05-2.2.3 一元二次不等式的解法(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法，从等式与不等式基础切入，通过题组一（基础解法）、题组二（分式不等式）等逐步深入，构建从概念理解到综合应用的递进式学习支架。 其亮点在于题组分层设计与实际应用结合，如刹车距离问题引导学生用数学眼光观察现实，恒成立问题分类讨论培养数学思维，助力学生提升解题能力，教师可高效开展分层教学。

第二章 等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　一元二次不等式的解法 1.[2026山东省实验中学月考]不等式x2-x-2>0的解集为 ( ) A.{x|-1<x<2}　　     B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-1或x>2}　　    D.{x|x<-2或x>1}     C     解析　由x2-x-2>0得(x+1)(x-2)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式x2-x-2>0的解集为{x|x<-1或x>2}. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材习题改编]下列四个不等式中,解集为⌀的是( ) A.-x2+x+1≤0　　     B.2x2-3x+4<0 C.x2+3x+10>0　　    D.-x2-4x+3>0     B     解析　不等式-x2+x+1≤0等价于x2-x-1≥0,即 ≥ ,其解集为 -∞,  ∪  ,+∞ ;不等式2 x2-3x+4<0等价于x2- x+2<0,即 <- ,其解集为⌀;不等式x2+3x+10>0等价于 >- ,其解集为 R;不等式-x2-4x+3>0等价于x2+4x-3<0,即(x+2)2<7,其解集为(-2- ,-2+ ). 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下: x -4 -2 -1 1 2 4 y 6 -4 -6 -4 0 14 则关于x的不等式ax2+bx+c<6的解集为______________.     (-4,3)     解析　由已知得 解得  故不等式ax2+bx+c<6即x2+x-6<6,解得-4<x<3, 故不等式的解集为(-4,3). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　分式不等式的解法 4.[2025江西赣州瑞金第一中学月考]已知全集U=R,A={x|x2+2x<3},B= ,则A∩(∁UB)=  ( ) A.{x|-3<x<0}　　    B.{x|-3<x≤0} C.{x|-3<x<2}　　    D.{x|0≤x<1}     B 解析    x2+2x<3即(x+3)(x-1)<0,解得-3<x<1,即A={x|-3<x<1},  ≤0即(x-2)x≤0且x≠0,解得0<x≤2,即B={x|0<x≤2},则∁UB={x|x≤0或x>2}, 所以A∩(∁UB)={x|-3<x≤0}. 易错警示　解分式不等式时,要注意分式的分母不为0这一隐含条件. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025湖北荆州月考]若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式 >0的解集为  ( ) A.{x|x>1或x<-2} 　　     B.{x|1<x<2} C.{x|x>2或x<-1} 　　     D.{x|-1<x<2}     C     解析　∵ax-b>0的解集为{x|x>1},∴a>0,且x=1为方程ax-b=0的根,∴a-b=0,即a=b. 故不等式 >0即 >0,等价于(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河南焦作一中月考]已知a∈R,集合A= x  ≤0 ,B={x|x2+(3-a)x-3a<0}. (1)当a= 时,求A和B; (2)已知A∪B=A,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由 ≤0, 得  即 解得x<-1或x≥2,则A={x|x<-1或x≥2}, B={x|x2+(3-a)x-3a<0}={x|(x+3)(x-a)<0}, 当a= 时,B= x (x+3) <0 = x -3<x<  . (2)由A∪B=A,得B⊆A, 由(1)知B={x|(x+3)(x-a)<0},A={x|x<-1或x≥2}. ①当B=⌀时,a=-3(对应方程两根相等),符合题意. ②当B≠⌀时,若a>-3,则B={x|-3<x<a},由B⊆A,可得a≤-1,此时-3<a≤-1; 第1讲　描述运动的基本概念 若a<-3,则B={x|a<x<-3},此时B⊆A恒成立,故a<-3符合题意. 综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　二次不等式与二次方程之间的关系 7.[2026江西南昌中学期中]若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|-3<x<1},则不等式cx2-bx+a>0的解 集为 ( ) A. x - <x<1 　　     B. x -1<x<   C. x x<- 或x>1 　　    D. x x<-1或x>       B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|-3<x<1}, ∴-3和1是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a>0, ∴ 得 ∴不等式cx2-bx+a>0转化为-3ax2-2ax+a>0, ∵a>0,∴3x2+2x-1<0,即(x+1)(3x-1)<0,得-1<x< ,∴不等式cx2-bx+a>0的解集为 x -1<x<  . 