03-2.2.1 不等式及其性质(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“不等式及其性质”，涵盖不等关系表示、大小比较、性质应用及取值范围等核心内容。课堂导入结合平流层高度、货物运输等现实情境，衔接等式知识，通过具体问题搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实情境题培养数学眼光，如用数轴几何意义解析平流层高度不等式；通过作差法、特殊值法等培养数学思维，如比较大小题的推理过程；以解题模板规范数学语言，如待定系数法求取值范围。学生能提升实际问题解决能力，教师可获得系统题型与方法指导。

第二章 等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用不等式(组)表示不等关系 1.[2026辽宁锦州期末]平流层一般是指地球表面以上10 km(不含)到50 km(不含)的区域,下述不等式中, x(单位:km)能表示平流层高度的是 ( ) A.|x+10|<50　　    B.|x-10|<50　　     C.|x+30|<20　　    D.|x-30|<20     D     解析　如图,设A(10),B(50),则AB的中点对应的数字为30,由绝对值的几何意义可得|x-30|<20.   第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江苏连云港期中]火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计划用A,B 两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱,5吨甲种货 物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱,据此安排A,B两种货箱的节数,则下列满足题意的方案为 ( ) A.A型货箱28节,B型货箱22节 B.A型货箱29节,B型货箱21节 C.A型货箱31节,B型货箱19节 D.A型货箱30节,B型货箱20节     ABD 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设安排A型货箱x节,B型货箱y节, 则 解得28≤x≤30且x∈N, 则 或 或 故A,B,D中方案满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　比较大小 3.[2025河南创新发展联盟月考]若a=2+ ,b=3- ,c=2+ ,则 ( ) A.a>b>c　　    B.b>a>c　　    C.c>b>a　　    D.c>a>b     A     解析    a-b=-1+ + = -1, 因为( + )2-( )2=2 -7= - >0,且 + 和 都为正数,所以 + > ,则 >1,则a -b>0,即a>b.因为b=3- >3- = ,c=2+ <2+ = ,所以b>c. 综上,a>b>c. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河北石家庄外国语学校阶段测试]若a>b>0,则a3+b3______ab2+a2b. (填“>”“<”或“=”) 　>     解析    a3+b3-ab2-a2b=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b), 因为a>b>0,所以(a-b)2>0,a+b>0,所以(a-b)2(a+b)>0,所以a3+b3-ab2-a2b>0,即a3+b3>ab2+a2b. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026重庆南开中学月考](1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小; (2)设a>b>0,比较 与 的大小. 解析    (1)2x2+5x+3-(x2+4x+2)=x2+x+1= + >0,所以2x2+5x+3>x2+4x+2. (2)由a>b>0,得a-b>0, = >0, >0, 因此 = = =1+ >1,所以 > . 解题模板　在比较两个代数式的大小关系时,若两个代数式作差后可以进行配方或因式分解,则优先选 择作差法,将结果与0进行比较.若两个代数式同号,则可利用作商法,将结果与1进行比较. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　不等式的性质及其推论 6.[教材习题改编][多选题][2026广东清远第二中学月考]已知实数a,b,c,则( ) A.若 > ,则a<b B.若a>b,c<d,则a-c>b-d C.若a<b<0,则a2>ab D.