1.1.2 集合的基本关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

1．1.2　集合的基本关系 学业标准 素养目标 1．理解集合之间包含与相等的含义，会求一些给定集合的子集． 2．能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义．(重点) 3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集．(重点、难点) 1．通过情景得出集合间的关系，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过判断集合间的关系，培养学生逻辑推理、直观想象等核心素养． [对应学生用书P8] 导学1　子集 已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素吗？ [提示]　是 如果B＝{2，3，4}呢？ [提示]　不是． ◎结论形成 1．子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的__子集__，记作__A⊆B__或__B⊇A__，读作__“A包含于B”(或“B包含A”)__．如果A不是B的子集，则记作__AB(或BA)__，读作__“A不包含于B”(或“B不包含A”)__． 2．性质 (1)任何一个集合是它自身的子集，即__A⊆A__． (2)若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C. (3)__∅⊆A__，即空集是任意一个集合的子集． 导学2　真子集 已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}．集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合B中是否有元素不在集合A呢？ [提示]　B中有元素3，3∉A. ◎结论形成 1．真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素__不属于__A，那么集合A称为集合B的__真子集__，记作__AB__或__BA__，读作__A真包含于B__或__B真包含A__． 2．性质 (1)若A≠∅，则∅A，即空集是任何非空集合的真子集． (2)若AB，且BC，则AC. 导学3　集合的相等及子集的关系 已知集合A＝{x|x＜3且x∈N}，B＝{0，1，2}，则A是B的子集吗？B也是A的子集吗？ [提示]　A⊆B，同时B⊆A. ◎结论形成 1．集合相等 组成S的元素与组成T的元素完全相同，即__S＝T__，另外，由子集的定义可知S⊆T且__T⊆S__． 2．等价表示 (1)如果A⊆B且B⊆A，则__A＝B__． (2)如果A＝B，则__A⊆B且B⊆A__． [对应学生用书P9] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　) (2)任何一个集合都有子集．(　　) (3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.(　　) (4)空集是任何集合的真子集．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为(　　) A．5　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 解析　集合N的真子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个． 答案　C 3．(多选)集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则P与T的关系为(　　) A．P⊆T B．T⊇P C．P＝T D．PT 解析　集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}， ∴P⊆T，或者写成T⊇P或PT. 答案　ABD 4．下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是(　　) 解析　由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}． ∵M＝{－1，0，1}，∴NM. 答案　B [对应学生用书P9] 题型一　集合间的关系 指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝(－1，4)，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． [解析]　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. 1．判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或维恩图． 2．证明A＝B，只需证明A⊆B且B⊆A. 3．证明集合间的包含关系，一般用定义． [触类旁通] 1．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是(　　) A．M⊆P　　　　　 B．P⊆M C．M＝P D．M，P互不包含 解析　因为集合M为函数y2＝2x中x的取值集合，为数集，而P为曲线y2＝2x，为点集，因此，M与P互不包含． 答案　D 题型二　子集与真子集的个数 　(1)集合{a，b，c}的所有子集为__________，其中它的真子集有________个． (2)写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P. (1)[解析]　集合{a，b，c}的子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个． [答案]　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7 (2)[解析]　由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合， 因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}． 求给定集合的子集的两个注意点 (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写． (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. [触类旁通] 2．集合M＝{x∈N|－2＜x≤3}的真子集个数为(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 解析　集合M中共有0，1，2，3四个元素，真子集的个数是24－1＝15. 答案　C 题型三　利用集合的关系求参数一题多变 　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． [解析]　①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠∅时，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． [母题变式] (变条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 解析　①当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠∅时，如图所示． ∴解得即2≤m<3， 综上可得，m的取值范围是{m|m<3}． [素养聚焦]　利用集合间的关系，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． [触类旁通] 3．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 解析　A⊆B，则2a－2＝0，a＝1，A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足题意，选B. 答案　B [缜密思维提能区]　易错辨析 忽略对∅的讨论而致误 【典例】　设集合A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若BA，求实数a的值组成的集合． [错解]　A＝{－3，5}，B＝，BA， 所以＝－3或＝5，解之得a＝－或a＝. 综上知a的值组成的集合为. [正解]　(1)当B＝∅时，a＝0. (2)当B≠∅时，B＝， 因为A＝{－3，5}，BA， 所以＝－3或＝5，解之得a＝－或a＝. 综上知a的值组成的集合为. [纠错心得]　空集是任何集合的子集．不要忽略∅的情况． 知识落实 技法强化 (1)子集、真子集、维恩图的概念及集合间关系的判断． (2)子集、真子集的个数问题． (3)由集合间的关系求参数的值或范围． 由集合间的关系求参数的注意点及常用方法：(1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$