01-2.1.1 等式的性质与方程的解集-2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等式的性质、因式分解、方程解集及一元二次方程根与系数关系，通过从基础性质辨析到综合应用的题组设计，搭建从概念理解到问题解决的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于题组分层递进，融合教材改编与月考真题，通过推理运算（如韦达定理化简代数式）和创新探究（如含参方程参数范围），培养数学思维与应用意识。学生能提升解题能力，教师可高效开展分层教学。

第二章 等式与不等式 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　等式的性质与恒等式 1.根据等式的性质,下列说法错误的是 ( ) A.若x=y,则x-5=y-5　　     B.若(m+1)x=m+1,则x=1 C.若(a2+1)x=5,则x= 　　     D.若a=b,则am=bm     B     解析　易得A中说法正确;对于B,当m+1=0时,x可取任意值,故B中说法错误;对于C,易知a2+1>0,等式两边 同时除以a2+1,得x= ,故C中说法正确;对于D,等式两边同时乘m,等式成立,故D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南新乡河南师范大学附属中学期中]若等式x2-10x-7=a(x+1)2+b(x+1)+c恒成立,则a+b+c的值为 _______. 　-7     解析    解法一:因为x2-10x-7=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c),所以a+b+c=-7. 解法二:令x=0,得-7=a+b+c. 第1讲　描述运动的基本概念 3.(1)化简:(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1); (2)已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求a2+b2+c2的值. 解析    (1)原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1) =(x3+1)(x3-1)=x6-1. (2)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=42-2×4=8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　因式分解 4.如果要在二次三项式x2+(　    )x-6的括号中填上一个整数,使它能按恒等式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分 解因式,那么这个整数可以是 ( ) A.1,-1,-2,3　　    B.5,-5,3,-2 C.1,-1,5,-5　　    D.以上都不对     C     解析　-6可以分解成-2×3,2×(-3),-1×6,1×(-6),括号中填上的整数应该是-6的两个因数的和,即1,-1,5,-5. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知n是正整数,则下列各数中一定能整除(2n+3)2-25的是 ( ) A.6　　    B.3　　    C.4　　    D.5     C     解析    (2n+3)2-25=[(2n+3)+5][(2n+3)-5]=(2n+8)(2n-2)=4(n+4)(n-1), ∴(2n+3)2-25一定能被4整除. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编]分解因式: (1)x2-2x-15; (2)(a2+1)2-4a2; (3)12x2-5xy-2y2; (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12. 解析    (1)x2-2x-15=(x-5)(x+3). (2)(a2+1)2-4a2=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a-1)2. (3)12x2-5xy-2y2=(3x-2y)(4x+y). (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+x-2) =(x+3)(x-2)(x+2)(x-1). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　方程的解集 7.方程(x+3)(x-3)=3(x+3)的解集是 ( ) A.{3}　　     B.{6} C.{-3,6}　　    D.{-6,3}     C     解析　原方程可化为(x+3)(x-3)-3(x+3)=0,即(x+3)(x-3-3)=0,所以x+3=0或x-3-3=0,解得x1=-3,x2=6. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025河南洛阳月考]已知集合A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3},当A={2}时,集合B=  ( ) A.{1} 　　    B.{1,2}　　    C.{2,5}　　    D.{1,5}     D 解析　由A={x|x2+px+q=x}={2}知,22+2p+q=2,且Δ=(p-1)2-4q=0,所以p=-3,q=4,则(x-1)2+p(x-1)+q=x+3可化 为(x-1)2-3(x-1)+4=x+3,即(x-1)2-4(x-1)=0,即(x-1)(x-1-4)=0,解得x=1或x=5,所以集合B={1,5}. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026河北沧州泊头第一中学月考]设集合A={x|x2-8x+12=0},B={x|ax-1=0},若A∪B=A,则实数 a的值可以是 ( ) A.0　　    B. 　　    C. 　　    D.2     ABC     解析　集合A={x|x2-8x+12=0}={x|(x-2)(x-6)=0}={2,6}.因为A∪B=A,所以B⊆A. 当a=0时,B=⌀,符合题意; 当a≠0时,B= ,所以 =2或 =6,解得a= 或a= . 综上所述,a=0或a= 或a= . 第1讲　描述运动的基本概念 10.求下列关于x的方程的解集: (1)ax=-x+1; (2)x2-6x+9=0; (3)x3-x=0; (4) - -4=0; (5) =x+1. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由ax=-x+1,得(a+1)x=1. 当a≠-1时,x= ,方程的解集为 ; 当a=-1时,方程的解集为⌀. (2)由x2-6x+9=0,得(x-3)2=0,故x1=x2=3,方程的解集为{3}. (3)由x3-x=0,得x(x+1)(x-1)=0,故x1=-1,x2=0,x3=1,方程的解集为{-1,0,1}. (4)设 =y,则原方程变形为y2-3y-4=0, 即(y+1)(y-4)=0,解得y1=4,y2=-1. 当y=-1时, =-1,去分母,得x2=-x+1,即x2+x-1=0,解得x1= ,x2= . 当y=4时, =4,去分母,得x2=4x-4,即x2-4x+4=0,解得x3=x4=2. 第1讲　描述运动的基本概念 检验,把x= , ,2分别代入原方程,成立,所以 , ,2都是原方程的解, 故方程的解集为 . (5) =x+1两边平方,得x+7=x2+2x+1, 移项,合并同类项,得x2+x-6=0,即(x+3)(x-2)=0,解得x1=-3,x2=2. 检验,把x=-3代入原方程,左边= =2,右边=-2,故x=-3舍去; 把x=2代入原方程,左边= =3,右边=3,所以x=2是原方程的解.故方程的解集为{2}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　一元二次方程根与系数的关系 11.[2026江苏南京第二十九中学调研]已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个不相等的实数根,并且 这两个根的平方的和比两个根的积大21,则实数m的值是 ( ) A.17　　     B.-1　　     C.17或-1　　    D.-17或1     B     解析　因为方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(m-2)2-4(m2+4)>0,解得m<0. 设方程x2+2(m-2)x+m2+4=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,则x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2+4, 则 + -x1x2=21,即(x1+x2)2-3x1x2=4(m-2)2-3(m2+4)=m2-16m+4=21,解得m=-1或m=17,又m<0,所以m=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025江苏盐城月考]若实数a≠b,且a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则代数式 + 的值是  ( ) A.-20　　     B.2 C.2或-20　　    D.2或20     A 解析　由题意得,a,b是方程x2-8x+5=0的两个实数根,易知Δ>0,所以a+b=8,ab=5, ∴ + =  = = =-20. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[多选题][2025广东东莞五校联考]已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是 ( ) A.m∈(1,+∞)是方程x2+(m-3)x+m=0无实数根的一个必要条件 B.方程x2+(m-3)x+m=0有一正实根和一负实根的充要条件是m∈(-∞,0) C.方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实数根的充要条件是m∈(0,1] D.方程x2+(m-3)x+m=0有实数根的充要条件是m∈(-∞,1)∪(9,+∞)     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,原方程无实数根的充要条件是Δ=(m-3)2-4m<0,解得m∈(1,9), 又(1,9)⊆(1,+∞),所以m∈(1,+∞)是原方程无实数根的一个必要条件,故A正确; 对于B,原方程有一正实根和一负实根的充要条件是 解得m∈(-∞,0),故B正确; 对于C,原方程有两个正实数根的充要条件是 解得m∈(0,1],故C正确; 对于D,原方程有实数根的充要条件是Δ=(m-3)2-4m≥0,解得m∈(-∞,1]∪[9,+∞),故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025浙江嘉兴月考]设x1,x2是方程x2+px+q=0的两实根,x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根, 则p+q=_______. 　-4     解析　因为x1,x2是方程x2+px+q=0的两实根,所以x1+x2=-p,x1x2=q, 因为x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根,所以(x1+1)+(x2+1)=-q,(x1+1)(x2+1)=p, 所以x1+x2=-q-2,x1x2+x1+x2=p-1, 所以 解得  经验证, 所以 所以p+q=-4. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025福建宁德月考]已知m∈R,关于x的方程x2-6x+4m+1=0的两个实数根分别为x1,x2,且|x1-x2|=4,则 x 2+x1 =__________.     30     解析　由题意知,x1+x2=6,x1x2=4m+1,易知x1≠x2,则Δ=36-4(4m+1)>0,解得m<2, 所以|x1-x2|= = =4,解得m=1,所以x1x2=5, 所以 x2+x1 =x1x2(x1+x2)=5×6=30. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026四川遂宁射洪中学校月考]已知关于x的方程3mx2+3px+4q=0(其中m,p,q均为实数)有两个不相 等的实数根x1,x2(x1<x2). (1)若p=q=1,求m的取值范围; (2)若x1,x2为两个整数根,p为整数,且m=- ,q= ,求x1,x2; (3)若x1,x2满足 + =x1x2+1,且m=1,求p的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)若p=q=1,则方程为3mx2+3x+4=0, 若方程3mx2+3x+4=0有两个不相等的实数根, 则 解得m< 且m≠0, ∴m的取值范围是(-∞,0)∪  . (2)由题意得m≠0,且  因为m=- ,q= ,所以x1+x2=3,x1x2= =1- , ∵x1,x2,p均为整数,∴p=-1或p=1, 当p=-1时,x1x2=2,又x1+x2=3且x1<x2,∴x1=1,x2=2; 第1讲　描述运动的基本概念 当p=1时,x1x2=0,又x1+x2=3且x1<x2,∴x1=0,x2=3. 综上,x1=1,x2=2或x1=0,x2=3. (3)若m=1,则方程为3x2+3px+4q=0,Δ=9p2-48q>0, 则 又 + =x1x2+1,即(x1+x2)2-2x1x2=x1x2+1,∴(-p)2-2× = +1,即4q=p2-1, ∴Δ=9p2-48q=9p2-12(p2-1)>0,解得-2<p<2, ∴p的取值范围是(-2,2). 第1讲　描述运动的基本概念 $