规律总结　一元二次不等式大于0的解集取两边,则二次项系数为正,大于0的解集取中间,则二次项系 数为负;一元二次不等式小于0的解集取两边,则二次项系数为负,小于0的解集取中间,则二次项系数为 正. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026云南昆明一中月考]已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},则下列说法 正确的有 ( ) A.a<0 B.不等式cx2-bx+a<0的解集为 x - <x<   C.a+b+c<0 D.9a-3b+c>0     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},所以a<0,故A正确. 由题意可知-3和4是方程ax2+bx+c=0的两根,可得 解得 则cx2-bx+a<0即为-12ax2+ax+ a<0,所以12x2-x-1<0,解得- <x< ,所以不等式的解集为 x - <x<  ,故B正确. a+b+c=a-a-12a=-12a>0,故C错误. 当x=-3时,a·(-3)2+b·(-3)+c=9a-3b+c=0,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江苏常州期中]已知关于x的不等式x2-mx+n<0(其中m,n均为实数)的解集为(x1,x2),且x1,x2满足 +  =x1x2+3,则m的取值范围是________________.     (-2 ,2 )     解析　由题意知方程x2-mx+n=0的两实根为x1和x2,则x1+x2=m,x1x2=n, 因为 + =x1x2+3,所以(x1+x2)2-3x1x2-3=0, 故m2-3n-3=0,则n= ,又Δ=m2-4n>0, 所以m2-4× >0,解得-2 <m<2 , 所以m的取值范围是(-2 ,2 ). 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知关于x的不等式a(x-1)(x-2)>2x2-8x+8的解集为A. (1)当a=1时,求集合A; (2)若集合A=(-∞,-1)∪(2,+∞),求a的值; (3)若3∉A,求a的取值范围. 解析    (1)当a=1时,不等式为(x-1)(x-2)>2x2-8x+8,整理得(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3. 故A=(2,3). (2)若集合A=(-∞,-1)∪(2,+∞),则-1,2是方程a(x-1)(x-2)=2x2-8x+8的两个根, 将x=-1代入此方程,可得6a=18,所以a=3. (3)若3∉A,则a(3-1)×(3-2)≤2×32-8×3+8,解得a≤1.故a的取值范围为(-∞,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　一元二次不等式的恒(能)成立问题 11.[2025安徽合肥期中]已知命题“∀x∈R,2x2+(a-1)x+ >0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是  ( ) A.(-∞,-1]∪[3,+∞) B.[-1,3] C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-1,3)     A     解析　由题意得,对于方程2x2+(a-1)x+ =0,Δ=(a-1)2-4×2× ≥0,解得a≤-1或a≥3,故实数a的取值范围是 (-∞,-1]∪[3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026北京平谷中学月考]若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是( ) A.{m|m≤-2或m≥2} B.{m|-2≤m≤2} C.{m|m<-2或m>2} D.{m|-2<m<2}     A     解析　∵关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,且函数y=-x2+mx-1的图象开口向下,∴函数图象与x轴有交点, ∴Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江苏无锡月考]不等式2kx2+kx- <0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是( ) A.(-3,0]　　     B.[-3,0) C.[-3,0]　　    D.(-3,0)     A     解析　当k=0时,不等式为- <0,恒成立,满足题意; 当k≠0时, 解得-3<k<0. 综上所述,-3<k≤0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组五　一元二次不等式的实际应用 14.[2026江苏镇江期中]汽车在行驶过程中,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距 离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.在一个限速为80 km/h的桥梁上, 甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事后现场勘查测得甲车的刹车距离 小于42 m,乙车的刹车距离略超过36 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h) 的关系分别为s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.则 ( ) A.甲、乙两车均超过规定限速 B.甲车未超过规定限速,乙车超过规定限速 C.甲车超过规定限速,乙车未超过规定限速 D.甲、乙两车均未超过规定限速     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为甲车的刹车距离小于42 m且s甲=0.1x+0.01x2,所以0.1x+0.01x2<42,又x>0,所以0<x<60, 因为乙车的刹车距离略超过36 m且s乙=0.05x+0.005x2,所以0.05x+0.005x2>36,又x>0,所以x>80, 所以甲车未超过规定限速,乙车超过规定限速. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026福建漳州期中]某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成 =10%),售出商品的数量就增加 x成,要求售价不能低于成本价. (1)设该商品一天的营业额为y元,试求出y与x之间的函数关系式; (2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得,当售价降低x成时,商品售价为100 =10(10-x)元/件,售出商品的数量为100  =4(25+4x)件, 所以y=10(10-x)·4(25+4x)=40(10-x)(25+4x), 因为售价不能低于成本价,所以10(10-x)-80≥0,解得x≤2, 所以y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2). (2)由(1)可知商品一天的营业额(单位:元)为y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2), 令40(10-x)(25+4x)≥10 260, 化简得8x2-30x+13≤0, 解得 ≤x≤ ,又0≤x≤2,所以x的取值范围为 x  ≤x≤2 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2 不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　一元二次不等式的解法 1.[创新题·新情境][2025江西鹰潭期中]对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.1]=1, [3.8]=3,[-2.3]=-3,[5]=5,那么使得不等式-6[x]2+5[x]+21>0成立的x的取值范围是( ) A.{x|-2≤x≤3}　　    B.{x|-1<x<3} C.{x|-1≤x<2}　　    D.{x|-1≤x<3}     D     解析　-6[x]2+5[x]+21>0即(2[x]+3)(3[x]-7)<0, 解得- <[x]< ,则-1≤x<3. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖南衡阳一中月考]若不等式x2-(m+1)x+m<0的解集中恰有三个整数,则实数m的取值范围为  ( ) A.{m|-3≤m≤5} B.{m|-2≤m<-1或4<m≤5} C.{m|-3<m<1或4<m<5} D.{m|-3≤m<-2或4<m≤5}     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    x2-(m+1)x+m<0⇔(x-1)(x-m)<0. ①当m=1时,不等式为(x-1)2<0,解集为空集,不符合题意; ②当m>1时,不等式的解集为{x|1<x<m}, 因为不等式的解集中恰有三个整数,所以整数为2,3,4,故4<m≤5; ③当m<1时,不等式的解集为{x|m<x<1}, 因为不等式的解集中恰有三个整数,所以整数为0,-1,-2,故-3≤m<-2. 综上,实数m的取值范围为{m|-3≤m<-2或4<m≤5}. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025江苏泰州调研]设a为实数,则下列集合可能是不等式 >0的解集的是( ) A.{x|x<-2}　　     B.  C. 　　    D.      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为 >0,所以(ax-1)3(x+2)>0, 显然(ax-1)2>0,则不等式等价于(ax-1)(x+2)>0. 当a>0时,不等式可化为 (x+2)>0,解得x<-2或x> . 当a=0时,不等式可化为-(x+2)>0,解得x<-2. 当a<0时,不等式可化为 (x+2)<0, 若 <-2,即- <a<0,则 <x<-2; 若 =-2,即a=- ,则不等式为(x+2)2<0,无解; 若 >-2,即a<- ,则-2<x< ,故A,C,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题]已知关于x的不等式ax2+bx+3>0,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是 ( ) A.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{x|x>3} B.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是R C.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是⌀ D.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{x|-1<x<3}     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|x>3},则a=0,且3b+3=0,解得b=-1,此时不等式为-x+3>0,解 得x<3,矛盾,故A错误; 对于B,取a=1,b=2,则ax2+bx+3=x2+2x+3=(x+1)2+2>0恒成立,故原不等式的解集为R,故B正确; 对于C,若不等式ax2+bx+3>0的解集为⌀,则 无解,故C错误; 对于D,若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|-1<x<3},则a<0,且 解得 故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江苏无锡期中]已知关于x的不等式-1< <1的解集是{x|-2<x<0},则所有满足条件的实数a组 成的集合是___________.     {2}     解析　不等式-1< <1等价于 <1,即(ax+1)2<(x-1)2,且x≠1,即(a2-1)x2+2(a+1)x<0,且x≠1, ∵不等式的解集是{x|-2<x<0}, ∴a2-1>0且- =-2,解得a=2. 故满足条件的实数a组成的集合为{2}. 第1讲　描述运动的基本概念 6.设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z)只有有限个整数解,且0是其中一个解,则该不等式的所 有整数解组成的集合为_____________________________.     {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}     解析    易知a≠0,设y=ax2+8(a+1)x+7a+16,若y≥0的整数解只有有限个,则其图象开口向下,所以a<0. 因为0为其中一个解,所以7a+16≥0,解得a≥- ,所以- ≤a<0,又a∈Z,所以a=-2或a=-1, 则不等式为-2x2-8x+2≥0①或-x2+9≥0②, 由①得-2- ≤x≤ -2,所以不等式的整数解为-4,-3,-2,-1,0,由②得-3≤x≤3,所以不等式的整数解为-3, -2,-1,0,1,2,3, 所以该不等式的所有整数解组成的集合为{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026山东日照实验高级中学段考]已知函数y=ax2-(a+1)·x+1(a∈R). (1)当a=-2时,求不等式y≤0的解集; (2)当a>0时,求不等式y<0的解集. 解析    (1)当a=-2时,y=-2x2+x+1, 由y≤0得-2x2+x+1≤0,即2x2-x-1≥0,即(2x+1)(x-1)≥0,解得x≤- 或x≥1. 故不等式的解集为 ∪[1,+∞). (2)由y<0得ax2-(a+1)x+1<0,即(ax-1)(x-1)<0, 当a=1时, =1,(ax-1)(x-1)<0即(x-1)2<0,无解; 当0<a<1时, >1,由(ax-1)(x-1)<0,得1<x< ; 第1讲　描述运动的基本概念 当a>1时, <1,由(ax-1)(x-1)<0,得 <x<1. 综上所述,当a=1时,不等式的解集为⌀; 当0<a<1时,不等式的解集为 ; 当a>1时,不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　二次不等式与二次方程之间的关系 8.[2026贵州铜仁第一中学月考]若关于x的不等式x2+px+q>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则不等式  >0的解集为 ( ) A.(-4,1)∪(2,+∞)　　    B.(-2,1)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,4)　　    D.(-∞,-4)∪(1,2)     B     解析　因为关于x的不等式x2+px+q>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞), 所以方程x2+px+q=0的两根是-1和2,由根与系数的关系可得p=-1,q=-2, 所以 >0即 >0,即 >0,解得-2<x<1或x>4. 所以原不等式的解集为(-2,1)∪(4,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026福建厦门外国语学校月考]若不等式a(x-1)(x-3)+2>0的解集为{x|x<x1或x>x2},其中x1<x2, 则下列结论中正确的是( ) A.x1+x2=4 B.|x1-x2|>2 C.3<x1x2<4 D.(3a+2)x2-4ax+a<0的解集为 x  <x<       ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为不等式a(x-1)(x-3)+2>0的解集为{x|x<x1或x>x2},其中x1<x2, 所以方程a(x-1)(x-3)+2=0即ax2-4ax+3a+2=0的两个根分别为x1,x2,且a>0, 所以  即 所以A正确; 对于B,|x1-x2|= = = , 因为a>2,所以0< < ,所以0< <4,所以0<4- <4, 第1讲　描述运动的基本概念 所以0< <2,所以0<|x1-x2|<2,所以B错误; 对于C,由B中分析得3<3+ <4,所以3<x1x2<4,所以C正确; 对于D,因为 所以  所以由(3a+2)x2-4ax+a<0,得ax1x2x2-a(x1+x2)x+a<0,所以x1x2x2-(x1+x2)x+1<0,得(x1x-1)(x2x-1)<0, 因为0<x1<x2,所以0< < ,所以不等式(x1x-1)(x2x-1)<0的解集为 x  <x<  ,即不等式(3a+2)x2-4ax+a< 0的解集为 x  <x<  ,所以D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知二次函数y=ax2+bx-a+2. (1)若关于x的不等式ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-1<x<2},求实数a,b的值; (2)若a>0,b=2,求关于x的不等式ax2+bx-a+2>0的解集. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由不等式ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-1<x<2},得-1和2是方程ax2+bx-a+2=0的两个根,且a<0, 由根与系数的关系得 解得  (2)若a>0,b=2,则原不等式为ax2+2x-a+2>0,可化为(x+1) >0, 当0<a<1,即 <-1时,解不等式(x+1) >0,得x< 或x>-1; 当a=1,即 =-1时,解不等式(x+1) >0,得x≠-1; 当a>1,即 >-1时,解不等式(x+1) >0,得x<-1或x> . 