第2章 等式与不等式 章末整合提升2（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

[对应学生用书P57] [对应学生用书P58] (一)一元二次方程的解及根与系数的关系 应用一元二次方程根与系数的关系时的注意点： (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式； (2)应用时，不要漏掉“－”号； (3)应用根与系数的公式前，首先确定判别式的值是否非负，判别式的值非负是应用根与系数的公式的前提． 　已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是(　　) A．2　　　　　　　 B．－1 C．2或－1 D．不存在 [解析]　∵关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴ 解得m＞－1且m≠0. ∵x1，x2是方程mx2－(m＋2)x＋＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∵＋＝4m，∴＝4m，∴m＝2或－1， ∵m＞－1，∴m＝2.故选A. [答案]　A (二)不等式的性质及应用 在使用不等式时，一定要弄清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘．可乘性中的“c的符号”等都需要注意． [题组训练] 1．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> 解析　若a>0>b，0>c>d，则ac<bd，故A错误； 若ab>0，bc－ad>0，则>0， 化简得－>0，故B正确； 若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确； 若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误． 答案　BC 2．(多选)对于实数a，b，c，下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则ac<bc B．若ac2<bc2，则a>b C．若a<b<0，则a2>ab>b2 D．若a>b，>，则a>0，b<0 解析　A项，若a>b，则ac<bc，当c≥0时不成立，排除； B项，若ac2<bc2，故c2>0，则a<b，不正确； C项，若a<b<0，则a2－ab＝a(a－b)>0， ab－b2＝b(a－b)>0，∴a2>ab>b2，正确； D项，若a>b，－＝>0，∴ab<0， ∴a>0，b<0，正确． 答案　CD 3．已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小． 解析　－(a＋b)＝－b＋－a ＝＋＝(a2－b2) ＝(a2－b2)＝， ∵a>0，b>0，且a≠b， ∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， ∴－(a＋b)>0，即＋>a＋b. (三)不等式的解集 1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要做到不重不漏． 　解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R). [解析]　当a＝0时，不等式－2x＋4>0的解为x<2； 当a≠0时，不等式对应方程的根为x＝或x＝2， ①当a<0时，不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R)，即(－ax＋2)(x－2)<0的解集为； ②当0<a<1时，不等式(ax－2)(x－2)>0的解集为(－∞，2)∪； ③当a＝1时，不等式(x－2)2>0的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)； ④当a>1时，不等式(ax－2)(x－2)>0的解集为∪(2，＋∞). 综上所述，当a＝0时，不等式解集为(－∞，2)； 当a<0时，不等式的解集为； 当0<a<1时，不等式的解集为 (－∞，2)∪； 当a＝1时，不等式的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a>1时，不等式的解集为∪(2，＋∞). (四) 均值不等式及应用　题点多探　多维探究 均值不等式的主要应用是求最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能．解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立． 角度1　通过配凑法求最值 　已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． [解析]　 ∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3＝. 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． [答案]　B 角度2　通过常值代换法求最值 　已知2a＋3b－1＝0且a>0，b>0，则代数式＋的最小值为(　　) A．24 B．25 C．26 D．27 [解析]　因为2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为25.故选B. [答案]　B 角度3　通过消元法求最值 　已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝的最小值为________． [解析]　由条件得x2＋y2＝1－z2＝(1－z)·(1＋z)，则1＋z＝， 于是s＝＝≥＝≥＝4， 当且仅当x＝y，且z＝1－z，即z＝，x＝y＝时等号成立． [答案]　4 [对应学生用书P59] 均值不等式求最值的易错点 [典例]　已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________． [解析]　z＝ ＝xy＋＋＋ ＝xy＋＋＝＋xy－2， 令t＝xy， 则0＜t＝xy≤＝， 由t＋在上随t的增大而减小， 故当t＝时，t＋有最小值， 所以当x＝y＝时，z有最小值. [答案]　 [纠错心得]　(1)应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件． (2)此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”“添项”“凑系数”“常值代换”等． [对应学生用书P59] 均值不等式的应用 [典例]　(13分)已知a＞0，b＞0且＋＝1. (1)求ab的最小值； (2)求a＋b的最小值． [审题指导]　(1)利用条件和均值不等式，解出a，b的范围； (2)利用“1”的代换求最小值． [规范解答]　(1)因为a＞0，b＞0且＋＝1， 所以＋≥2 ＝2 ， 则2 ≤1，(4分) 即ab≥8，当且仅当 即时等号成立， 所以ab的最小值是8.(6分) (2)因为a＞0，b＞0且＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b) ＝3＋＋(8分) ≥3＋2 ＝3＋2，(11分) 当且仅当即时等号成立， 所以a＋b的最小值是3＋2.(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$