2.2.4 第1课时 均值不等式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

2．2.4　均值不等式及其应用 学业标准 素养目标 1．会推导均值不等式，理解均值不等式的几何意义． 2．掌握均值不等式，明确等号成立的条件及利用均值不等式求最值．(重点) 3．会用均值不等式证明不等式．(难点) 1．通过均值不等式的推导，培养学生直观想象、数学抽象等核心素养． 2．通过均值不等式的应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． [对应学生用书P50] 导学1 均值不等式 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ [提示]　正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ [提示]　用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤. ◎结论形成 算术平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当__a＝b__时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，__正方形__的面积最大 导学2　利用均值不等式求最值 若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？ [提示]　x＋y＝8，由≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大． 若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？ [提示]　xy＝16，由x＋y≥2得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小． ◎结论形成 用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最__大__值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当__x＝y__时，积xy有最大值S2. 两个正数的积为常数时，它们的和有最__小__值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当__x＝y__时，和x＋y有最小值2. [对应学生用书P51] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (2)当a>0，b>0时a＋b≥2.(　　) (3)当a>0，b>0时ab≤.(　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知a≠0，下列各不等式恒成立的是(　　) A．a＋>2　　　　 B．a＋≥2 C．a＋≤－2 D．≥2 解析　法一　当a<0时，a＋<0，选项A，B不成立；当a>0时，a＋>0，选项C不成立；＝|a|＋，由基本不等式可得选项D成立． 法二　取a＝－1时，a＋＝－2，可判断选项A，B不正确； 取a＝1时，a＋＝2，可判断选项C不正确； 因为a，同号，＝|a|＋≥2， 当且仅当a＝±1时，等号成立，选项D正确． 答案　D 3．已知x>0，若x＋的值最小，则x为(　　) A．18 B．9 C．3 D．16 解析　因为x>0，所以x＋≥2＝18，当且仅当x＝⇒x＝9时，等号成立． 答案　B 4．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析　因为x>0，y>0，x＋y＝18， 所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立．即的最大值是9. 答案　A 第1课时　均值不等式 [对应学生用书P52] 题型一　对均值不等式的理解 下列命题正确的是(　　) A．当a，b∈R时，＋≥2＝2 B．若a<0，b<0，则≤ab C．当a>2时，a＋的最小值是6 D．当a>0，b>0时，≥ [解析]　A中，可能<0，所以不正确； B中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以不正确； C中，当a>2时，a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立，所以正确； D中，由均值不等式知，≤(a>0，b>0)，所以不正确． [答案]　C 均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. [触类旁通] 1．(多选)下列结论不正确的是(　　) A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当0<x≤2时，2x＋的最小值为2 解析　对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立； 对于选项B，符合应用均值不等式的基本条件，当x>0时，＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时等号成立． 对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝1，不满足x≥2； 对于选项D，2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立． 答案　AC 题型二　利用均值不等式求最值题点多探　多维探究 角度1　利用均值不等式直接求最值 　一题多解 　(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16　　　　　　　 B．25 C．9 D．36 (2)已知函数y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值． (1)[解析]　法一　因为x＞0，y＞0， 且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25， 因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25. 法二　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8， (1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25， 因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25. [答案]　B (2)[解析]　因为y＝4x＋≥2 ＝4， 当且仅当4x＝，即4x2＝a时，y取得最小值． 又因为x＝3，所以a＝4×32＝36. [素养聚焦]　逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 在利用均值不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备． [触类旁通] 2．(1)当x>0时，x＋的最小值为(　　) A．3 B． C．2 D．3 (2)已知正数a，b满足a＋b＝1，则ab有(　　) A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 解析　(1)由x＋≥2＝3，当且仅当x＝时等号成立． 可得当x>0时，x＋的最小值为3. (2)由基本不等式知：ab≤＝， 当且仅当a＝b时等号成立，即ab有最大值. 答案　(1)D　(2)D 角度2　拼凑法求最值　一题多解 　函数y＝有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 [解析]　法一　∵x≥，∴x－2>0，则＝＝(x－2)＋≥2，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立． 法二　令x－2＝t，∵x≥，∴t≥， ∴x＝t＋2. 将其代入，原函数可化为 y＝＝＝t＋ ≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立，此时x＝3. [答案]　D 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 (1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提． [触类旁通] 3．(1)(1)若a>－2，b>0，且a＋b＝8，则 的最大值为________． (2)当x>0时，＋4x的最小值为__________． 解析　(1)因为a>－2，可得a＋2>0且b>0， 又因为a＋b＝8，可得(a＋2)＋b＝10， 则≤＝5，当且仅当a＋2＝b，即a＝3，b＝5时，等号成立， 所以的最大值为5. (2)因为x>0，所以>0，4x>0，所以＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， 所以，当x>0时，＋4x的最小值为8. 答案　(1)5　(2)8 题型三　利用均值不等式证明不等式 　已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－－－≥0. [证明]　∵a，b，c都是正数， ∴a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2， ∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(＋＋)， ∴a＋b＋c≥＋＋， 即a＋b＋c－－－≥0.(当且仅当a＝b＝c时，等号成立) 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型． [触类旁通] 4．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b. 证明　∵a>0，b>0，∴＋b≥2＝2a， ＋a≥2＝2b， ∴＋b＋＋a≥2a＋2b， ∴＋≥a＋b(当且仅当a＝b时等号成立). 知识落实 技法强化 (1)≥(a，b都是正数). (2)利用均值不等式求最值． (3)利用均值不等式证明． (1)在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式． (2)注意利用均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”． 学科网（北京）股份有限公司 $$