第1章 阶段测评2 常用逻辑用语（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

阶段测评(二)　常用逻辑用语 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．命题“ ∀x∈(－1，5)，x2＋1<x”的否定为(　　) A．∃x∈，x2＋1≥x B．∃x∈，x2＋1>x C．∃x∈，x2＋1>x D．∃x∈，x2＋1≥x 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，即命题“∀x∈(－1，5)，x2＋1<x”的否定是“∃x∈(－1，5)，x2＋1≥x”． 答案　D 2．下列命题是真命题的一项为(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2<0 C．∀x∈Q，x2－2≠0 D．∃x∈Q，x2－2＝0 解析　当x＝0时，x2＝0，所以选项A是假命题； 因为∀x∈R，x2≥0，所以∃x∈R，x2<0，是假命题，即选项B是假命题； 由x2－2＝0⇒x＝±，而±是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题． 答案　C 3．设a∈R，则“a＝－1”是“a2＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a2＝1，可得a＝±1，故“a＝－1”是 “a2＝1”的充分不必要条件． 答案　A 4．“a>3”是“a>5”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　a>3a>5，不满足充分性；a>5⇒a>3，满足必要性． 所以“a>3”是“a>5”的必要不充分条件． 答案　B 5．“x＝－1”是“x2－2x＋3＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为x2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12＝－8<0， 所以方程x2－2x＋3＝0无实数根， 所以x＝－1是x2－2x＋3＝0的既不充分也不必要条件． 答案　D 6．命题“∀x∈[1，2]，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　　 B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，1] 解析　∵a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1. 答案　D 7．(多选)命题“∀x∈[1，2]，x2＋1－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥2 B．a≥5 C．a>5 D．a≥6 解析　若命题“∀x∈[1，2]，x2＋1－a≤0”为真命题，则a≥(x2＋1)max＝5， 且{a|a>5}{a|a≥5}，{a|a≥6}{a|a≥5}， 所以，命题“∀x∈[1，2]，x2＋1－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a>5或a≥6， 故选CD. 答案　CD 8．(多选)下面命题中正确的是(　　) A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．命题“任意x∈R，则x2＋x＋1<0”的否定是“存在x∈R，则x2＋x＋1≥0” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x＋y≥4”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要条件 解析　对于A，<1⇔>0⇔a(a－1)>0⇔a<0或a>1，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意x∈R，则x2＋x＋1<0”的否定是“存在x∈R，则x2＋x＋1≥0”，故B正确； 对于C，“x≥2且y≥2”⇒“x＋y≥4”，但“x＋y≥4”推不出“x≥2且y≥2”， 所以“x≥2且y≥2”是“x＋y≥4”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，ab≠0⇔a≠0且b≠0，则“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要条件，故D正确；故选ABD. 答案　ABD 二、填空题(每小题5分，共20分) 9．若命题“∃x∈R，2－x2>m”是真命题，则实数m的取值范围是________． 解析　y＝2－x2的最大值为2，根据题意，2>m，即m的取值范围是(－∞，2). 答案　(－∞，2) 10．进入红叶季时，香山公园的游客量将有所增加，公园采取“无预约，不游园”的措施，游客需要提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或者“既不充分也不必要”)条件． 解析　依题意，没有预约，一定不能游园，即游园的人必须是提前预约的，游园可推出预约，而预约了，可能不游园，所以“预约”是“游园”的必要不充分条件． 答案　必要不充分 11．已知命题p：0<x<a，命题q：－1<x<2，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值集合是________． 解析　由题意知， p：0<x<a，q：－1<x<2，p是q的充分不必要条件， 所以集合{x|0<x<a}是集合(－1，2)的真子集， 当a≤0时，集合{x|0<x<a}为空集，符合题意； 当a>0时，则a≤2，得0<a≤2，综上，a≤2. 答案　{a|a≤2} 12．关于x的方程x2－10x＋k＝0有两个异号根的充要条件是________． 解析　设方程x2－10x＋k＝0的两个根为x1，x2， 所以所以k<0. 当k<0时，方程有两个不同的实根； 当方程有两个不同的实根时，k<0. 所以关于x的方程x2－10x＋k＝0有两个异号根的充要条件是k<0. 答案　k<0 三、解答题(每小题10分，共40分) 13．在下列命题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：x2>0，q：x>0； (2)p：一元二次方程x2－2x＋c＝0有两个实数根，q：c<0. 解析　(1)由于所以p是q的必要不充分条件． (2)对于p，一元二次方程x2－2x＋c＝0有两个实数根，则Δ＝4－4c≥0，c≤1， 所以p是q的必要不充分条件． 14．设p：实数x满足x2－2ax－3a2<0(a>0)，q：2<x<4. (1)若a＝1，且p，q至少有一个为真命题，求实数x的取值范围； (2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解析　(1)对于p，x2－2ax－3a2＝(x－3a)·(x＋a)<0，由于a>0， 所以解得－a<x<3a，设A＝{x|－a<x<3a，a>0}， 对于q，2<x<4，设B＝{x|2<x<4}，∁UB＝{x|x≤2或x≥4}． 当a＝1时，A＝{x|－1<x<3}，∁UA＝{x|x≤－1或x≥3}． 当p，q都是假命题时，(∁UB)∩(∁UA)＝{x|x≤－1或x≥4}． 所以当p，q至少有一个是真命题时，x的取值范围是{x|－1<x<4}． (2)由于q是p的充分不必要条件，所以BA， 所以(等号不能同时成立)，解得a≥， 所以a的取值范围是. 15．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. ②q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 16．已知m∈R，命题p：∀x∈[0，1]，x≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈R，使得－x2＋2x－m>0. (1)若p为真命题，求m的取值范围； (2)若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 解析　(1)∵∀x∈[0，1]，x≥m2－3m， ∴m2－3m≤0，解得0≤m≤3，故实数m的取值范围是[0，3]. (2)当q为真命题时，则Δ＝4－4m>0，解得m<1. ∵p，q有且只有一个真命题 当p真q假时，解得1≤m≤3； 当p假q真时，解得m<0. 综上可知，1≤m≤3或m<0. 故所求实数m的取值范围是(－∞，0)∪[1，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$