2.2.4 第2课时 均值不等式的应用（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

第2课时　均值不等式的应用 [对应学生用书P54] 题型一　利用均值不等式变形求最值一题多解 已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值． [解析]　法一　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18. 法二　∵x>0，y>0，＋＝1，8y＋x＝xy， ∴x＝，∴y－1>0. ∴x＋2y＝＋2y＝＋(2y－2)＋2＝10＋＋(2y－2)≥10＋2＝10＋8＝18， 当且仅当＝2y－2，即y＝3，x＝12时，等号成立， x＋2y的最小值为18. [母题变式] 　若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值． 解析　∵x>0，y>0， ∴＋＝(x＋2y) ＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18. 当且仅当即时等号成立， ∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18. 利用均值不等式的变形求最值的策略 (1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式以及使等号成立的条件． (2)特别注意“1”的代换． [触类旁通] 1．设x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 解析　法一　由2x＋8y－xy＝0，得 y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18， 当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝18，当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 题型二　均值不等式的实际应用 　某厂家拟在2024年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x万元满足关系式m＝3－(k为常数).如果不搞促销活动(即年促销费用x＝0)，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2024年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)求出常数k的值，并将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． [解析]　(1)由题意，x≥0， 不搞促销活动(即年促销费用x＝0)，则该产品的年销售量只能是1万件， 在m＝3－中，k为常数，∴1＝3－，解得k＝2，∴m＝3－， ∵厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍， ∴每件产品年平均成本为， ∴利润：y＝1.5m·－＝－＋29， 即y＝－＋29(x≥0). (2)由题意及(1)得在y＝－＋29(x≥0)中， y＝－＋29≤－2＋29＝－8＋29＝21， 当且仅当＝x＋1即x＝3时等号成立， ∴该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大． [素养聚焦]　数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养在本题求解过程中得以体现． 利用均值不等式解决实际问题的步骤 先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答). [触类旁通] 2．某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用P(万元)和宿舍与工厂的距离x km的关系为P＝，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为40万元．为了交通方便，工厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为6万元/km，设y为建造宿舍与修路费用之和． (1)求k的值； (2)求y关于x的表达式； (3)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用y最小，并求最小值． 解析　(1)由题意，得40＝，解得k＝200. (2)y＝P＋6x＝＋6x(0≤x≤5). (3)y＝＋6x＝＋2(3x＋2)－4≥2－4＝36， 当且仅当＝2(3x＋2)，且0≤x≤5，即x＝时等号成立． 所以，宿舍应建在离工厂km处，总费用最小为36万元． 题型三　均值不等式的综合应用 　已知x>0，y>0 ，且＋＝1，若对任意的正数x，y ，不等式x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．∪ B．∪ C． D． [解析]　因为x>0，y>0 ，且＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8， 当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立， 所以x＋2y的最小值为8， 不等式x＋2y>m2＋2m恒成立，等价于x＋2y的最小值大于m2＋2m， 所以8>m2＋2m，解得－4<m<2，故选D. [答案]　D (1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值． 注意：f(x)表示关于x的代数式． [触类旁通] 3．若任意的正数x，y都能使k≤4x＋y成立，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　 B．(0，2] C．(－∞，4] D．(2，4] 解析　因为x>0，y>0，且k≤4x＋y恒成立，所以k≤＝4＋，因为4＋≥2＝4，当且仅当4＝，即y＝4x时等号成立， 所以k≤4，即k∈(－∞，4]，故选C. 答案　C [缜密思维提能区]　规范答题 均值不等式的实际应用 【典例】　(13分)某市近郊有一块大约500米×500米的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如下图所示的一个总面积为3 000 平方米的矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米． (1)分别用x表示y和S的关系式，并给出x的取值范围； (2)怎样设计能使S取得最大值？并求出最大值． [审题指导]　(1)结合图形用x表示y及S，注意x的实际意义并求其范围； (2)利用均值不等式求最值，注意等号成立的条件． [规范解答]　(1)由已知xy＝3 000，所以y＝， 其中x∈(6，500).(2分) S＝(x－4)a＋(x－6)a ＝(2x－10)a， 因为2a＋6＝y， 所以a＝－3＝－3，(4分) 所以S＝(2x－10)· ＝3 030－， 其x的取值范围是(6，500).(6分) (2)S＝3 030－ ≤3 030－2 ＝3 030－2×300＝2 430，(9分) 当且仅当＝6x， 即x＝50∈(6，500)时， 上述不等式等号成立， 此时，x＝50，y＝60， Smax＝2 430.(12分) 答：设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2 430平方米．(13分) 知识落实 技法强化 (1)已知x，y是正数，“和定积最大，积定和最小”． (2)求解应用题的方法与步骤： ①审题；②建模(列式)；③求解；④作答． (3)均值不等式的综合应用． (1)利用均值不等式求最值的关键是运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件． (2)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的． 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可． 因为＋＝＋＝2＋＋ ≥2＋2＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立． 所以m≤4，即m∈(－∞，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$