3.1.2 第2课时 函数的最值（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

第2课时　函数的最值 [对应学生用书P74] 导学　函数的最值 如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象．观察并描述这三个图象的共同特征． [提示]　函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点． 你是怎样理解函数图象最高点的？ [提示]　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值． ◎结论形成 　函数的最值 名称 最大值 最小值 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D 都有f(x)__≤__f(x0) 都有f(x)__≥__f(x0) 结论 称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点 称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点 统称 最大值和最小值统称为__最值__ 最大值点和最小值点统称为__最值点__ [对应学生用书P74] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大(小)值．(　　) (2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).(　　) (3)函数的最大值一定比最小值大．(　　) (4)若函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，则函数f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，0　　　　　　 B．0，2 C．－1，2 D．，2 解析　由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1. 答案　C 3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 解析　∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)＜f(0)＝－1，故选D. 答案　D 4．函数f(x)＝，x∈[1，2]，则f(x)的最大值为______，最小值为________． 解析　∵f(x)＝在区间[1，2]上为减函数， ∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即≤f(x)≤1. 答案　1　 [对应学生用书P75] 题型一　图象法求函数的最值 已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值． [解析]　作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. [素养聚焦]　直观想象、逻辑推理等核心素养在本例中得以体现． 图象法求函数最值的一般步骤 [触类旁通] 1．已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域． 解析　y＝－|x－1|＋2＝ 图象如图所示， 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]. 题型二　利用函数的单调性求最值 　已知函数f(x)＝. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． [解析]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下： ∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为－1＜x1＜x2⇒x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0⇒f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，最大值为f(4)＝＝. 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． [触类旁通] 2．求函数f(x)＝x＋在[1，4]上的最值． 解析　设1≤x1＜x2＜2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝x1－x2＋＝(x1－x2)· ＝(x1－x2)·＝. ∵1≤x1＜x2＜2， ∴x1－x2＜0，x1x2－4＜0，x1x2＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[1，2)上是减函数． 同理f(x)在[2，4]上是增函数． ∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5. 题型三　二次函数的最值 　(1)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值； (2)求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值． [解析]　(1)∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2，4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2，4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. 设f(x)在[2，4]上的最小值为g(a). ∴g(a)＝ (2)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8. 设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t). 当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， ∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8； 当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7. 综上，g(t)＝ 二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论： (1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}； (2)若h∉[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0时可仿此讨论). [触类旁通] 3．已知函数f(x)＝x2－2ax－3，若x∈[0，2].求函数的最小值． 解析　f(x)＝x2－2ax－3的对称轴为x＝a. ①当a≤0时，f(x)在[0，2]上为增函数， ∴f(x)min＝f(0)＝－3； ②当0<a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2－3； ③当a>2时，f(x)在[0，2]上为减函数， ∴f(x)min＝f(2)＝1－4a. 综上所述，当a≤0时，函数最小值为－3； 当0<a≤2时，函数最小值为－a2－3； 当a>2时，函数最小值为1－4a. 知识落实 技法强化 (1)求函数最值的方法：图象法、单调性． (2)若函数在闭区间[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上必有最值． 若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中取出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． 学科网（北京）股份有限公司 $$