综上所述,当0<a<1时,不等式的解集为 ; 第1讲　描述运动的基本概念 当a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1}; 当a>1时,不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　一元二次不等式的恒(能)成立问题 11.[2026广东深圳高级中学期中]若命题“∀x∈{x|1≤x≤4},不等式x2-mx-m+15>0恒成立”为假命题, 则实数m的取值范围为_______________.     {m|m≥6}     解析　由题得命题的否定“∃x∈{x|1≤x≤4},不等式x2-mx-m+15≤0有解”为真命题,所以m(x+1)≥x2+ 15,即m≥ 在1≤x≤4时有解,故m≥ . 令t=x+1,2≤t≤5,则x=t-1, 所以 = = =t+ -2≥2 -2=6,当且仅当t= ,即t=4,x=3时取等号,所以m≥6. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026上海川沙中学期中]若|x-5|+|x+4|≥m2-8m对一切x∈R都成立,则m的取值范围是______________ ____.     {m|-1≤m≤9} 解析　|x-5|+|x+4|≥|x-5-x-4|=9, 要使不等式|x-5|+|x+4|≥m2-8m对一切x∈R都成立,则需满足9≥m2-8m,即(m+1)(m-9)≤0,解得-1≤m≤9. 方法技巧　若|x-m|+|x-n|≥c恒成立,可利用绝对值的几何意义或三角不等式|a|+|b|≥|a±b|求解. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026辽宁抚顺期末]已知y=kx2-(3k+1)x+3. (1)若不等式y<0的解集为{x|1<x<3},求y的表达式; (2)若k>0,解关于x的不等式y+kx-1<0; (3)若不等式y+kx-1>0对任意的-1≤k≤1恒成立,求实数x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题知kx2-(3k+1)x+3<0的解集为{x|1<x<3}, 则方程kx2-(3k+1)x+3=0的两个根分别为1,3,且k>0, 由根与系数的关系可得 解得k=1,则y=x2-4x+3. (2)y+kx-1<0即kx2-(2k+1)x+2<0,得(kx-1)(x-2)<0,又k>0,所以 (x-2)<0. 当 >2,即0<k< 时,解得2<x< ,则不等式的解集为 x 2<x<  ; 当 =2,即k= 时,不等式为(x-2)2<0,解集为⌀; 当 <2,即k> 时,解得 <x<2,则不等式的解集为 x  <x<2 . 综上,当0<k< 时,不等式的解集为 x 2<x<  ;当k= 时,不等式的解集为⌀;当k> 时,不等式的解集为  第1讲　描述运动的基本概念 x  <x<2 . (3)不等式y+kx-1>0对任意的-1≤k≤1恒成立,即kx2-(2k+1)x+2>0对任意的-1≤k≤1恒成立, 令y1=kx2-(2k+1)x+2=(x2-2x)k+2-x, 若x2-2x=0,则x=0或x=2, 当x=0时,y1=2>0,满足; 当x=2时,y1=0,不满足. 若x2-2x≠0,即x≠0且x≠2,则需满足 解得-1<x<1,且x≠0. 综上,实数x的取值范围为{x|-1<x<1}. 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧    更换主元法 一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,即把变量与参数交换位置,构造以参 数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　一元二次不等式的实际应用 14.[2025湖北襄阳期中]如图,居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个周长 均为28 m的相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的十字形区域.计划在正方形MNPQ处建一座花坛,造价 为2 000元/m2;在四个相同的矩形(图中阴影部分)处铺上鹅卵石,造价为75元/m2;在四个空角(图中四个 三角形)处铺上草坪,造价为200元/m2.若要使总造价不高于28 000元,求正方形MNPQ的周长的最大值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　设正方形MNPQ的边长为x m,x>0,则其面积为x2 m2,四个相同的矩形即阴影部分的面积为2(14-x) x-2x2=(28x-4x2)m2,四个空角的面积为4× × =(98-28x+2x2)m2, 设总造价为W元,则W=2 000x2+75(28x-4x2)+200×(98-28x+2x2)=2 100x2-3 500x+19 600≤28 000, 即3x2-5x-12≤0,即(x-3)(3x+4)≤0,又x>0,所以0<x≤3,故正方形MNPQ的周长的最大值为3×4=12 m. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　一元二次不等式错中求解的新考法 15.[2026陕西榆林联考]甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为{x|1<x< 6};乙写错了常数c,得到的解集为{x|-1<x<6}.若甲、乙两人除写错常数外,其余求解过程都正确,则原不 等式的解集为 ( ) A.{x|-1<x<6}　　    B.{x|0<x<5}　　     C.{x|-3<x<2}　　    D.{x|2<x<3}     D     解析　因为甲写错了常数b,得到的解集为{x|1<x<6},所以根据根与系数的关系,得c=1×6=6. 因为乙写错了常数c,得到的解集为{x|-1<x<6},所以根据根与系数的关系,得-b=-1+6,即b=-5. 所以原不等式为x2-5x+6<0, 解得2<x<3. 第1讲　描述运动的基本概念 $