第1章 集合与常用逻辑用语 章末达标检测1（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

[本卷满分：150分，考试用时：120分钟] 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　) A．对任意x∈R，都有x2<1 B．不存在x∈R，使得x2<1 C．存在x∈R，使得x2≥1 D．存在x∈R，使得x2<1 解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2<1. 答案　D 2．给出下列四个关系式：①∈R；②Z∈Q；③0∈∅；④∅⊆{0}，其中正确的个数是(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　①④正确；对于②，Z与Q的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；对于③，∅是不含任何元素的集合，故0∉∅，选B. 答案　B 3．设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}，则A∪B＝(　　) A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} 解析　集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}． 答案　C 4．已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 解析　易知P＝M∩N＝{1，3}，故P的子集共有22＝4个． 答案　B 5．“x＜1”是“x＜2”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为“x＜1”⇒“x＜2”，而“x＜2”D/⇒“x＜1”， 故“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件． 答案　A 6．设p：x＜－1或x＞1；q：x＜－2或x＞1，则q是p的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为q⇒p，反之不一定成立．故选A. 答案　A 7．已知集合M＝{5，a2－3a＋5}，N＝{1，3}，若M∩N≠∅，则实数a的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．1或2 解析　由M∩N≠∅，若a2－3a＋5＝1，此方程无解； 若a2－3a＋5＝3，解得a＝1或2.故选D. 答案　D 8．已知p：－4<x－a<4，q：2<x<3，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤6} B．{a|a≤－1} C．{a|a≥6} D．{a|a≤－1或a≥6} 解析　p：－4<x－a<4，即a－4<x<a＋4； q：2<x<3. ∴¬p：x≤a－4或x≥a＋4，¬q：x≤2或x≥3； 而¬p是¬q的充分条件，∴ 解得－1≤a≤6. 答案　A 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．下列各命题为假命题的是(　　) A．∀x∈R，x≥0 B．如果x＜5，则x＜2 C．∃x∈R，x2≤－1 D．∀x∈R，x2＋1≠0 解析　A、C显然错误，对于B，若x＜5，则x＜2，不一定成立，如x＝4，满足x＜5，但不满足x＞2，D显然成立． 答案　ABC 10．给出下列四个条件，其中能成为x>y的充分条件的是(　　) A．xt2>yt2 B．xt>yt C．2x>2y D．0<<. 解析　A.由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y； B．当t>0时，x>y；当t<0时，x<y，故xt>ytD/⇒x>y； C．2x>2y⇒x>y； D．0<<⇒x>y. 答案　ACD 11．已知集合A＝{x|x＝3a＋2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a－3b，a，b∈Z}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A∩B＝∅ 解析　已知集合A＝{x|x＝3a＋2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a－3b，a，b∈Z}，若x属于B，则x＝2a－3b＝3(2a－b)＋2(－2a)；2a－b，－2a均为整数，x也属于A，所以B是A的子集； 若x属于A，则x＝3a＋2b＝2(3a＋b)－3(a)；3a＋b，a均为整数，x也属于B，所以A是B的子集；所以A＝B，故选ABC. 答案　ABC 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12．设全集U＝R，集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x>1}，则A∪(∁UB)＝________，B∩(∁UA)＝______．(本题第一空2分，第二空3分) 解析　∵B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}，B∩(∁UA)＝{x|x>1}． 答案　{x|x≤1}　{x|x>1} 13．已知p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______，若p是q的充要条件，则m的值是______． 解析　由p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，p是q的必要不充分条件，得－1<m＋1<3，即－2<m<2；若p是q的充要条件，则m＋1＝3，所以m＝2. 答案　(－2，2)　2 14．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________． 解析　因为B＝{x|1<x<2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x≥2}．又因为A∪(∁RB)＝R，A＝{x|x<a}， 观察∁RB与A在数轴上表示的区间，如图所示， 可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R. 答案　{a|a≥2} 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(13分)已知全集U为R，集合A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x<－3或x>1}．求： (1)A∩B；(2)(∁UA)∩(∁UB)；(3)∁U(A∪B). 解析　(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1<x≤2}． (2)∁UA＝{x|x≤0或x>2}，∁UB＝{x|－3≤x≤1}． 在数轴上画出集合∁UA和∁UB， 可知(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－3≤x≤0}． (3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x<－3或x>0}． 所以∁U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}． 16．(15分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性． (1)∀x∈Z，|x|∈N； (2)每一个平行四边形都是中心对称图形； (3)∃x∈R，x＋1≤0； (4)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0. 解析　(1)命题的否定为：∃x∈Z，|x|∉N，假命题． (2)命题的否定为：有些平行四边形不是中心对称图形，假命题． (3)命题的否定为：∀x∈R，x＋1>0，假命题． (4)命题的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题． 17．(15分)设p：实数x满足a<x<3a，其中a>0，q：实数x满足2<x≤3.若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解析　¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⇒¬q且¬qD/⇒¬p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a，a>0}，B＝{x|x≤2或x>3}，则AB. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}． 18．(17分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明　必要性：∵方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ， ∴⇒ξ＝＝. ∴＋2c·－b2＝0⇒a2＝b2＋c2， ∴∠A＝90°. 充分性：若∠A＝90°，则a2＝b2＋c2，易得x0＝是两个方程的公共根． 综上可知，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 19．(17分)若非空数集A满足∀x，y∈A，x＋y∉A，则称集合A为无和集． (1)判断集合A＝，B＝是否为无和集，直接写出结论； (2)给定正整数n≥5，集合A，B满足：A∪B＝，且A∩B＝∅，求证：集合A，B不可能都是无和集； (3)给定正整数n≥3，集合A⊆，且A为无和集．求集合A中元素个数的最大值(用含n的表达式表示). 解析　(1)集合A中任意两个奇数(两个数相等也可以)的和是偶数，而偶数都不属于集合A，因此集合A是无和集， 因为5∈B，而5＋5＝10∈B，因此B不是无和集； (2)假设A，B都是无和集，又A∪B＝，且A∩B＝∅， 因为1＋1＝2，所以1和2不能属于同一集合，不妨设1∈A，2∈B， 又2＋2＝4，所以4∉B，则4∈A，1＋4＝5，所以5∉A，5∈B， 此时如果3∈A，则1＋3＝4，A不是无和集，如果3∈B，则2＋3＝5，B不是无和集，矛盾， 所以集合A，B不可能都是无和集； (3)由定义可知，集合A中元素不能都是偶数， 设集合A是由{1，2，3，…，n}中所有奇数组成的集合，易知集合A0是无和集， 这时，1，2，3，…，n中任一偶数都不能属于集合A，例如m∈{1，2，3，…，n}且m为偶数，则m＝1＋(m－1)，而1与m－1都是奇数，属于A，因此m∉A， 假设加入一个偶数m到集合A，则由于m＝1＋(m－1)，因此1和m－1中有一个不属于集合A，即集合A中奇数至少减去一个，元素个数不会比A0中元素个数多． 故n是偶数时，最大值为，n是奇数时，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$