9.1.1 正弦定理（第2课时 正弦定理的应用）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

人教B版 数学 必修第四册 第九章　解三角形 9.1.1　正弦定理 第2课时　正弦定理的应用 课标定位素养阐释 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 2.能根据条件判断三角形解的个数. 3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题. 4.提升逻辑推理和数学运算素养. 自主预习 新知导学 正弦定理的应用 2.能够应用正弦定理求解的三角形问题有哪几种类型? 提示:(1)已知两角和一边解三角形;(2)已知两边和其中一边的对角解三角形. 3.在△ABC中,已知B=30°,c=4,b=2,解此三角形. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)在△ABC中,若sin A>sin B,则a>b.(　　) (2)在△ABC中,有sin A=cos(B+C).(　　) (3)在△ABC中,必有absin C=acsin B.(　　) √ × √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 三角形解的个数 【例1】 (1)在△ABC中,已知a=2,b= ,A=45°,则满足条件的三角形有 (　　) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定 (2)在△ABC中,a=4,b= ,A=45°,则三角形的解的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.不确定 答案:(1)B　(2)B 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 延伸探究 本例(2)变为:在△ABC中,a=x,b= ,A=45°,若三角形有两解,求x的取值范围. 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟 已知三角形两边和其中一边的对角,求三角形解的个数.若已知a,b及角A,解的情况如下: 分类 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 ①a=bsin A ②a≥b bsin A< a<b a< bsin A a>b a≤b 解的情况 一解 两解 无解 一解 无解 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 不解三角形,判断下列说法是否正确. (1)a=7,b=14,A=30°,有两解; (2)a=30,b=25,A=150°,有一解; (3)a=6,b=9,A=45°,有两解; (4)a=9,b=10,A=60°,无解. 解:(1)a=bsin A,有一解,故原说法错误. (2)A>90°,a>b,有一解,说法正确. (3)a<bsin A,无解,故原说法错误. (4)b>a>bsin A,有两解,故原说法错误. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 利用正弦定理证明恒等式 分析:观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将a2,b2,c2转化为sin2A,sin2B,sin2C. 探究一 探究二 探究三 思想方法 所以,原式左边=4R2(cos B-cos A+cos C-cos B+cos A-cos C)=0=右边.所以等式成立. 反思感悟 利用正弦定理证明恒等式,既要用到三角形中特有的恒等变形公式,又要用到任意角的三角函数恒等变形公式,两者结合起来,灵活运用. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 正弦定理与三角函数的综合问题 分析:(1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为B的三角函数式求解;(2)利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式求sin C的值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟 正弦定理与三角函数相结合的综合问题主要涉及正弦定理与三角恒等变换的综合,先利用正弦定理求得相关角(或其正弦值),再利用同角三角函数的基本关系式与和、差、倍、半角等公式求解其他问题. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 【思想方法】 分析:(1) 由正弦定理,将边化为角,代入整理可得tan A,进而求得A的大小;(2)由于已知b与B的范围,结合(1)将c用tan B表示,再求c的取值范围. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟 在解三角形时,常用正弦定理“化边为角”或“化角为边”,从而发现三角形中各元素之间的关系,因此要理解并领悟转化与化归的数学思想,以便应用于要解决的问题中. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.已知△ABC中,b=30,c=15,C=26°,则此三角形解的情况是(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.无法确定 答案:B 解析:∵b=30,c=15,C=26°,∴c>bsin C, 又c<b, ∴此三角形有两解. 答案:A 解析:如图,设BC边上的高线为AD, 则BC=3AD,DC=2AD, 3.(多选题)用下列条件解△ABC,其中有一解的是(　　) A.b=20,A=45°,C=80° B.a=30,c=28,A=60° C.a=14,c=16,A=45° D.a=12,c=15,A=120° 解析:对于C,16×sin 45°<14<16,即csin A<a<c,故C选项中三角形有两解;对于D,由c>a,A=120°,知C>120°,故D选项中三角形无解;A,B都只有一解. 答案:AB 答案:30° 解析:由正弦定理得,a∶b=sin A∶sin B, 1.正弦定理: .(R为△ABC外接圆的半径) 解:在△ABC中,由正弦定理知, ∴sin C==1, ∴C=90°,∴A=180°-90°-30°=60°, ∴a==2 (4)存在△ABC,使A=30°,a=,c=2.(　　) 4 解析:(1)∵bsin A=,∴bsin A<a<b. ∴满足条件的三角形有2个. (2)∵bsin A=4=4=a, ∴三角形解的个数为1. 4 解:∵bsin A=4=4, ∴当4<a<4时,三角形有两解,即x∈(4,4). 【例2】 在△ABC中,求证:=0. 证明:由=2R(R为△ABC外接圆半径), 得 = ==4R2(cos B-cos A). 同理,=4R2(cos C-cos B), =4R2(cos A-cos C). 【变式训练2】 在△ABC中,求证: 证明:, ,, , ,即原式得证. 【例3】 在△ABC中,已知asin 2B=bsin A. (1)求B; (2)若cos A=,求sin C的值. 解:(1)在△ABC中,由, 可得asin B=bsin A. 又由asin 2B=bsin A, 得2asin Bcos B=bsin A=asin B, 所以cos B= 又因为B∈(0,π),所以B= (2)由cos A=,可得sin A= 则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinsin A+cos A= cos B=,sin(A+B)=,ac=2,求sin A和c的值. 解:在△ABC中,由cos B=, 得sin B=,因为A+B+C=π, 所以sin C=sin(A+B)= 因为sin C<sin B,所以C<B,可知C为锐角, 所以cos C= 因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 由, 可得a==2c, 已知ac=2,所以c=1. 【典例】 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin C=ccos A. (1)求角A; (2)若b=2,且B,求c的取值范围. 解:(1)由题意得,=1,∴tan A= ∵0<A<π,∴A= (2)∵b=2,A=, ∴c=+1=+1, B,∴1≤tan B, ∴2≤c+1,即c的取值范围为[2,+1]. 【变式训练】 在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,cos B+sin B=2,则a+c的取值范围是　　　　　.  答案: 解析:, ∴ccos B+bcos C=, ∴sin(B+C)=,∴b= ∵cos B+sin B=2,即cos B+sin B=1, ∴sin=1, ∴B=设△ABC外接圆的半径为R, 则2R==1, ∴a+c=2R(sin A+sin C)=1×[sin A+sin]=sin A+cos A =sin ∵△ABC为锐角三角形,B=, <A<,<A+, sin,<a+c 2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin∠BAC=(　　) A B C.- D.- 所以AC=AD.在△ABC中, 由,得, 解得sin∠BAC= 4.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1,则A=　　　.  所以,则cos A=,所以A=30°. 5.在△ABC中,若a=,b=2,sin B+cos B=,则A=　　　　　.  答案: 解析:∵sin B+cos B=sin, ∴sin=1, 又0<B<π,<B+, ∴B+,∴B= 由正弦定理知, ∴sin A=, 又a<b,∴A<B,∴A= 6.在△ABC中,已知cos A=,sin B=cos C. (1)求tan C的值; (2)若a=,求△ABC的面积. 解:(1)由cos A=,得sin A= 又因为cos C=sin B=sin(A+C)=cos C+sin C,所以tan C= (2)由tan C=及0<C<π,知0<C<, 再由sin2C+cos2C=1,得sin C=,cos C=, 由已知得sin B=cos C= 由正弦定理,得c= 所以△ABC的面积S=acsin B= $$