3.4 二元一次方程组及其解法课件 2024-2025学年沪科版（2024）数学七年级上册

第3章　一次方程与方程组 3.4　二元一次方程组及其解法　 第1课时　二元一次方程组 沪科版 七年级上册 目 录 01 核心必知 02 1星题　基础练 03 2星题　中档练 04 3星题　提升练 1. 含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的方程叫作二元一次方程. 2. 由两个 ⁠组成的含两个未知数的方程组就叫作 二元一次方程组，其中有的方程可以是一元一次方程. 两个　 一次方程　 核心必知 二元一次方程 1. 【知识初练】下列方程中，是二元一次方程的是(　B　) A. 3 x2－2 y ＝7 B. 2 x ＋ y ＝5 C. ＋2＝3 y D. x －3＝4 y2 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1星题　基础练 2. [2023·合肥月考]若方程 xa－2＋3 yb＋1＝4是关于 x ， y 的 二元一次方程，则 a － b ＝ ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 二元一次方程组 3. 【知识初练】下列方程组中，属于二元一次方程组的是 (　C　) C A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4. 已知二元一次方程：① x ＋ y ＝4；②2 x － y ＝2；③ x － 2 y ＝1.根据上述方程可以构造的二元一次方程组 是 .(写一个即可) (答案不唯一)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5. 若方程组是关于 x ， y 的二元 一次方程组，则 mn ＝ ⁠. 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 建立二元一次方程组的模型 6. [2024·宣城月考]某班35名学生共种87棵树苗.其中男生 每人种3棵，女生每人种2棵，设该班男生有 x 人，女生有 y 人.根据题意，所列方程组正确的是(　D　) D A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7. 【教材改编题】根据题意列二元一次方程组. (1)一个长方形的周长是42 cm，宽比长短3 cm，求这个长方形的长和宽. 解：(1)设这个长方形的长为 x cm，宽为 y cm，则 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住5人，该校住宿生198人恰好住满这30间宿舍，大、小宿舍各有多少间？ 解：(2)设大宿舍有 x 间，小宿舍有 y 间，则 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8. [2024年1月合肥庐阳区期末]若方程( a ＋1) x ＋3 y｜ a｜＝1 是关于 x ， y 的二元一次方程，则 a 的值为(　D　) A. －1 B. ±1 C. 0 D. 1 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2星题　中档练 9. 已知方程组：①②③下列说法正确的是(　D　) D A. 只有①是二元一次方程组 B. 只有②是二元一次方程组 C. 只有②③是二元一次方程组 D. 只有②不是二元一次方程组 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10. 【立德树人·关注传统文化】《九章算术》中记载了一道 数学问题，其译文为：有大、小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛(斛，古代一种容量单位)，5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛.问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒 x 斛、1个小桶可以盛酒 y 斛.根据题意，可列方程组为(　A　) A A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11. 若｜ x － y －1｜＋(2 x －3 y ＋4)2＝0，则可转化为方程 组： ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12. [2024·庐阳月考]根据题意列二元一次方程组. (1)有两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车分别可以装多少吨货物？ 解：(1)设每节火车皮和每辆汽车分别可以装 x 吨， y 吨货物，由题意得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)某校课外小组的学生准备外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人.这个课外小组分成了几组？共有多少人？ 解：(2)设这个课外小组分成了 x 组，共有 y 人，由题意得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13. 如图是由截面为同一种长方形的墙砖组成的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高8 cm，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低44 cm，试求每块墙砖截面的长和宽.