第2章 阶段测评4 不等式（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

阶段测评(四)　不等式 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．一元二次不等式14－4x2≥x的解集是(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析　由14－4x2≥x，即4x2＋x－14＝(x＋2)≤0，解得－2≤x≤，故选A. 答案　A 2．已知－1<x<2，0<y<6，则2x－y的取值范围是(　　) A．(－2，10) B．(－8，4) C．(－8，6) D．(－4，8) 解析　因为－1<x<2，所以－2<2x<4，而0<y<6，所以－8<2x－y<4. 答案　B 3．若实数x，y满足x2＋4y2＝1，则xy的最大值是(　　) A． B． C． D．1 解析　因为实数x，y满足x2＋4y2＝1，所以x2＋4y2＝x2＋2≥2x·2y＝4xy，所以xy≤， 当且仅当x＝2y，即或时等号成立，所以xy的最大值是. 答案　A 4．已知x>0，y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝2, 所以＋＝(x＋y)＝≥＝8， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，即＋的最小值为8. 答案　A 5．关于x的不等式ax2＋ax＋a－1<0的解集为R，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B． C．[0，1] D． 解析　当a＝0时，不等式为－1<0，满足题意； 当a≠0时，由不等式解集为R可得解得a<0. 综上所述，a的取值范围为. 答案　D 6．已知a>0，b>0，且ab＝，不等式＋＋≥4恒成立，则正实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≥1} B．{m|m≥2} C．{m|m≥3} D．{m|m≥4} 解析　由a>0，b>0，m>0且ab＝， 可得＋＋＝＋＝(a＋b)＋≥2， 当且仅当a＋b＝时，上式取得最小值2， 由不等式＋＋≥4恒成立，可得2≥4，解得m≥4. 答案　D 7．(多选)若a>b，c<0，则下列不等式成立的是(　　) A．a2>b2 B．ac>bc C．ac2>bc2 D．a－c>b－c 解析　若a>b，则可取a＝1，b＝－2，则a2<b2，故A错误； 若a>b，c<0，则ac<bc，故B错误； 因为c<0，所以c2>0，所以ac2>bc2，故C正确； 若a>b，则a－c>b－c，故D正确．故选CD. 答案　CD 8．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有(　　) A．≥8ab B．＋≥2 C．ab有最大值4 D．＋有最小值9 解析　A选项，2＝a2＋4b2＋4ab≥2·a·2b＋4ab＝8ab，A正确； B选项，找反例，当a＝b＝2时，＋＝，2＝4，＋<2，B不正确； C选项，∵a＋b＝4≥2，∴ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，C正确； D选项，＋＝(a＋b)＝≥＝，D不正确． 答案　AC 二、填空题(每小题5分，共20分) 9．若实数a≥b，则a2－ab________(填“≥”或“≤”)ba－b2. 解析　因为a≥b，所以a－b≥0， 所以(a2－ab)－(ba－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，即a2－ab≥ba－b2. 答案　≥ 10．关于x的不等式＋1≤0的解集为________． 解析　＋1＝＝≤0，原不等式等价于解得x∈[1，3). 答案　[1，3) 11．不等式|x＋1|＋|x－2|<5的解集为________． 解析　当x<－1时，|x＋1|＋|x－2|<5⇔ －x－1－x＋2<5，解得－2<x<－1； 当－1≤x≤2时，|x＋1|＋|x－2|<5⇔x＋1－x＋2<5恒成立，所以－1≤x≤2； 当x>2时，|x＋1|＋|x－2|<5⇔x＋1＋x－2<5，解得2<x<3. 综上所述，不等式|x＋1|＋|x－2|<5的解集为(－2，3). 答案　(－2，3) 12．函数y＝在(1，＋∞)上的最大值为______． 解析　因为y＝，x∈(1，＋∞)， 令x－1＝t，则t>0， 则y＝＝＝≤＝， 当且仅当2t＝，t＝1即x＝2时，等号成立． 故y的最大值为. 答案　 三、解答题(每小题10分，共40分) 13．(1) 已知 0<x<， 求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (2) 已知 x<， 求函数y＝4x－2＋的最大值； (3) 已知 x>0，y>0, 且＋＝， 求x＋y的最小值． 解析　(1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立， 因为∈，所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为. (2)∵x<⇒5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立， 故函数y＝4x－2＋的最大值为 1. (3) ∵x>0，y>0，且＋＝， ∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2≥2＝8， 当且仅当＝，即x＝3，y＝4时等号成立， 所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为 7. 14．证明不等式． (1)若≤，>0，求证：d(a＋b)≥b(c＋d)； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：>>. 证明　(1)∵>0，≤， ∴bd>0，ad－bc≥0， 又－＝＝≥0， ∴d(a＋b)≥b(c＋d). (2)因为a＞b＞c＞0， 所以有－b<－c，0<a－b<a－c，b－c>0， 则－＝＝>0， 即有>成立； 因为a－c>0，所以>0， 又b>c，所以>成立． 所以有>>. 15．已知函数y＝x2－(a＋b)x＋a. (1)若关于x的不等式x2－(a＋b)x＋a<0的解集为(1，2)，求a，b的值； (2)当b＝1时，解关于x的不等式x2－(a＋b)x＋a>0. 解析　(1)由不等式x2－(a＋b)x＋a<0的解集为(1，2)，得方程x2－(a＋b)x＋a＝0的两根为1和2， 由根与系数的关系知解得a＝2，b＝1. (2)b＝1时，不等式x2－(a＋1)x＋a>0， 即(x－a)(x－1)>0； 当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a； 当a＝1时，解不等式得x≠1； 当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1. 综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}； a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}； a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}． 16．某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元(x≥0)满足关系式a＝9－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 6 万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元．(注：利润＝销售收入－生产投入－促销费用) (1)将y表示为x的函数； (2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？ 最大利润为多少？ 解析　(1)由已知，当 x＝0时，a＝1，∴9－＝1⇒k＝8，∴a＝9－. y＝·a－6a－8－x＝2a＋1－x＝18－＋1－x＝19－x－(x≥0). (2)当x>0时，19－x－＝20－≤20－2＝12， 当且仅当 x＋1＝，即x＝3时等号成立．所以当月促销费为3万元时，该产品的月利润最大，最大利润为 12 万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$