2.2.2 不等式的解集（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

2．2.2　不等式的解集 学业标准 素养目标 1．会求一元一次不等式(组)的解集．(重点) 2．掌握简单的绝对值不等式的解集的求法．(重点、难点) 3．了解数轴上的两点之间的距离公式和中点坐标公式． 1．通过解一元一次不等式(组)，培养学生数学运算等核心素养． 2．通过解绝对值不等式，培养学生数学运算、逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P44] 导学1　不等式的解集与不等式组的解集 不等式x－1＞2的所有解组成的集合是？ [提示]　(3，＋∞). 同时满足的所有解组成的集合是？ [提示]　集合为(3，＋∞)∩(－∞，5)＝(3，5). ◎结论形成 不等式的解 能够使不等式成立的未知数的值 不等式的解集 不等式的__所有解__组成的集合 不等式组的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的__交__集 导学2　绝对值不等式 数轴上表示数a的点与原点的距离大于3怎样表示？ [提示]　|a|＞3. 这样的点有多少个，用集合怎样表示？ [提示]　无数个，{a|a＞3或a＜－3}． ◎结论形成 1．绝对值不等式的定义：含有__绝对值__的不等式称为绝对值不等式． 2．绝对值不等式的解集：当m＞0时，不等式|x|＞m的解集为__(－∞，－m)∪(m，＋∞)__；不等式|x|＜m的解集为__(－m，m)__． 3．|ax＋b|≥c，|ax＋b|≤c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (2)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. [对应学生用书P44] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式组的解集为(1，a).(　　) (2)不等式|x|<a的解集为(－a，a).(　　) (3)已知数轴上点A，B对应的数分别为x1，x2，若x1＝－1且AB＝5，则x2的值为4.(　　) (4)|a－2|表示数轴上表示a的点与表示2的点之间的距离．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．不等式组的解集是________． 解析　，解不等式①得x≤3，解不等式②得x＞－2，所以不等式组的解集是(－2，3]. 答案　(－2，3] 3．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足______． 解析　数轴上对应x的点到原点的距离可表示为|x|.由题意可知|x|＜8. 答案　|x|＜8 4．不等式|1－2x|＜1的解集是________． 解析　∵|1－2x|＜1，∴－1＜1－2x＜1， ∴－2＜－2x＜0，解得0＜x＜1， 故不等式的解集是(0，1). 答案　(0，1) [对应学生用书P45] 题型一　解不等式(组) (1)解不等式组 (2)解关于x的不等式ax>0. [解析]　(1)不等式组 ①式两端同时乘以2，得2x＋2≥－7－x， 然后两端同时加上x－2，得3x≥－9， 不等式3x≥－9两端同时乘以，得x≥－3， 同理，解不等式②得x≥2， 所以不等式组的解集是[2，＋∞). (2)①当a>0时，x∈(0，＋∞)； ②当a＝0时，x∈∅； ③当a<0时，x∈(－∞，0). 解不等式(组)的注意点 (1)移项要改变项的符号． (2)利用不等式的性质3时要改变不等号的方向． (3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集． [触类旁通] 1．解不等式组 解析　由①得x＜3，由②得x＞－9， ∴原不等式组的解集为(－9，3). 题型二　含一个绝对值的不等式的解法 　解下列不等式． (1)|2x＋5|<7； (2)2≤|x－2|≤4. [解析]　(1)原不等式等价于－7<2x＋5<7. ∴－12<2x<2，∴－6<x<1， ∴原不等式的解集为(－6，1). (2)原不等式等价于 由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为[－2，0]∪[4，6]. [素养聚焦]　通过解含绝对值的不等式，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． |ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法： (1)当c>0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|<c的解集为∅. (3)当c<0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅. [触类旁通] 2．若不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是<x<，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　 B． C． D． 解析　不等式|x－a|<1⇒－1<x－a<1⇒a－1<x<a＋1， 由于不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是<x<， 所以⇒－≤a≤，所以a的取值范围是. 答案　A 题型三　含两个绝对值的不等式的解法一题多变 　解不等式|x＋7|－|x－2|≤3. [解析]　分段讨论法：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2. ①当x<－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，∴－9≤3成立，∴x<－7. ②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1. ③当x>2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立，∴x∈∅. ∴原不等式的解集为(－∞，－1]. [母题变式] 　(变条件)你能用数轴上两点之间的距离(几何法)解答本题吗？ 解析　|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]. |x－a|±|x－b|≥c和|x－a|±|x－b|≤c型不等式的两种解法： (1)利用绝对值不等式的几何意义． (2)利用x－a＝0，x－b＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而求解． [触类旁通] 3．(1)不等式|2x－1|－|x＋1|<1解集是(　　) A． B． C． D． (2)不等式＋≤6的解集为___________． 解析　(1)当x<－1时，|2x－1|－|x＋1|＝1－2x＋x＋1＝2－x<1，解得x>1，此时x∈∅； 当－1≤x≤时，|2x－1|－|x＋1|＝1－2x－(x＋1)＝－3x<1，解得x>－，此时－<x≤； 当x>时，|2x－1|－|x＋1|＝2x－1－(x＋1)＝x－2<1，解得x<3，此时<x<3. 综上所述，不等式|2x－1|－|x＋1|<1的解集为. (2)当x<－1时，－－≤6，解得－2≤x<－1； 当－1≤x≤3时，－≤6，解得－1≤x≤3； 当x>3时，＋≤6，解得3<x≤4， 综上，得不等式的解集为. 答案　(1)B　(2) [缜密思维提能区]　易错案例 一元一次不等式组的求解 【典例】　解不等式组 [解析]　 解不等式①得x≤1， 解不等式②得x＞－3， 所以不等式组的解集为(－3，1]. [纠错心得]　(1)求不等式(组)的解集时要正确利用不等式的性质． (2)不等式(组)的解集一般要写成集合或区间的形式． 知识落实 技法强化 (1)解一元一次不等式(组). (2)解含有一个或两个绝对值的不等式． (1)解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质．求不等式组解集时常利用数轴求交集． (2)对含两个绝对值的不等式的讨论时，注意是不是带等号． 学科网（北京）股份有限公司 $$