2.2.1 不等式及其性质（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

2．2　不等式 2．2.1　不等式及其性质 学业标准 素养目标 1．理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式(组)表示各种不等关系．(难点) 2．掌握不等式的有关性质．并能解决有关问题．(重点) 3．了解反证法、分析法、综合法证明不等式的方法．(难点) 1．通过不等式的概念和性质的学习，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过不等式的性质的应用，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． [对应学生用书P40] 导学1　作差法 (1)如果a－b是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？ [提示]　如果a－b是正数，则a＞b，反之也成立，用数学语言可描述为：a－b＞0⇔a＞b. (2)如果a－b是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？ [提示]　如果a－b是负数，则a＜b，反之也成立，即a－b＜0⇔a＜b. ◎结论形成 1．不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 2．常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 > 至多 __≤__ 小于 __<__ 至少 ≥ 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于等于 ≥ 不少于 __≥__ 小于等于 ≤ 不多于 ≤ 其中a≥b⇔__a>b或a＝b__，a≤b⇔__a<b或a＝b__． 3．(1)数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x为__点P的坐标__，并记作__P(x)__． (2)比较两个实数(代数式)大小 作差法的理论依据： a>b⇔__a－b>0__；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔__a－b<0__． 导学2　不等式的性质 你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc. [提示]　(1)如果a>b，那么b<a；(2)如果a>b，b>c，那么a>c； (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c；(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac<bc. ◎结论形成 1．不等式的性质 性质 别名 内容 性质1 可加性 a>b⇔a＋c__>__b＋c 性质2 可乘性 a>b，c>0⇒ac__>__bc 性质3 a>b，c<0⇒ac__<__bc 性质4 传递性 a>b，b>c⇒__a>c__ 性质5 对称性 a>b⇔b<a 2．不等式的推论 推论 别名 内容 推论1 移项法则 a＋b>c⇔a>c－b 推论2 同向不等式相加 a>b，c>d⇒__a＋c>b＋d__ 推论3 同向不等式相乘 a>b>0, c>d>0⇒__ac>bd__ 推论4 可乘方性 a>b>0⇒__an>bn__(n∈N，n>1) 推论5 可开方性 a>b>0⇒> 导学3　不等式的证明方法 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？ 求证：－>－. 证明：因为0<＋<＋，所以>，所以－>－. [提示]　由已知0<＋<＋出发，推出结论． ◎结论形成 1．反证法 反证法是一种间接证明的方法，其实质是：首先__假设结论的否定成立__，然后__由此推理得到矛盾__，最后__得出假设不成立__． 2．综合法 综合法的实质就是不断寻找__必然成立的结论__，其重要的推理形式为__p⇒q__，其中p为已知或者已经得出的结论． 3．分析法 分析法的实质是不断寻找结论成立的__充分条件__，其重要的推理形式是__“要证p，只需证明q”__，可以表示为__p⇐q__，其中p是需要证明的结论． [对应学生用书P41] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>b，c<d，则a－c>b－d.(　　) (2)若a>b，则<.(　　) (3)若a>b>0，c>d>0，则>.(　　) (4)已知a>b，e>f，c>0，则f－ac<e－bc.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40　　　　　　 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 解析　限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. 答案　C 3．设M＝x2＋3，N＝3x，则M与N的大小关系为(　　) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关 解析　x2＋3－3x＝x2－3x＋3＝＋≥＞0.所以x2＋3＞3x. 答案　A 4．若1≤x≤3，2≤y≤4，则x－y的范围是________． 解析　因为2≤y≤4，所以－4≤－y≤－2， 又1≤x≤3，所以－3≤x－y≤1. 答案　[－3，1] [对应学生用书P42] 题型一　作差法比较大小一题多变 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． [解析]　∵a3＋b3－(a2b＋ab2) ＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b). ∴当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. [母题变式] 1．(变结论)若本题条件不变，试判断a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系． 解析　(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3) ＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2). ∵a>0，b>0， ∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 2．(变结论)若本题条件不变，对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解析　若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr. (1)作差法比较大小的步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④平方差、立方差(和)公式；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． [触类旁通] 1．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解析　(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)， ∵＋>0，x－1<0， ∴(x－1)<0， ∴x3－1<2x2－2x. 题型二　不等式的性质及应用 　给出下列命题： ①若ab＞0，a＞b，则＜； ②若a＞|b|，则a2＞b2； ③若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d； ④对于正数a，b，m，若a＜b，则＜. 其中真命题的序号是________． [解析]　对于①，若ab＞0，则＞0， 又a＞b，所以＞，所以＜，所以①正确； 对于②，若a＞|b|≥0，则a2＞b2，所以②正确； 对于③，若a＞b，c＞d，则－c＜－d，所以－d＞－c，所以a－d＞b－c，所以a－c＞b－d不成立，③错误； 对于④，对于正数a，b，m，若a＜b，则＜成立，即a(b＋m)＜b(a＋m)，所以am＜bm，所以a＜b，④正确． 综上，正确的命题序号是①②④. [答案]　①②④ [素养聚焦]　逻辑推理等核心素养在解题过程中得以体现． (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． (3)通过举反例来说明不等式不成立是行之有效的方法． [触类旁通] 2．(多选)设a>b>0，c<0，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc　　　　　 B．> C．> D．ac2>bc2 解析　对于A，由a>b>0，c<0，得ac<bc，A正确； 对于B，由a>b>0，得<，而c<0，则>，B正确； 对于C，由a>b>0，c<0，得－＝<0，即<，C错误； 对于D，由c<0，得c2>0，而a>b>0，则ac2>bc2，D正确． 答案　ABD 题型三　不等式证明的基本方法 　(1)若a，b∈(1，＋∞)，证明：<. (2)已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1. [证明]　(1)要证 <， 只需证()2<()2， 只需证a＋b－1－ab<0， 即证(a－1)(1－b)<0. 因为a>1，b>1，所以a－1>0，1－b<0， 即(a－1)(1－b)<0成立， 所以原不等式成立． (2)假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3， 而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝2＋3≥3. 这与a＋b＋c<3矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1. 1．分析综合法的解题思路 分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证． 2．反证法证明问题的三个步骤 (1)假设结论的否定成立． (2)推理得到矛盾． (3)得出假设不成立． [触类旁通] 3．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤. 证明　∵bc－ad≥0，∴ad≤bc， ∵bd>0，∴－＝≤0，即≤， ∴＋1≤＋1，即≤. [缜密思维提能区]　易错案例 忽略不等式或性质的等价性致错 【典例】　已知－4＜a＜6，2＜b＜4，则a－2b的取值范围是________． [解析]　 因为2＜b＜4， 所以－4＜－b＜－2， 则－8＜－2b＜－4. 又－4＜a＜6， 所以－12＜a－2b＜2. [答案]　(－12，2) [纠错心得]　同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎． 知识落实 技法强化 (1)作差法比较大小． (2)不等式的性质及应用． (3)不等式的证明方法． (1)注意不等式性质的单向性和双向性，即每条性质是否具有可逆性． (2)避免综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$