若设每块墙砖的截面的长为 x cm，宽为 y cm，请根据题意，列出二元一次方程组. 解：由“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高8 cm”得3 y － x ＝8.由“2块横放的墙砖比2块竖放的 墙砖低44 cm”得2 x －2 y ＝44.故可 列出二元一次方程组为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14. [模型观念]某市在创建省级卫生文明城市建设中，对部 分河道进行整治.现有一段长225米的河道整治任务由 甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治10 米，乙工程队每天整治15米，共用时20天.甲、乙两工程 队分别整治河道多少米？ 小强、小华两名同学提出的解题思路如下： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3星题　提升练 小强同学：设甲工程队整治河道 x 米，乙工程队整治河 道 y 米.根据题意，得 小华同学：设 为 m 天， ⁠ 为 n 天， 则可列方程组为 请你补全小强、小华两名同学的解题思路. 甲工程队工作的天数　 乙工 程队工作的天数　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 $$第3章　一次方程与方程组 3.4　二元一次方程组及其解法　 第2课时　二元一次方程组的解法——代入消元法 沪科版 七年级上册 目 录 01 核心必知 02 1星题　基础练 03 2星题　中档练 04 3星题　提升练 1. 使二元一次方程组中每个方程 ⁠的两个未知数的 值，叫作二元一次方程组的解. 2. 用代入消元法解二元一次方程组时，第一步必须从方程组 中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用 含另一个未知数的式子表示出来. 都成立　 核心必知 二元一次方程(组)的解 1. 【知识初练】在①②③ 中， 是方程 x ＋ y ＝0的解， 是方程 x －4 y ＝5的解，所以 是方程组的解. ①③　 ③　 ③　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　基础练 2. [2023·衢州月考]若是关于 x ， y 的方程 x － ay ＝3的一个解，则 a 的值为(　D　) A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. [2024·嘉兴月考]下列方程可以与 x － y ＝3组成方程组的 解为的是(　C　) A. x ＋2 y ＝3 B. 2( x － y )＝6 y C. 3 x －4 y ＝10 D. x ＋3 y ＝2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4. 【创新题·开放题】写出一个解为的二元一次方 程组： ⁠. (答案不唯一)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 5. 【知识初练】[2024年1月亳州利辛期末]已知方程 x ＋ y － 2＝0，改写成用含 x 的代数式表示 y 的形式，则 y ＝ ⁠ ⁠. 2－ x 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. 已知二元一次方程4 x －7 y ＝3，用含 x 的代数式表示 y ， 正确的是(　C　) A. x ＝ B. x ＝ C. y ＝ D. y ＝ C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 代入消元法解二元一次方程组 7. 用代入法解方程组下列说法正确的是(　B　) B A. 直接把①代入②，消去 y B. 直接把①代入②，消去 x C. 直接把②代入①，消去 y D. 直接把②代入①，消去 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. 用代入法解方程组： 你选择先消去的元是 ，具体是将方程 (填 “①”或“②”)变形为 ，再代入方 程 (填“①”或“②”). x 　 ②　 x ＝5 y －4　 ①　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. 方程组的解为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 y y x 200 y ＋250 y 50 000 20 000 ＝22 500 000 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10. 用代入消元法解方程组： 解：由②，得 x ＝7－3 y ③，将③代入①，得3(7－3 y )＋ y ＝5，解得 y ＝2，将 y ＝2代入③，得 x ＝1，所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11. 已知则 x 与 y 的关系式是 ⁠. x ＋3 y －14＝0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　中档练 12. [整体思想]已知是方程3 mx － ny ＋6＝0的解， 则4 m － n ＝ ⁠. －2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. [2024·合肥月考]若关于 x ， y 的两个方程组 与有相同的解， 则 m ＝ ， n ＝ ⁠. 