2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学业标准 素养目标 1．了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集． 2．掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用．(重点) 3．理解一元二次方程根与系数的关系．(难点) 1．通过解一元二次方程培养学生数学运算、逻辑推理等核心素养． 2．通过根与系数的关系的应用，培养学生逻辑推理等核心素养． [对应学生用书P33] 导学1　一元二次方程的概念及解法 对于方程x2－8x－20＝0，除了通过分解因式求解外，是否有其他的方法求解呢？ [提示]　可以通过配方法求解．方程x2－8x－20＝0可化为(x－4)2＝36，开方得x－4＝6或x－4＝－6，即x＝10或－2. ◎结论形成 1．一元二次方程的概念和解集 定义 形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0 一元二次方程的解集 判别式的符号 解集 Δ＝b2－4ac＞0 ____ Δ＝b2－4ac＝0 Δ＝b2－4ac＜0 ∅ 2．一元二次方程的解法 直接开 平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边__开平方__，转化为两个一元一次方程，形如(x－k)2＝t(t<0)的方程，解集为__∅__ 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过__配方__化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用__直接开平方法__求解 因式 分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个__一次因式__的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝__－m__，x2＝__－n__ 导学2 一元二次方程的根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根时，你能找到两根之和、两根之积与方程系数的关系吗？ [提示]　由x1＝，x2＝知， x1＋x2＝＋＝－， x1x2＝×＝. ◎结论形成 　一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. [对应学生用书P34] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)关于x的方程ax＝2的解为x＝.(　　) (2)关于x的方程x2＝t的解为x＝±.(　　) (3)关于x的方程a2x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根．(　　) (4)若x1，x2是方程x2－2x－3＝0的两根，则x1x2＝－2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)用配方法解下列方程时，配方正确的是(　　) A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100 B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25 C．2t2－7t－4＝0化为＝ D．3y2－4y－2＝0化为＝ 解析　选项B，x2＋8x＋9＝0配方应为(x＋4)2＝7.其余选项正确． 答案　ACD 3．关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为________． 解析　∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即(－2)2－4(m－1)＝0，解得m＝2. 答案　2 4．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为________． 解析　把x＝2代入kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0得4k＋2k2－4＋2k＋4＝0，整理得k2＋3k＝0，解得k1＝0，k2＝－3，因为k≠0，所以k的值为－3. 答案　－3 [对应学生用书P34] 题型一　解一元二次方程题点多探　多维探究 角度1　用配方法解一元二次方程 　利用配方法解方程2x2－4x－30＝0. [解析]　∵2x2－4x－30＝0，∴2x2－4x＋2＝32，∴x2－2x＋1＝16， ∴(x－1)2＝42，∴x1＝5，x2＝－3. 用配方法解一元二次方程的步骤 (1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数． (2)移项：把常数项移到方程的右边． (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式． (4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程． (5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． [触类旁通] 1．用配方法解方程2x2－5＋x＝0. 解析　移项，得2x2＋x＝5，二次项系数化为1，得x2＋x＝. 配方，得x2＋x＋＝＋. ∴＝.∴x＋＝±. ∴x1＝，x2＝， ∴原一元二次方程的解集是. 角度2　用公式法解一元二次方程 　用公式法解方程5x2－3x＝x＋1. [解析]　原方程可化为5x2－4x－1＝0， 所以a＝5，b＝－4，c＝－1， Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0， 所以方程有两个不相等的实根， x＝＝＝， 即x1＝1，x2＝－. 用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值． (2)求出b2－4ac的值． (3)若b2－4ac≥0，将a，b，c的值代入求根公式计算，得出方程的解；若b2－4ac＜0，则方程无实根. [触类旁通] 2．用公式法解方程x2＋4x＋6＝0. 解析　因为a＝，b＝4，c＝6，所以Δ＝b2－4ac＝(4)2－4××6＝0， 所以x＝＝＝－， 即x1＝x2＝－. 题型二　一元二次方程判别式的应用 　已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的取值范围． (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根． [解析]　Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k). (1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<. 所以k的取值范围为. (2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝. 所以k的取值范围为. 一元二次方程的根的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系． [触类旁通] 3．试证明：不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根． 证明　∵Δ＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1>0， ∴不论m为何值时，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根． 题型三　一元二次方程根与系数的关系一题多变 　已知一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值： (1)x＋x； (2)|x1－x2|(x1＋x2). [解析]　由一元二次方程根与系数的关系， 得x1＋x2＝－2，x1x2＝－1. (1)x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)＝(－2)·[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－2)[(－2)2－3×(－1)]＝－14. (2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×(－1)＝8. 所以|x1－x2|＝＝2， 所以|x1－x2|(x1＋x2)＝2×(－2)＝－4. [母题变式] (变条件)本例方程改为“x2＋2x－3＝0”，则结果如何？ 解析　x2＋2x－3＝0可化为(x＋3)(x－1)＝0，∴x1＝－3，x2＝1. 分别代入(1)(2)可得(1)x＋x＝－27＋1＝－26. (2)|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8. [素养聚焦]　在根与系数关系的应用过程中，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值． [触类旁通] 4．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)当x＋x＝6x1x2时，求m的值． 解析　(1)由Δ＝(－2)2－4(m－1)＝－4(m－2)≥0，得m≤2，即m的取值范围是(－∞，2]. (2)由根与系数的关系，得 ∵x＋x＝6x1x2，∴(x1＋x2)2＝8x1x2， 即22＝8(m－1)，解得m＝. ∵<2，∴m的值为. [缜密思维提能区]　易错案例 整体代入法求代数式的值 【典例】　若a是方程x2＋x－2 024＝0的一个实数根，则2a2＋2a－7的值是________． [解析]　 ∵a是方程x2＋x－2 024＝0的根， ∴a2＋a－2 024＝0， 即a2＋a＝2 024. ∴2a2＋2a－7＝2×2 024－7＝4 041. [答案]　4 041 [纠错心得]　根据一元二次方程解的定义得到a2＋a＝2 024，然后利用整体代入法计算即可，而不需求出方程的根． 知识落实 技法强化 (1)配方法求一元二次方程的解． (2)一元二次方程判别式的应用． (3)一元二次方程根与系数的关系． (1)判别式Δ≥0是运用根与系数的关系的前提． (2)运用根与系数的关系求值、化简、求参数的值(范围)时，一般要注意恒等变形和整体代入． 学科网（北京）股份有限公司 $$