若c>a>b,则 <      BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,a>0>b时,满足 > ,此时a>b,A错误; 对于B,c<d,则-c>-d,又a>b,所以a-c>b-d,B正确; 对于C,a<b且a<0,则a·a>a·b,即a2>ab,C正确; 对于D,c>a>b,则c-b>c-a>0,所以 < ,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025山东菏泽期中]如果a<b<0,c<d<0,那么下列不等式一定成立的是 ( ) A.ac>bd　　    B.ac2>bd2　　    C. > 　　    D. <      AD     解析　因为a<b<0,c<d<0,所以-a>-b>0,-c>-d>0,所以ac>bd,故A正确; 因为c<d<0,所以c2>d2>0,又-a>-b>0,所以-ac2>-bd2>0,所以ac2<bd2,故B错误; 当a=-2,b=-1,c=-5,d=-1时, = =2, = =5,则 < ,故C错误; 因为c<d<0,b<0,所以c+b<d+b<0,因为a<b<0,所以a+b<0,则 <0,故 < ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　求代数式的取值范围 8.[多选题][2025浙江温州期中]已知1≤x≤2,3≤y≤4,则 ( ) A.2x+y的最小值是4　　    B.y-x的最小值是1 C.xy的最大值是8　　     D. 的最大值是      BCD     解析　对于A,由1≤x≤2得2≤2x≤4,又3≤y≤4,所以5≤2x+y≤8,所以2x+y的最小值是5,A错误; 对于B,由1≤x≤2得-2≤-x≤-1,又3≤y≤4,所以1≤y-x≤3,所以y-x的最小值是1,B正确; 对于C,因为1≤x≤2,3≤y≤4,所以1×3≤xy≤2×4,即3≤xy≤8,所以xy的最大值是8,C正确; 对于D,由3≤y≤4得 ≤ ≤ ,又1≤x≤2,所以 ×1≤ ≤ ×2,即 ≤ ≤ ,所以 的最大值是 ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026重庆鲁能巴蜀中学月考]已知实数x,y满足-1≤x+y≤4且2≤x-y≤3,则x-3y的取值范围是_________ ____.     [0,7] 解析　设x-3y=m(x+y)+n(x-y),则  解得m=-1,n=2,故x-3y=-(x+y)+2(x-y), 又-4≤-(x+y)≤1,4≤2(x-y)≤6, 所以0≤-(x+y)+2(x-y)≤7,即0≤x-3y≤7. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　实数的不等关系 1.[2026河南信阳第二高级中学月考]某品牌手机为促进销售,准备对其特定型号的手机降价,有四种降 价方案:①先降价a%,再降价b%;②先降价 %,再降价a%;③先降价 %,再降价 %;④一次性降 价(a+b)%.其中a>b,则最终降价幅度最小的方案是 ( ) A.①　　    B.②　　    C.③　　    D.④     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设手机原价为x,由题意知a>b,且a+b<100,不妨设a=20,b=10,则 ①x(1-a%)(1-b%)=x(1-20%)(1-10%)=0.8×0.9x=0.72x; ②x (1-a%)=x(1-0.15)×(1-0.2)=0.85×0.8x=0.68x; ③x  =x(1-0.15)×(1-0.15)=0.85×0.85x=0.722 5x; ④x[1-(a+b)%]=0.7x. 因为0.722 5x>0.72x>0.7x>0.68x,所以方案③降价幅度最小. 方法技巧　对于复杂的代数式的比较大小问题,可以考虑使用特殊值法进行比较. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖南常德月考]16世纪中叶,英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号 使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用符号“<”和“>”,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不 等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是 ( ) A.若a>0,则a2+1>(a-1)(a+2) B.若a<b<0,则a2<ab<b2 C.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab| D.若a>b>0,则 >      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,a2+1-(a-1)(a+2)=a2+1-a2-a+2=3-a,当a>3时,3-a<0,a2+1<(a-1)(a+2),当a=3时,3-a=0,a2+1=(a- 1)(a+2),当0<a<3时,3-a>0,a2+1>(a-1)(a+2),故A错误;易知B错误;对于C,(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1) (1-b2)≤0,故|a-b|≤|1-ab|,故C正确;对于D,易得 - = ,由a>b>0,得b-a<0,但无法判断ab -1的符号,所以 > 不一定成立,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.