2.2.3 一元二次不等式的解法（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

2．2.3　一元二次不等式的解法 学业标准 素养目标 1．理解一元二次不等式的定义． 2．能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式．(重点) 3．了解简单的分式不等式，并会求其解集．(难点) 1．通过学习一元二次不等式的概念，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过利用因式分解、配方法求一元二次不等式的解集，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． [对应学生用书P47] 导学1　利用因式分解解一元二次不等式 分解因式x2－2x－3结果是？ [提示]　(x－3)(x＋1). 不等式x2－2x－3＞0的解集是？ [提示]　{x|x＞3或x＜－1} ◎结论形成 1．一元二次不等式的概念：形如__ax2＋bx＋c＞0__(＜0，≥0，≤0)称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数且a≠0. 2．一元二次不等式的解集：如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集为__(x1，x2)__，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集为__(－∞，x1)∪(x2，＋∞)__． 导学2　利用配方法解一元二次不等式 x2＜9的解集是？ [提示]　x2＜9⇔|x|＜3⇔－3＜x＜3，∴解集为(－3，3). x2＞9的解集是？ [提示]　x2＞9⇔|x|＞3⇔x＞3或x＜－3，∴解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞). ◎结论形成 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(1)__(x－h)2＞k__或(2)__(x－h)2＜k__的形式． 当k≥0时，(1)式的解集为(h＋，＋∞)∪(－∞，h－)，(2)式的解集为(h－，h＋)； 当k＜0时，(1)式的解集为R，(2)式的解集为∅. 导学3　分式不等式的解法 >0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？ [提示]　等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． ◎结论形成 　分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式__＞0(≥0)或＜0(≤0)__． [对应学生用书P47] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0可以变形为a(x－1)·(x＋1)＝0，则ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1).(　　) (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式．(　　) (4)若集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝{x|－1＜x＜2}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．不等式2x≤x2＋1的解集为(　　) A．∅ B．R C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，所以x∈R. 答案　B 3．不等式x2－3x－10<0解集为(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析　方程x2－3x－10＝0的解为x1＝－2，x2＝5，所以不等式x2－3x－10<0解集为. 答案　D 4．不等式>0的解集是(　　) A．(－3，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析　由>0⇔(x－2)(x＋3)>0，解得x>2或x<－3. 答案　C [对应学生用书P48] 题型一　不含参一元二次不等式的解法一题多变 求下列不等式的解集． (1)x2－10x－600>0； (2)－2x2＋5x－2<0. [解析]　(1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)>0， 因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞). (2)因为－2x2＋5x－2＝－2＝ －2＝－2＋， 所以－2＋<0，即>. 所以x－>或x－<－， 解得x>2或x<. 所以原不等式的解集为∪(2，＋∞). 解一元二次不等式的一般步骤 第一步：首先把各项系数变为整数，二次项系数变成正数； 第二步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式； 第三步：写出不等式的解集． [触类旁通] 1．求下列不等式的解集． (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋6x－10>0. 解析　(1)∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2，∴原不等式可化为(2x－1)2>0， ∴不等式的解集为∪. (2)∵原不等式可化为x2－6x＋10<0，x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， ∴原不等式等价于(x－3)2＋1<0， ∴原不等式的解集为∅. 题型二　含参一元二次不等式的解法 一题多变 　不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集为(　　) A． B． C．∪[1，＋∞) D．(－∞，1)∪ [解析]　原不等式可以转化为－ax2＋(a＋2)x－2≤0，－a(x－1)≤0， 因为a＜0，所以＜1，因此不等式的解集为. [答案]　A [母题变式] 1．(变条件)本例将条件“ax2－(a＋2)x＋2≥0”改为“ax2－(a＋2)x＋2≤0”，其他不变，结论如何？ 解析　原不等式可化为－ax2＋(a＋2)x－2≥0， 即－a(x－1)≥0，又a＜0，所以＜1， 故不等式的解集为∪[1，＋∞). 2．(变条件)本例将条件“a＜0”去掉，其余不变，则不等式的解集如何？ 解析　ax2－(a＋2)x＋2≥0可转化为(ax－2)·(x－1)≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x－1≤0，得x≤1.不等式的解集为(－∞，1]. ②当a＞0时，原不等式可化为(x－1)≥0. 当＞1，即0＜a＜2时， 不等式的解集为(－∞，1]∪. 当＝1，即a＝2时，不等式的解集为R. 当＜1，即a＞2时，不等式的解集为∪[1，＋∞). ③当a＜0时，原不等式可化为(x－1)≤0， 所以不等式的解集为. 综上，当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，1]； 当0＜a＜2时，不等式的解集为(－∞，1]∪； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a＞2时，不等式的解集为∪[1，＋∞). [素养聚焦]　逻辑推理、运算能力等核心素养在解题过程中得以体现． 解含参数的一元二次不等式的步骤 提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． [触类旁通] 2．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解析　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知： ①当a<0或a>1时，a2>a. 解原不等式得x>a2或x<a，不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞). ②当0<a<1时，a2<a，解原不等式得x>a或x<a2， 不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞). ③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞). ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞). 综上可知， 当a<0或a>1时，原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)； 当0<a<1时，原不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)； 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a＝1时，原不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞). 题型三　分式不等式的解法 　求下列不等式的解集：≤1. [解析]　由题意知x＋5≠0，因此(x＋5)2>0， 原不等式两边同时乘以(x＋5)2可得 5(x＋5)≤(x＋5)2且x＋5≠0， 即x(x＋5)≥0且x≠－5， 因此所求不等式的解集为(－∞，－5)∪[0，＋∞). 分式不等式的解法：去分母(一般不等式两边同乘以分母的平方)，化为整式不等式求解或移项，通分化为>(≥或≤或<)0，再化为整式不等式组求解． [触类旁通] 3．解不等式：≥2. 解析　由题意知x＋2≠0，因此(x＋2)2>0，原不等式两边同时乘以(x＋2)2可得(1－x)·(x＋2)≥2(x＋2)2，且x＋2≠0， 即3(x＋2)·(x＋1)≤0，且x≠－2，因此原不等式的解集为(－2，－1]. [缜密思维提能区]　易错案例 用分类讨论思想解含参数的不等式 【典例】　解关于x的不等式：<0(a∈R). [解析]　 原式可化为(x－a)·(x－a2)<0，则所对应的方程的两个根为x1＝a，x2＝a2， 当a<a2时，即a<0或a>1时，不等式的解集为(a，a2)； 当a＝a2时，即a＝0或a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>a2时，即0<a<1时，不等式的解集为(a2，a). [纠错心得]　本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，运用分类讨论思想求解时，要注意分类的标准要恰当，同时应做到不重不漏的原则． 知识落实 技法强化 (1)一元二次不等式的常见解法． (2)简单的分式不等式的解法． (1)配方法、因式分解法是解一元二次不等式的基本方法，高次不等式、分式不等式一般利用因式分解法转化为低次不等式求解． (2)在解含参不等式时，应注意讨论二次项的系数是否为零． 学科网（北京）股份有限公司 $$