6　 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 【变式题】[2023·合肥月考]已知关于 x ， y 的二元一次方程 组的解满足 x － y ＝0，求 m 的值. 解：由方程组得因为 x － y ＝0，所以(11－2 m )－(4 m －18)＝0，解得 m ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. [2024·铜陵月考]用代入消元法解方程组： (1) 解：(1)原方程组可化为 将①代入②，得2(3 y －7)－5 y ＝－6，解得 y ＝8， 将 y ＝8代入①，得 x ＝17， 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)原方程组可化为 将①代入②，得2(6 y －1)－ y ＝9，解得 y ＝1， 将 y ＝1代入①，得 x ＝5， 所以原方程组的解为 (2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. [运算能力]阅读材料：解方程组 在本题中，先将 x ＋ y 看成一个整体，将①整体代入②， 得3×4＋ y ＝14，解得 y ＝2. 把 y ＝2代入①，得 x ＝2，所以 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　提升练 这种解法称为“整体代入法”，若留心观察，你会发现有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组 解：由①，得 x － y ＝1③， 把③代入②，得4－ y ＝5，解得 y ＝－1， 把 y ＝－1代入③，得 x －(－1)＝1，解得 x ＝0， 所以 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第3章　一次方程与方程组 3.4　二元一次方程组及其解法　 第3课时　二元一次方程组的解法——加减消元法 沪科版 七年级上册 目 录 01 核心必知 02 1星题　基础练 03 2星题　中档练 04 3星题　提升练 　　用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程 中某一个未知数的系数的绝对值相同. 核心必知 加减消元法 1. 【知识初练】方程组中，未知数 x 的 系数关系是 ，把方程①②的两边分别 ⁠ (填“相加”或“相减”)，就能消去未知数 ⁠； 方程组中，未知数 y 的系数关系是 ⁠ ，把方程③④的两边分别 (填“相 加”或“相减”)，就能消去未知数 ⁠. 相等　 相减 x 　 互 为相反数　 相加　 y 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　基础练 2. [2023·淮南月考]用“加减法”消去方程组 中的 x 后得到的方程是(　D　) A. 3 y ＝2 B. 3 y ＝－2 C. 7 y ＝2 D. －7 y ＝2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. 6 － 5 3 38 y ＝－19 x 相等 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4. 小琪在用“加减消元法”解二元一次方程组 时，利用①× a ＋②× b 消去 x ，则 a ， b 的值可以是(　B　) A. 2，3 B. 2，－3 C. 5，2 D. －5，2 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5. [2024·六安月考]若 x ， y 互为相反数，且3 x － y ＝4，则 xy 的值为 ⁠. －1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. [2023·淮北月考]用加减法解方程组： (1) 解：(1)②－①，得 x ＝6，把 x ＝6代入②， 得12＋ y ＝16， 解得 y ＝4，所以方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)①＋②×3，得10 x ＝50，解得 x ＝5， 把 x ＝5代入②，得10＋ y ＝13，解得 y ＝3， 所以方程组的解为 (2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 用适当的方法解二元一次方程组 7. 二元一次方程组最适宜用 ⁠消元法 直接消元. 加减　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. 已知①② ③④四个方程组，比较适宜采用的解法是(　C　) C A. ①②用代入法，③④用加减法 B. ②③用代入法，①④用加减法 C. ①③用代入法，②④用加减法 D. ②④用代入法，①③用加减法 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. 选择适当的方法解下列方程组. (1)　　 解：(1)由①，得 x ＝－ y ③.把③代入②，得－3 y ＋4 y ＝6.解得 y ＝6.把 y ＝6代入③，得 x ＝－6.所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)②×4，得 x ＋2 y ＝0 ③.①－③，得 y ＝4，把 y ＝4代入①，得 x ＋12＝4，解得 x ＝－8.所以原方程组的解为 (2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10. 