(1)已知A=a2-2b+ ,B=b2-2c+ ,C=c2-2a+ ,其中a,b,c为实数,求证:A,B,C中至少有一个为正数; (2)求证:a4-b4≤4a3(a-b). 证明    (1)(反证法)假设A,B,C中没有正数,即A≤0,B≤0,C≤0,则A+B+C≤0. 而A+B+C=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+π-3>0, 这与假设矛盾,故假设错误,原命题正确. (2)a4-b4-4a3(a-b) =(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)] =(a-b)[a2(b-a)+a(b-a)(b+a)+(b-a)(a2+ab+b2)] 第1讲　描述运动的基本概念 =-(a-b)2(3a2+2ab+b2) =-(a-b)2[2a2+(a+b)2], ∵(a-b)2≥0,2a2+(a+b)2≥0, ∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]≤0, ∴a4-b4≤4a3(a-b)(当且仅当a=b时取等号). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　不等式的性质及其应用 4.[2026安徽皖中名校联盟期中]有以下说法:①若a>b,d>c,且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则b<c<d<a;② 若a>b>0,则a+ >b+ ;③若a>b>-c>0,则ab>c2;④若0<a+b<2,2<a-b<4,则2<3a+b<8.其中正确的个数是  ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于①,由a>b,且(c-a)(c-b)<0,得c-a<0,c-b>0,即b<c<a,∵(d-a)(d-b)>0,且d>c>b,∴d>a,∴d>a>c>b, 故①错误; 对于②,取a= ,b= ,满足a>b>0,但是a+ = +2= ,b+ = +3= ,∴a+ <b+ ,故②错误; 对于③,∵a>b>-c>0,∴ab>b2,b2>c2,∴ab>c2,故③正确; 对于④,易得3a+b=2(a+b)+(a-b), ∵0<a+b<2,∴0<2(a+b)<4,又2<a-b<4,∴2<2(a+b)+(a-b)<8,即2<3a+b<8,故④正确. 综上,正确的个数为2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025江西赣州十八县二十四校期中]使a-b>3c成立的一个充分条件可以是 ( ) A.a>c且b<-2c　　    B.a>2c且b>-c C.a>2c且b<-c　　    D.a>3c且b>2c     AC     解析　对于A,若b<-2c,则-b>2c,又a>c,所以a-b>3c,故A正确; 对于B,不妨取a=1,b=2,c=0,则a-b=-1<0,即a-b<3c,故B错误; 对于C,若b<-c,则-b>c,又a>2c,所以a-b>3c,故C正确; 对于D,不妨取a=1,b=2,c=0,则a-b=-1<0,即a-b<3c,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026福建厦门第六中学月考]若-3≤2a+b≤4,-1≤a-b≤2,则a+5b的取值范围是________________. 　-12≤a+5b≤11     解析　易得a+5b=2(2a+b)-3(a-b), 因为-3≤2a+b≤4,-1≤a-b≤2, 所以-6≤2(2a+b)≤8,-6≤-3(a-b)≤3,所以-12≤2(2a+b)-3(a-b)≤11,即-12≤a+5b≤11. 解题模板　利用不等式的性质求代数式的取值范围的方法:用已知式表示待求式,然后把已知范围整体 代入计算. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　不等关系的迁移应用 7.[2026山西临汾一中月考]已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m克糖(m>0)(假设全部溶解), 糖水变甜了. (1)将这个事实表示为一个不等式,并证明; (2)比较M= ,N= 的大小; (3)设x>0,y>0,z>0,证明:1< + + <2. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意,可得不等式 < (m>0,b>a>0). 证明: - = = , 由b>a>0,m>0,可得a-b<0,b+m>0, 所以 - <0,即 < . (2)由M= = ,N= 及(1)中的结论,可得 > ,即M>N. (3)证明:由x>0,y>0,z>0及(1)中的结论,可得 < , < , < , 所以 + + < + + =2①. 因为 = =1- , =1- , =1- , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 + + =3- , 由上述结论,可得 + + <2, 所以 + + >1②. 综合①②,得1< + + <2. 名师点睛　糖水不等式:若b>a>0,m>0,则 > ,可快速解决一类分式的比较大小问题,注意分母大于 分子,糖水不等式的倒数形式: > . 第1讲　描述运动的基本概念 $