9.1.1 正弦定理（第1课时 正弦定理）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

人教B版 数学 必修第四册 第九章　解三角形 9.1.1　正弦定理 第1课时　正弦定理 课标定位素养阐释 1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程. 2.能应用正弦定理解三角形. 3.掌握三角形的面积公式. 4.提升逻辑推理与数学运算素养. 自主预习 新知导学 正弦定理 提示:成立. 2.(1)正弦定理 (2)面积公式 (3)解三角形 三角形的3个角与3条边都称为三角形的 元素 ,已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 3.在一个三角形中,若只知道三个角,能解出这个三角形吗? 提示:不能. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)正弦定理适用于任何三角形.(　　) (2)在△ABC中,等式bsin A=asin B一定成立.(　　) (3)在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.(　　) (4)在△ABC中,若sin A=sin C,则△ABC必为等腰三角形. (　　) (5)S△ABC=absin C=bcsin A.(　　) √ √ √ √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 已知三角形两角和任一边解三角形 【例1】 在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,解此三角形. 分析:利用A+B+C=180°及正弦定理求解. 解:根据三角形内角和定理知 C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°. 探究一 探究二 探究三 思想方法 延伸探究 本例变为:在△ABC中,已知A=45°,B=30°,c= +1,解此三角形. 解:由已知可得C=180°-A-B=105°, 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟 已知两角与一边解三角形的步骤: (1)由三角形内角和定理求出第三个角; (2)由正弦定理求另外两边. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形 【例2】 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 分析:(1)由正弦定理的特点直接求解,注意三角形解的个数问题. (2)先利用正弦定理求角B,再利用内角和定理求解,由正弦定理求边c. 探究一 探究二 探究三 思想方法 (1)答案:45° ∴B=45°或B=135°. ∵b<a,∴B<A. ∴B=45°. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角. (3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求出两个角,并分类讨论. 反思感悟 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 判断三角形的形状 【例3】 在△ABC中,已知acos A=bcos B,试判断三角形的形状. 分析:判断三角形形状通常从三角形内角关系入手,也可以从三角形三边关系入手.本题由条件式可考虑首先应用正弦定理把边化为角,寻找三角形角与角之间的关系,然后予以判定. 探究一 探究二 探究三 思想方法 即sin Acos A=sin Bcos B,则sin 2A=sin 2B. 所以2A=2B或2A=π-2B. 因此△ABC是等腰三角形或直角三角形. 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟 判断三角形形状有两种思路 (1)化边为角:①利用边角互化公式,将题目中的边化为角;②利用三角恒等变换整理得到内角关系;③结合三角函数单调性确定角的关系,进而确定三角形形状. (2)化角为边:①利用边角互化公式将题目中的角化为边;②利用分解因式、配方法等得到a,b,c的关系(如a=b,a2+b2=c2);③确定三角形形状. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. ∵sin2A=sin2B+sin2C, ∴a2=b2+c2, ∴A是直角,B+C=90°, ∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1, ∵0°<B<90°, ∴B=45°,C=45°, ∴△ABC是等腰直角三角形. 探究一 探究二 探究三 思想方法 ∵sin2A=sin2B+sin2C, ∴a2=b2+c2, ∴A是直角. ∵A=180°-(B+C),sin A=2sin Bcos C, ∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin(B-C)=0. 又-90°<B-C<90°, ∴B-C=0°,∴B=C, ∴△ABC是等腰直角三角形. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【思想方法】 用分类讨论的方法解三角形 【典例】 在△ABC中,已知B=30°,b= ,c=150,求a. 探究一 探究二 探究三 思想方法 由正弦定理解三角形时,若求出某角的正弦值,则要讨论该角为锐角和钝角两种情况.有时也可以根据“大边对大角”确定角的值. 方法点睛 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 在△ABC中,已知a= ,b=2,A=30°,解此三角形. ∵a<b,∴B>A=30°,∴B=45°或B=135°. 当B=45°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°, 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为(　　) A.A>B B.A<B C.A≥B D.A,B的大小关系不能确定 答案:A 2.在△ABC中,若c=2acos B,则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形 答案:B 解析:∵c=2acos B,∴sin C=2sin Acos B. 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, ∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 即sin Acos B-cos Asin B=0,∴sin(A-B)=0. 又-π<A-B<π,∴A-B=0,∴A=B. 因此△ABC为等腰三角形. 答案:CD 4.在△ABC中,AB= ,A=45°,B=60°,则BC=　　　　.  5.在△ABC中,若a=15,b=10,A=60°,则cos B=　　　　.  6.在△ABC中,A=60°,sin B= ,a=3,求三角形中其他边与角的大小. 解:∵A=60°, ∴0°<B<120°, 1.在Rt△ABC中,若C=90°,则有=c=;若△ABC为斜三角形,式子成立吗? S= = = .  4.(1)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3,则AC=　　　　.  (2)在△ABC中,若a=3,b=,A=,则C=　　　　.  答案:(1)2　(2) 解析:(1)由正弦定理得, 所以AC==2 (2)由正弦定理得, 于是sin B= 又因为a>b,所以A>B, 则B=,C=π- 由正弦定理得b=, c=+1. 由正弦定理知, 所以a==2, 同理,b= 【变式训练1】 (1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=, sin B=,C=,则b=　　　　.  (2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　.  答案:(1)1　(2) 解析:(1)在△ABC中,由sin B=,可得B=或B=,因为C=,所以B=,从而A=, 由,可得b=1. (2)由已知可得sin A=,sin C=,则sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A=,再由可得b= A=60°,a=4,b=4,则B=　　　　.  (2)在△ABC中,已知a=2,b=6,A=30°,求B,C和c. 解析:由正弦定理知 把A=60°,a=4,b=4代入,解得sin B=, (2)解:由正弦定理知, 则sin B= 又a=2,b=6,即a<b,∴A<B, ∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=90°, 由正弦定理知, 则c==4; 当B=120°时,C=30°,则c=a=2 综上,B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2 【变式训练2】 在△ABC中,c=,C=,a=2,求A,B,b. 解:, ∴sin A=, ∴A=或A= 又c>a,∴C>A,∴A=,∴B=, 而sin B=sin =sin=sin()=,于是由正弦定理得b=+1. 解:由正弦定理得 已知acos A=bcos B,即, 所以, 可得A=B或A+B= 解法一:由正弦定理可知, ∴sin B= 解法二:由正弦定理,知, 50 解:由,得 sin C= 因为0°<C<150°, 所以C=60°或C=120°. 当C=60°时,A=180°-B-C=90°, 于是a==100; 当C=120°时,A=180°-B-C=30°, 于是a=b=50 综上所述,a=50或a=100 解:由得sin B=, 又,∴c=+1. 当B=135°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+135°)=15°, ∴c=-1. ∴B=45°,C=105°,c=+1或B=135°,C=15°,c=-1. 3.（多选题）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则(　　) A.此三角形有两解 B.S△ABC=2 C.△ABC是直角三角形 D.b=3 答案:3- 解析:利用正弦定理, 而C=180°-(A+B)=75°, 故BC==3- 答案: 解析:由正弦定理, 得,∴sin B=, ∵b<a,∴B<A. 故角B为锐角, ∴cos B= 又sin B=, ∴B=30°,C=90°. 由正弦定理可知, 故b=a=3=, c=a=3=2 $$