2.1.3 方程组的解集（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

2．1.3　方程组的解集 学业标准 素养目标 1．会解二元一次方程组和三元一次方程组．(重点) 2．掌握二元二次方程组的解法．(难点) 3．能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．(难点) 1．通过解方程组培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． 2．通过利用方程组解决实际问题，培养学生数学抽象、数学建模等核心素养． [对应学生用书P37] 导学　方程组的解集 如果有一方程组为 那么适合方程①吗？适合方程②吗？ [提示]　均适合，并且{(x，y)|x＝8，y＝11}为两方程解集的交集． 如何求方程组的解集呢？三元一次方程组呢？ [提示]　可以通过消元法求解． ◎结论形成 1．方程组的解集 将多个方程联立，就能得到__方程组__．方程组中，由每个方程的解集得到的__交集__称为方程组的解集，求方程组解集常用的方法是__消元法__． 2．方程组的解集是无限集时的表示方法 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． [对应学生用书P37] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程组的解集为{2，1}．(　　) (2)方程组的解集是有限集．(　　) (3)方程组的一个解是(　　) (4)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．求方程组的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取(　　) A．先消去x　　　 B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 解析　根据系数特点，先消去y最简便，故选B. 答案　B 3．方程组的解集是(　　) A．{x＝0，y＝1} B．{0，1} C．{(0，1)} D．{x＝0或y＝1} 解析　由得 ∴方程组的解集为{(0，1)}． 答案　C 4．若关于x，y的方程组的解集为{(3，－b)}，则a＝________． 解析　∵方程组的解集为{(3，－b)}，∴∴ 答案　－ [对应学生用书P38]题型一　二元一次方程组的解集及应用一题多解 (1)求方程组的解集． (2)医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ [解析]　(1)方程组 法一(代入法)　由②得y＝4x－5，③ 把③代入①得2x＋3(4x－5)＝－1，解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{(1，－1)}． 法二(加减法)　①×2－②得y＝－1，代入②得x＝1， 所以这个方程组的解集为{(1，－1)}． (2)设每餐甲、乙两种原料各需x g，y g，则有下表： 甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品 其中所含蛋白质 0.5x单位 0.7y单位 (0.5x＋0.7y)单位 其中所含铁质 x单位 0.4y单位 (x＋0.4y)单位 根据题意及上述表格，可列方程组可得 ①－②，得y＝30，把y＝30代入②中，得x＝28. 答：每餐需甲种原料28 g，乙种原料30 g． (1)求二元一次方程组的解集常常利用消元的思想，消元的方法有代入消元法与加减消元法． (2)用二元一次方程组解决实际问题的步骤： ①审题：弄清题意和题目中的数量关系； ②设元：用字母表示题目中的未知数； ③列方程组：根据两个等量关系列出方程组； ④解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值； ⑤检验并作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答． [触类旁通] 1．(1)若x，y满足方程组则x＋y的值是(　　) A．5　　　　　　　 B．－1 C．0 D．1 (2)小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元，小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买2本数学书和1本语文书要花(　　) A．25元 B．30元 C．35元 D．45元 解析　(1) 法一　②×2－①，得3y＝9，解得y＝3.把y＝3代入②，得x＝2.所以x＋y＝2＋3＝5. 法二　由①＋②，得3x＋3y＝15.化简，得x＋y＝5. (2)设1本数学书的价格为x元，1本语文书的价格为y元， 根据题意，得解得 2x＋y＝2×10＋15＝35，即买2本数学书和1本语文书要花35元，故选C. 答案　(1)A　(2)C 题型二　三元一次方程组的解集 　解方程组 [解析]　①＋②得x－z＝2，④ ③－②得x＋4z＝7，⑤ 由④⑤得 把x＝3，z＝1代入③得y＝8. ∴原方程组的解集是{(3，8，1)}． 解三元一次方程组，首先将系数较为简单的未知数消去，将“三元”转化为“二元”，再解二元一次方程组即可；或根据各未知数系数的特点，直接将方程相加(减)进行简便运算． [触类旁通] 2．解方程组 解析　①－②×2，得5y－3z＝8，④ ③－②，得3y－3z＝6，⑤ 由④⑤组成二元一次方程组 解这个二元一次方程组，得 把y＝1，z＝－1代入②，得x＝2， 所以原方程组的解集为{(2，1，－1)}． 题型三　二元二次方程组的解集 　求方程组的解集． [解析]　已知方程组 由①得x2－y2－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0⇒(x＋y)(x－y－5)＝0， ∴x＋y＝0或x－y－5＝0， ∴原方程组可化为两个方程组或 解这两个方程组，得原方程组的解集是 {(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}． [素养聚焦]　逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．对形如的方程组可用代入法． 2．对形如 的方程组可通过“降次”转化为1中的形式求解． [触类旁通] 3．解方程组 解析　已知 由方程②，得y＝1－x，③ 把方程③代入方程①，得x2＋(1－x)2＝1. 整理，得x2－x＝0.解得x1＝0，x2＝1. 把x1＝0代入方程③，得y1＝1； 把x2＝1代入方程③，得y2＝0. 原方程组的解是或 即其解集为{(0，1)，(1，0)}． 知识落实 技法强化 (1)求一次方程组的解集． (2)求二元二次方程组的解集． (3)一次方程组的实际应用． (1)消元的方法主要有：加减消元法、代入消元法，整体消元法． (2)降次的方法主要是因式分解，将“ab＝0”转化为“a＝0或b＝0”． 学科网（北京）股份有限公司 $$