 解得， ， 令得． ∵，， ∴ ， 令，则． ∵， ∴， 解得． ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数，一次函数，反比例函数的图形与性质，二次函数，一次函数，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 25. 如图1，在 中， ，，， 是 的中点．经过 ， ， 三点的 交 于点 ，连接． （1）求和的长； （2）如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接． ①记，当的面积最大时，求x的值； ②如图3，连接 并延长交 于点 ，连接、 ．当平分时，求的值． 【答案】（1）；； （2）①当的面积最大时，x的值为5；②． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的边角关系定理求得 ， ，连接 ，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理求得 ， ，则；过点 作于点 ，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可； （2）①当点从点 匀速运动到点 时，点恰好从点 匀速运动到点 ，则，代入数值求得 ，过点作于点 ，利用含 角的直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式，配方法和二次函数的性质解答即可； ②过点 作，过点作，利用角平分线的性质定理得到，利用圆的有关性质得到，利用直角三角形的边角关系定理求得，，再利用相似三角形的判定与性质求得 ， ，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可； 【小问1详解】 解：在中， ，，， ，， 连接 ，如图， ， 是 的直径， ， 又是 的中点， ， 在中， ，， ，， ； 过点 作于点 ， 在和中， ，， ，， 在中， ， ； 【小问2详解】 解：① 当点从点 匀速运动到点 时，点恰好从点 匀速运动到点 ， ， ，，， ， ， 过点作于点 ，如图， ， ， 的面积． ，， 当时，的面积最大． 当的面积最大时， 的值为4； ②由（1）知：， 过点 作，过点作，如图， 平分，，， ， 平分， ∴， ， 又， ， ，， ， ． ，， ， ， ， 解得：，， 在中， ，， ． ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，含 角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，配方法，二次函数的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $