精品解析：2024年湖南省初中学业水平考试数学联考试题（一）

2024年湖南省初中学业水平考试 数学联考试卷（一） 考生注意： 1．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上． 2．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，填写在试卷上无效． 3．本学科为闭卷考试，考试时长为120分钟，满分120分． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 下列实数，0，2，，其中最小的是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．熟练掌握负数小于0小于正数，两个负数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 根据两个负数比大小，绝对值大的反而小进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 故选：D． 2. 下列化学容器或装置的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 湖南省2023年社会消费品零售总额首次突破2万亿，达到亿元．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解定义“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当时，n是正整数，当时，n是负整数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 4. 如图，，是的平分线，是的平分线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的相关计算，根据角平分线的定义依次求出，，即可求出的度数. 【详解】解：∵，是的平分线， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：D． 5. 下列调查工作需采用抽样调查方式的是（ ） A. 某县教育局调查全县初中学生的数学学科素养情况 B. 调查某班学生每天学习数学的时长 C. 了解某班每位同学跑400米所需要的时间 D. 学校对全校各班安装的投影仪是否能正常工作进行调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数据的整理，解题的关键是掌握抽样方式的选择，即可． 【详解】解：A、某县教育局调查全县初中学生的数学学科素养情况，样本数量大，范围广，适合抽样调查方法，符合题意； B、调查某班学生每天学习数学的时长，样本数量小，范围小，适合全面调查方法，不符合题意； C、了解某班每位同学跑400米所需要的时间，样本数量小，范围小，适合全面调查方法，不符合题意； D、学校对全校各班安装的投影仪是否能正常工作进行调查，样本数量小，范围小，适合全面调查方法，不符合题意． 故选：A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简为最简二次根式，二次根式除法；掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．” 和（，）是解题的关键． 【详解】解：A.，选项错误，故不符合题意； B.，选项错误，故不符合题意； C.，选项正确，故符合题意； D.，选项错误，故不符合题意； 故选：C． 7. 已知是关于x的方程的两个根，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的方程的两个根，且， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在四边形 内部，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形和四边形内角和，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后根据四边形内角和求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，在M，N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板．已知木块M，N的高分别为，，点A，B分别与两木块的顶端重合，点C在上，则两木块之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质等；由等腰三角形的性质得，，由得，由全等三角形的性质即可求解；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ()； 故选：A． 10. 如图1，在矩形 中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据题意判断出转折点为点，由勾股定理求出 ，即可求解，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解： 点是从点出发的，为初始点，观察图象可知，时，，则，点从点沿向点移动的过程中，是不断增加的，而点从点沿向点移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为点，点运动到点时，即时，，此时，即． 在中，，由勾股定理，得， 解得：， ， 当为的中点时，， 的面积， 故选：D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 分式有意义的条件是_____． 【答案】x≠1 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0时分式有意义，列出不等式即可得出答案. 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-1≠0, 解得x≠1. 故答案为x≠1. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件.牢记分式的分母不为零是解题的关键. 12. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式a即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是正确确定公因式． 13. 小明和小红两人分别从M，N两个博物馆中选择一个参观，则小明和小红选到同一博物馆的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解；会用画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：列表如下： 小红 小明 共有种等可能结果，其中两人选到同一博物馆的有种结果， 两人选到同一博物馆的概率为：； 故答案：． 14. 如图，在中，D，E分别为边上的点，且，若，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：4． 15. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，且，，则______m． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理．连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，，设的半径长为，再在中，利用勾股定理即可得的半径，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是中的弦的中点，且， ，， 设的半径长为，则， 在中，， 则， 故答案为：8． 16. 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋______斤． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．可设原有生丝为斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解． 【详解】解：设新鲜冬笋为斤， ， 解得． 故新鲜冬笋为斤． 故答案为：． 17. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于E，F两点，再分别以E，F两点为圆心，以 长为半径画弧，交于直线另一侧的点M处，连接交于点D，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，含角的直角三角形，由作图可知，，即，再根据角所对的直角边是斜边的一半即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，，即， ∴， ∵在中，， ∴， 故答案为：． 18. 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的． 根据此规律确定a的值为______，b的值为______，x的值为______． 【答案】 ①. 9 ②. 10 ③. 69 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 ， 解得：， ． ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解关于x的不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 解得；． ， 解得；． 这个不等式组的解集为． 20. 2024年的春晚设立了四个分会场，它们分别是A（新疆喀什）、B（陕西西安）、C（辽宁沈阳）、D（湖南长沙）．某班组织了一次“你喜欢的春节分会场”调查活动，每位学生从四个分会场中任选一个，选择结果的不完整折线统计图和扇形统计图如图所示． （1）求该班的学生人数； （2）求扇形统计图中D分会场所对应的圆心角大小； （3）请以该班的统计数据估计全校5000名学生中有多少人选D分会场． 【答案】（1）名 （2） （3）估计名 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体； （1）由统计图得选B有人，占，即可求解； （2）选D所占的百分比，即可求解； （3）选D所占的百分比，即可求解； 能从关联的统计图中获取正确的信息，并能用样本估计总体是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 （名） 答：该班的学生人数为名． 【小问2详解】 解：选D分会场的人数为： （名）， 扇形统计图中D分会场所对圆心角大小为： ． 【小问3详解】 解：由题意得 （名）． 答：估计全校5000名学生中选D分会场的人数为名． 21. 如图，是 的对角线，在和中，，分别是边，的中线，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∵和中，，分别是边，的中线， ∴点，分别是，的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，菱形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形的判定，即可． （1）根据平行四边形的性质，得，，根据中点的性质，则，，根据菱形的判定和性质，即可； （2）根据平行四边形的性质，则，，再根据平行线的性质，直角三角形的判定，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，函数与的图象交于点，直线与函数，的图象分别交于两点． （1）求和的值； （2）求的长度； （3）根据图象写出时，的取值范围___________（不需说明理由）． 【答案】（1）2；2 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）一次函数的图象与的图象交于点，得，，解答即可． （2）根据解析式，确定B，C的坐标，利用纵坐标的绝对值，解答即可． （3）根据图象，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，交点坐标的求解，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与的图象交于点，得，， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 当时，得，， 故， 故． 【小问3详解】 解：根据题意，得时，的取值范围是， 故答案为：． 23. 如图，为四边形 的外接圆，是等边三角形， 是的切线，D是的中点，的延长线交 于点E． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ． 连接， ∵ 则． 是的切线， ． ． ． ． （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得，因为，所以，结合三角形内角和列式计算，再因为 是的切线，所以 ，因为内错角相等，所以两直线平行，即可作答． （2）先由圆内角四边形的对角互补，得，再由圆周角定理得出，然后证明为直角三角形．运用勾股定理列式代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为四边形 的外接圆，． 是的中点， ∴ ． ∴为直角三角形． ． ． 的面积为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形，切线性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． （1）每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ （2）该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元 （2）①；②购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组． （1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个，然后表示出； ②根据购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半列出不等式，得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元． 依题意，得解得 答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元． 【小问2详解】 ① 购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个． ， 即． ② 购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半， ，解得． 随的增大而增大，为整数， 当时，（元）． 答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元． 25. 已知抛物线的顶点为A，M，N是抛物线上的两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为（为常数，且），将抛物线向上平移3个单位得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于B，D两点（点B在点D的左侧）． （1）求顶点A的坐标； （2）连接，若轴，求m的值； （3）如图，在直线上方的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）顶点的坐标为 （2） （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求出函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，二次函数的平移规律以及解直角三角形． （1）将化为顶点式，即可得出点A的坐标； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，根据轴，得出点关于对称轴对称，即可解答； （3）过点作，与直线交于点 ，过点 作轴于点．先得出，则，通过证明．得出，求出．解直角三角形，进而得出，用待定系数法求出直线的解析式为，即可解答． 【小问1详解】 解：， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线． 轴， 点关于对称轴对称， 又， ， 解得． 【小问3详解】 解：存在点 ，使得． 过点作，与直线交于点 ，过点 作轴于点． 点 在直线的上方， 点 在轴上方，如图所示． ∵抛物线向上平移3个单位得到抛物线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， 解得：， ∴ ， 则． 是等腰直角三角形． ． ， ． ，即， ． ， ， 设直线的解析式为， 由点，可得． 直线的解析式为． 令， 解得（舍去）或． 点的坐标为． 26. 已知直角三角板中，，将该三角板绕点C旋转，得到，连接，． （1）如图1，将直角三角板逆时针旋转，，写出的度数（不需要说明理由）； （2）若将直角三角板顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出的度数； （3）若的平分线交于点G，交直线于点F，连接，试证明：． 【答案】（1） （2） 补全后的图形如图①所示． （3） 解：①当将直角三角板逆时针旋转时，如图②， 过点作，交的延长线于点． 由旋转的性质可知，， 是等腰三角形， 是的平分线， 垂直平分， ． 由（1）知， ． 是等腰直角三角形． ． ． 又， ， ． ． ， ， 即； ②当将直角三角板顺时针旋转时，如图③， 过点作，交的延长线于点． 同理可证，是线段的垂直平分线． ． 由（2）知， ． 是等腰直角三角形． ， ． 又， ， ． ， ． ， 即． 综上所述，． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）由旋转的性质可知，，，，再根据等边对等角的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）根据题意补全图形，再根据旋转的性质以及等边对等角的性质求解即可； （3）分两种情况讨论：①当将直角三角板逆时针旋转时；②当将直角三角板顺时针旋转时，过点作，证明是线段的垂直平分线，进而得出是等腰直角三角形，得到，再利用全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知，． ． 在等腰三角形中，， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖南省初中学业水平考试 数学联考试卷（一） 考生注意： 1．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上． 2．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，填写在试卷上无效． 3．本学科为闭卷考试，考试时长为120分钟，满分120分． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 下列实数，0，2，，其中最小的是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 下列化学容器或装置的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 湖南省2023年社会消费品零售总额首次突破2万亿，达到亿元．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，是的平分线，是的平分线，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查工作需采用抽样调查方式的是（ ） A. 某县教育局调查全县初中学生的数学学科素养情况 B. 调查某班学生每天学习数学的时长 C. 了解某班每位同学跑400米所需要的时间 D. 学校对全校各班安装的投影仪是否能正常工作进行调查 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是关于x的方程的两个根，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 8. 如图，在四边形内部，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在M，N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板．已知木块M，N的高分别为，，点A，B分别与两木块的顶端重合，点C在上，则两木块之间的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（ ） A. 5 B. 8 C. D. 12 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 分式有意义的条件是_____． 12. 分解因式：___________. 13. 小明和小红两人分别从M，N两个博物馆中选择一个参观，则小明和小红选到同一博物馆的概率为______． 14. 如图，在中，D，E分别为边上的点，且，若，则的长为______． 15. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，且，，则______m． 16. 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋______斤． 17. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于E，F两点，再分别以E，F两点为圆心，以长为半径画弧，交于直线另一侧的点M处，连接交于点D，则______． 18. 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的． 根据此规律确定a的值为______，b的值为______，x的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解关于x的不等式组：． 20. 2024年的春晚设立了四个分会场，它们分别是A（新疆喀什）、B（陕西西安）、C（辽宁沈阳）、D（湖南长沙）．某班组织了一次“你喜欢的春节分会场”调查活动，每位学生从四个分会场中任选一个，选择结果的不完整折线统计图和扇形统计图如图所示． （1）求该班的学生人数； （2）求扇形统计图中D分会场所对应的圆心角大小； （3）请以该班的统计数据估计全校5000名学生中有多少人选D分会场． 21. 如图，是的对角线，在和中，，分别是边，的中线，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：是直角三角形． 22. 如图，函数与的图象交于点，直线与函数，的图象分别交于两点． （1）求和的值； （2）求的长度； （3）根据图象写出时，的取值范围___________（不需说明理由）． 23. 如图，为四边形的外接圆，是等边三角形，是的切线，D是的中点，的延长线交于点E． （1）求证：； （2）若，求的面积． 24. 在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． （1）每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ （2）该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 已知抛物线的顶点为A，M，N是抛物线上的两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为（为常数，且），将抛物线向上平移3个单位得到抛物线，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于B，D两点（点B在点D的左侧）． （1）求顶点A的坐标； （2）连接，若轴，求m的值； （3）如图，在直线上方的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知直角三角板中，，将该三角板绕点C旋转，得到，连接，． （1）如图1，将直角三角板逆时针旋转，，写出的度数（不需要说明理由）； （2）若将直角三角板顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出的度数； （3）若的平分线交于点G，交直线于点F，连接，试证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $