第1章 集合与常用逻辑用语 章末整合提升1（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

[对应学生用书P27] [对应学生用书P27] (一)集合的概念与运算　题点多探　多维探究 根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决．在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体．要注意作图准确，分类全面． 角度1　集合的概念与运算 [题组训练1] 1．设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　) A．4　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析　∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，故选C. 答案　C 2．已知M＝{－1，0，1}，N＝{x|x⊆M}，则以下结论正确的是(　　) A．M∈N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝M 解析　由x⊆M知x为集合M的子集， 即x可取元素为∅，{－1}，{1}，{0}，{－1，1}，{－1，0}，{0，1}，{－1，0，1}， 所以M＝{－1，0，1}是集合N的一个元素， 即M∈N，故选A. 答案　A 3．(2023·全国乙卷)设全集U＝，集合M＝，N＝，则M∪∁UN＝(　　) A．{0，2，4，6，8} B． C． D．U 解析　由题意可得∁UN＝，则M∪∁UN＝. 故选A. 答案　A 4．设集合M＝{x|－1≤x<5}，N＝{x||x|≤3}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<5} B．{x|－3≤x<5} C．{x|－1≤x≤3} D．{x|－3≤x≤3} 解析　N＝{x|－3≤x≤3}，所以M∪N＝{x|－3≤x<5}． 答案　B 5．如图，已知集合U＝{－1，0，1，2，3，4，5}，M＝{2，3，4}，N＝{－1，0，1，2，3}，则阴影部分表示的集合为(　　) A．{－1，0} B．{－1，0，1} C．{4，5} D．{5} 解析　由题意，阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)， 由于∁UM＝{－1，0，1，5}， 故N∩(∁UM)＝{－1，0，1}． 答案　B 角度2　根据集合的关系或运算求参数 　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ [解析]　 (1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x＜0或x＞2}． ∵(∁RA)∪B＝R.∴∴－1≤a≤0. ∴a的取值范围[－1，0]. (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3. ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾． 即这样的a不存在． (二)充分条件与必要条件　题点多探　多维探究 若p⇒q，且qD/⇒p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 角度1　充分、必要条件的判断 [题组训练2] 1．“x>2”是“x≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件． 解析　由“x>2”可推出“x≥2”，但“x≥2”不能推出“x>2”，故“x>2”是“x≥2”的充分不必要条件． 答案　A 2．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由名言，可得大意为如果不“积跬步”，便不能“至千里”，其逆否命题为若要“至千里”，则必要“积跬步”，另一方面，只要“积跬步”就一定能“至千里”吗，不一定成立，所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件． 答案　B 3．“2x2－5x－3<0”的一个充分不必要条件是(　　) A．－<x<3 B．－<x<4 C．－3<x< D．1≤x<2 解析　由2x2－5x－3<0可得(2x＋1)(x－3)<0，解得－<x<3， 则不等式的解集为A＝， 因此，不等式2x2－5x－3<0成立的一个充分不必要条件，对应的x范围应该是集合A的真子集，故选项D满足，故选D. 答案　D 4．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立； 由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立； 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． 故选B. 答案　B 5．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0， 所以x＝y， 所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立． 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2， 所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0. 所以必要性成立． 所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．故选C. 答案　C 角度2　根据充分、必要条件求参数 　设p：实数x满足集合A＝{x|3a<x<a，a<0}，q：实数x满足集合B＝{x|x<－4或x≥－2}，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． [解析]　∵p是q的充分不必要条件，∴AB， ∴或 解得－≤a<0或a≤－4. ∴. (三)全称量词与存在量词　题点多探　多维探究 全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． 角度1　全称量词命题与存在量词命题的否定与真假判断 [题组训练3] 1．命题“∀x∈R，x＋2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x＋2<0 B．∃x∈R，x＋2≥0 C．∀x∈R，x＋2>0 D．∃x∈R，x＋2<0 解析　由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为∃x∈R，x＋2<0. 答案　D 2．命题“∃x∈R，x2－4x＋3<0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－4x＋3<0 B．∃x∈R，x2－4x＋3>0 C．∀x∈R，x2－4x＋3≥0 D．∃x∈R，x2－4x＋3≥0 解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 命题“∃x∈R，x2－4x＋3<0”是存在量词命题， 所以命题“∃x∈R，x2－4x＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2－4x＋3≥0”． 答案　C 3．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，2x2－3x＋4>0 B．∀x∈{－1，1，0}，x2>0 C．∃x∈N，使≤x D．∃x∈N＋，使x3<1. 解析　2x2－3x＋4＝2＋>0，故A正确； 当x＝0时，x2＝0，所以B错误； 当x＝1，满足≤x，所以C正确； 当x3<1⇒x<1，故不存在x∈N＋，使x3<1，故D错误，故选AC. 答案　AC 4．(多选)下列命题是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．所有的二次函数的图象都是轴对称图形 B．平行四边形的对角线相等 C．有些实数是无限不循环小数 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 解析　对于选项A：所有的二次函数图象都是抛物线，图象关于对称轴对称，故A是真命题； 对于选项B：平行四边形的对角线不一定相等，故B是假命题； 对于选项C：不是全称量词命题； 对于选项D：由线段垂直平分线的性质可知D是真命题，故选AD. 答案　AD 角度2　根据命题的真假求参数 　已知命题p：∀x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，若p为真命题，求实数a的取值范围． [解析]　设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|1－a<x<3a＋1}， 由题意知，A⊆B，则有解得a≥3. 故实数a的取值范围为{a|a≥3}． [对应学生用书P29] 充分必要条件的应用 [典例]　已知p：x>10或x<－2，q：x>1＋m或x<1－m，m>0.若p是q的充分不必要条件，求正数m的取值范围． [解析]　由题意，得p：A＝{x|x>10或x<－2}， q：B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}． 因为p是q的充分不必要条件，所以AB. 于是有或 解得0<m≤3.所以正数m的取值范围是(0，3]. [纠错心得]　(1)解答本题易出现两处错误：第一处，易解为m≤3，原因是忽略了条件m为正数；第二处，忽视了等号不能同时取得，导致由AB列出的不等式组错误． (2)p，q化简要准确无误，注意充分不必要条件与充要条件的区别． [对应学生用书P29] 已知集合间的关系求参数的值 [典例]　(13分)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}． (1)当m＝－1时，求A∪B； (2)若A⊆B，求实数m的取值范围． [审题指导]　(1)通过数轴直接求A∪B； (2)通过A⊆B，列不等式组求解． [规范解答]　 (1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}， A∪B＝{x|－2＜x＜3}①.(4分) (2)由A⊆B，知 解得m≤－2， 即实数m的取值范围为 {m|m≤－2}．(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$