精品解析：浙江省严州中学梅城校区2024-2025学年高一（致远班）上学期九月返校考试数学试题

致远班返校考数学考试试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义即可求解． 【详解】因为，， 所以， 故选：A． 2. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ,选B. 【考点】 集合的运算 【名师点睛】集合交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 3. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果. 【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立； 当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立； 故选：A. 4. 不论a，b为何值，的值（ ） A. 总是正数 B. 总是负数 C. 可以是零 D. 可以是正数，也可以是负数 【答案】A 【解析】 【分析】将原因式写成完全平方形式即可. 【详解】原式， 故选：A 5. 命题“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（ ） A. ∀x∈R，∃n∈N+，有n<2x+1 B. ∀x∈R，∀n∈N+，有n<2x+1 C. ∃x∈R，∃n∈N+，使n<2x+1 D. ∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的、，然后把结论否定，即可确定答案 【详解】条件中的、，把结论否定 ∴“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1” 故选：D 【点睛】本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的、且否定原结论 6 设集合，集合，若，，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，对进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】当时，有两相等的实根， 则，解得； 当时，有两相等的实根1， 则 解得； 当时，有两个不相等的实根，1， 则无解， 综上：. 故选：D 7. 给出下列命题，其中不正确的命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊值或函数的单调性来确定正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以A选项不正确. B选项，若，两边平方得，所以B选项正确. C选项，由于在上单调递增，所以，所以C选项正确. D选项，若，两边平方得，所以D选项正确. 故选：A 8. 已知，，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的同向可加性求解即可 【详解】由，， 设，则， 又，所以. 故选：D 9. 设、满足，且、都是正数，则的最大值为（ ） A. 5 B. 10 C. 25 D. 50 【答案】C 【解析】 分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为、满足，且、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 10. 函数的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】将函数化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故选：C 二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，部分选对得部分分） 11. 已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是（ ） A. 0∈A B. {1}∈A C. ∅⊆A D. {0，1}⊆A 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用元素与集合，集合与集合的基本关系判断. 【详解】解：因为集合A＝{0，1}， 所以0∈A，{1} A，∅A，{0，1}⊆A， 故选：ACD 12. 下列选项错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项可举出反例；C选项，由基本不等式进行求解，但等号取不到；D选项，换元后，由对勾函数性质进行求解 【详解】A选项，若，此时，A错误； B选项，若，此时，B错误； C选项，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 但无解，故等号取不到，C错误； D选项，令，则， 故， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，D正确. 故选：ABC 三、填空题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 13. 已知，若，则的最小值是________， 【答案】2 【解析】 【分析】由重要不等式求出最小值. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 14. 若由，，1组成集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 15. 已知A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值集合是_______. 【答案】{a|a≥4} 【解析】 【分析】先化简集合B，再根据B⊆A，由求解. 【详解】B＝{x|4x＋a<0}， 因为B⊆A，又A＝{x|x<－1或x>2}， 所以， 解得， 故答案为： 【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，属于基础题. 16. 设集合，，若，则实数t的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由可知，讨论与，即可求出答案. 【详解】因为， 所以， 当时：，满足题意； 当时：，无解； 所以实数t的取值范围为. 故答案为： 17. 对任意，恒成立，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意并结合集合间的包含关系求解即可得到结果． 【详解】对任意，恒成立， ∴， ∴a≤3. ∴实数a的取值范围是． 故答案为． 【点睛】解答本题的关键是准确理解题意，然后将问题转化为集合间的包含关系，解题中容易出现的错误是漏掉结果中的等号，属于基础题． 18. 已知，则的最小值是____． 【答案】2 【解析】 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 19. 集合，则集合的所有真子集的个数__________ 【答案】 【解析】 【分析】计算出集合中的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得集合的所有真子集个数. 【详解】，则集合中有个元素， 因此，集合所有真子集的个数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合真子集个数的计算，解题的关键就是求得集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题. 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 若是方程的两个根，试求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）4052； （2）； （3）90. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用韦达定理求出，再化简求值. 【小问1详解】 方程，，， . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 21. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 致远班返校考数学考试试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C D. 2. 设集合，则 A. B. C. D. 3. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不论a，b为何值，的值（ ） A. 总是正数 B. 总是负数 C. 可以是零 D. 可以是正数，也可以是负数 5. 命题“∀x∈R，∃n∈N+，使n≥2x+1”的否定形式是（ ） A. ∀x∈R，∃n∈N+，有n<2x+1 B. ∀x∈R，∀n∈N+，有n<2x+1 C. ∃x∈R，∃n∈N+，使n<2x+1 D ∃x∈R，∀n∈N+，使n<2x+1 6 设集合，集合，若，，则等于（ ） A B. 0 C. 1 D. 7. 给出下列命题，其中不正确的命题是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 9. 设、满足，且、都是正数，则的最大值为（ ） A. 5 B. 10 C. 25 D. 50 10. 函数的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，部分选对得部分分） 11. 已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是（ ） A. 0∈A B. {1}∈A C ∅⊆A D. {0，1}⊆A 12. 下列选项错误的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 13. 已知，若，则的最小值是________， 14. 若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为________． 15. 已知A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值集合是_______. 16. 设集合，，若，则实数t的取值范围为____________． 17. 对任意，恒成立，则实数a的取值范围是__________. 18. 已知，则的最小值是____． 19. 集合，则集合的所有真子集的个数__________ 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 若是方程的两个根，试求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 21. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$