由方程组消去 m ，可得 x 与 y 的关系 式是(　A　) A. 2 x －5 y ＝5 B. 2 x ＋5 y ＝－1 C. －2 x ＋5 y ＝5 D. 4 x － y ＝13 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　中档练 11. 若关于 x ， y 的二元一次方程组的解 满足 x ＋ y ＝7，则 k 的值是(　B　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 12. [2024年1月池州青阳期末]已知有理数 x ， y 满足方程组 则2 x ＋ y 的值为(　A　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. [2023·南阳月考]已知关于 x ， y 的方程组 的解是则 m ＋2 n 的值 为 ⁠. 点拨：将代入原方程组得即 ①＋②，得2 n －1＝2－ m ，所以 m ＋2 n ＝3. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. [2024·六安月考]在解关于 x ， y 的方程组 时，可以用①×2－②消去未知 数 x ，也可以用①×4＋②×3消去未知数 y ，试求 a ， b 的值. 解：由题意得解得 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. 【中考趋势题】【运算能力】小杰和小丽对以下这个问 题提出了各自的想法： “如果关于 x ， y 的方程组的解是 求关于 x ， y 的方程组 的解.” 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　提升练 小杰说：“这个问题好像条件不够，不能求解.” 小丽说：“它们的系数有一定的规律，从这个角度可以 试一试.” 这个问题是否能求解？如果不能，请说明理由；如果 能，请写出求解过程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：能.求解过程如下：将方程组的①②两边同 时除以5，得因为关于 x ， y 的方程组的解是所以解得即关于 x ， y 的方程组的解为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第3章　一次方程与方程组 3.4　二元一次方程组及其解法　 第4课时　二元一次方程组的解法 沪科版 七年级上册 代入消元法 1. [2024年1月合肥庐阳区期末]用代入消元法解下列方程组. (1) 解：由①，得 x ＝ y －5③， 把③代入②，得3( y －5)＋2 y ＝10，解得 y ＝5. 把 y ＝5代入③，得 x ＝0.所以原方程组的解为 2 3 1 (2) 解： 由①，得 y ＝45－ x ③. 把③代入②，得2 x ＋45－ x ＝60，解得 x ＝15. 把 x ＝15代入③，得 y ＝30. 所以原方程组的解为 2 3 1 (3) 解：原方程组整理为 由②，得 x ＝2 y －3③. 将③代入①，得3(2 y －3)＋4 y ＝11，解得 y ＝2， 将 y ＝2代入③，得 x ＝1，所以原方程组的解为 2 3 1 加减消元法 2. 用加减消元法解下列方程组. (1) 解：①＋②，得6 x ＝24，解得 x ＝4. 把 x ＝4代入①，得4×4－ y ＝11，解得 y ＝5. 所以原方程组的解为 2 3 1 (2) 解：①×0.5，得0.5 x ＋0.2 y ＝20.③ ②－③，得0.5 y ＝15，解得 y ＝30. 把 y ＝30代入①，得 x ＋0.4×30＝40， 解得 x ＝28. 所以原方程组的解为 2 3 1 (3) 解：①＋②，得 ＝6.③　 ①－②，得 ＝－4.④ 解由③④构成的方程组，可得 2 3 1 用适当的方法解二元一次方程组 3. 用适当的方法解下列方程组. (1) 解：原方程组整理得②－①，得4 y ＝－16， 解得 y ＝－4，将 y ＝－4代入①，得2 x ＋4＝16， 解得 x ＝6.故原方程组的解为 2 3 1 (2) 解：原方程组可化为 ①×2－②×3，得－ x ＝－4，即 x ＝4， 将 x ＝4代入①，得 y ＝2. 所以原方程组的解为 2 3 1 (3) 解：原方程组可化为 ①－②，得16 y ＝16，解得 y ＝1. 将 y ＝1代入②，得 x ＝7. 所以原方程组的解为 2 3 1 (4) 解：原方程组可化为 把①代入②，得15 y ＋5 y ＝160，解得 y ＝8. 把 y ＝8代入①，得 x ＝40. 所以原方程组的解为 2 3 1 (5)阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常 规的代入消元法或加减消元法来解，计算量大，且易 出现运算错误，采用下面的解法则比较简单： ②－①，得6 x ＋6 y ＝6，即 x ＋ y ＝1.③ ③×17，得17 x ＋17 y ＝17.④ ①－④，得2y ＝4，解得y ＝2，把y＝2代入③，得 x ＝－1. 所以原方程组的解是 2 3 1 Ⅰ.请你运用小明的方法解方程组 解：Ⅰ. ②－①，得20 x ＋20 y ＝20，即 x ＋ y ＝1，③ ③×1 997，得1 997 x ＋1 997 y ＝1 997，④ ①－④，得2y＝4，解得y＝2，将y＝2代入③，得x＝－1， 所以原方程组的解是 2 3 1 Ⅱ.规律探究：猜想关于 x ， y 的方程组 ( a ≠ b )的解是 　　. 　 2 3 1 Ⅱ.点拨： ②－①，得( b － a ) x ＋( b － a ) y ＝ b － a ，即 x ＋ y ＝1，③ ③× a ，得 ax ＋ ay ＝ a ，④ ①－④，得2 y ＝4，解得 y ＝2， 将 y ＝2代入③，得 x ＝－1， 所以原方程组的解是 2 3 1 $$