1.1.3 第2课时 补集（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

第2课时　补集 [对应学生用书P14] 导学　补集 如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？ [提示]　集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系． ◎结论形成 1．全集 (1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集． (2)记法：全集通常记作__U__． 2．补集 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中__不属于A__的所有元素组成的集合称为A在U中的补集，记作__∁UA__，读作：__A在U中的补集__ 符号语言 ∁UA＝__{x|x∈U且x∉A}__ 图形语言 3．补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A，有 (1)A∪(∁UA)＝__U__． (2)A∩(∁UA)＝__∅__． (3)∁U(∁UA)＝__A__． [对应学生用书P14] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全集一定含有任何元素．(　　) (2)集合∁RA＝∁QA.(　　) (3)一个集合的补集一定含有元素．(　　) (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必具其一.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝(　　) A．{0}　　　　　　　 B．{1} C．∅ D．{0，1} 解析　∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1}，故选D. 答案　D 3．设全集为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U＝(　　) A．{0，2，4，6} B．{0，2，4} C．{6} D．∅ 解析　∵M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，∴U＝M∪∁UM＝{0，2，4，6}，故选A. 答案　A 4．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________． 解析　∵A＝{x|x>1}，∴∁RA＝{x|x≤1}． 答案　{x|x≤1} [对应学生用书P14] 题型一　补集的运算一题多解 (1)若区间U＝[－2，2]，则A＝[－2，0]的补集∁UA为(　　) A．(0，2)　　　　　　 B．[0，2) C．(0，2] D．[0，2] (2)设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝________，∁UB＝________． [解析]　(1)借助数轴易得∁UA＝(0，2]. (2)法一　在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5， 所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}． 又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，所以∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}． 法二　可用维恩图表示． 则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}． [答案]　(1)C　(2){－5，－4，3，4}　{－5，－4，5} 求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点是否包含． [触类旁通] 1．(1)设集合U＝R，M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，则∁UM＝(　　) A．[－2，2] B．(－2，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________． 解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M， 可知∁UM＝[－2，2]. (2)由题意可知解得a＝2. 答案　(1)A　(2)2 题型二　交集、并集、补集的综合运算 　(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝，N＝，则＝(　　) A．∁U B．N∪∁UM C．∁U D．M∪∁UN [解析]　由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可． 由题意可得M∪N＝， 则∁U＝，选项A正确； ∁UM＝，则N∪∁UM＝，选项B错误； M∩N＝，则∁U＝或，选项C错误； ∁UN＝或，则M∪∁UN＝或，选项D错误； 故选A. [答案]　A 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． [触类旁通] 2．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5} 解析　因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以∁UM＝{2，3，5}， 又N＝{2，5}，所以N∪∁UM＝{2，3，5}， 故选A. 答案　A 题型三　与补集有关的参数范围问题一题多解　一题多变 　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． [解析]　法一(直接法)　由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，结合数轴： 所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是[2，＋∞). 法二(集合间的关系)　由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A， 又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴，得－m≤－2，即m≥2. [母题变式] (变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解析　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA)，所以－m≥4，解得m≤－4. 所以m的取值范围为{m|m≤－4}． [素养聚焦]　利用集合的交、并、补运算，把直观想象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合相关知识求解． (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴法分析求解. [触类旁通] 3．设全集U＝，集合A＝，∁UA＝{2}，则a＝________． 解析　由∁UA＝{2}，U＝可知A＝，即＝. 故当a≥0时，a2＋a－3＝a⇒a＝，当a<0时，a2＋a－3＝－a即 a2＋2a－3＝0⇒(a－1)(a＋3)＝0，故a＝－3.不满足|a|≠2，3.故a＝. 答案　 知识落实 技法强化 (1)全集和补集的概念及运算． (2)交、并、补集的混合运算． (3)与补集有关的参数范围的求解． (1)学习本节课要注意正难则反的补集思想、数形结合的思想方法． (2)求补集时易忽视全集，运算时注意端点的取舍． 学科网（北京）股份有限公司 $$