精品解析：2024年湖南省郴州市中考模拟预测数学试题

2024年湖南省初中学业水平考试模拟试卷 数学（BEST联考） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，在数轴上点，关于原点对称，点表示的实数是，则点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将有两个拐弯的一段公路用三条线段表示，测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “绿水青山就是金山银山．”从这句话中随机选取一个汉字，选取“山”的概率是(　　) A. B. C. D. 6. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．下面截取了某个棋局中的四个局部图案，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 7. 计算：（ ） A. x B. C. D. 0 8. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 的倒数是___________． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，那么k值是______． 13. 如图，在中，过边的中点E作直线交于点D．若，则的长是______． 14. 在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的重量x的一组对应值： 所挂物体重量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧长度 20 22 24 26 28 30 … 则当所挂重物为时（在允许范围内），弹簧的长是______． 15. 5位同学在“阳光大课间”活动中进行“一分钟跳绳”比赛，即在1分钟内看谁跳绳的个数最多．统计跳绳个数的5个数据分别为：160，163，160，157，160，则这组数据的方差为______． 16. 如图，的对角线、相交于点，且，，则的周长为__________． 17. 某同学解一个关于x的一元一次不等式，不等式中的■是一个数字，但被墨水涂污看不清楚了．根据如图所示的不等式的解集，可知■处的数字为______． 18. 如图，内接于是的直径，连接．已知，则的度数是______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知等腰三角形的周长为18，设腰长为x，底边长为y． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求自变量x的取值范围． 20. 如图，，点P在的内部，且满足．求证： （1）； （2）． 21. 已知整式． （1）将整式分解因式； （2）求证：若取整数，则能被整除． 22. 劳动教育必须注重理论联系实际，在实践操作中培养学生的劳动技能．某学校基于这个理念，带领学生到劳动实践基地进行了劳动技能培训活动．为了解培训效果，学校对学生在培训前和培训后各进行了同一项目的劳动技能检测．老师对检测结果的评价为“合格”“良好”“优秀”3个等级，并依次记为分、分、分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得分）．学校随机抽取名学生培训前后次的检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）这名学生在培训前得分的中位数对应的等级为 ；（填“合格”“良好”或“优秀”） （2）求这名学生培训后比培训前的平均分提高了多少． 23. 如图，四边形是矩形，点E在上，点F在的延长线上，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的值． 24. 已知小华同学的家离学校．根据以往经验，小华在平面直角坐标系中绘制了在学校和家之间的路上匀速行走时小华和小华妈妈离学校的距离y（单位：m）和出发的时间x（单位：）的函数图象，分别如图中的线段． （1）分别求出小华和小华妈妈步行的速度和； （2）一天放学后，小华从学校往家的方向行走，小华妈妈也同时从家里出发步行往学校方向走，两人汇合一同去参加一个志愿者活动，求小华和小华妈妈多少能汇合． 25. 已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，求t的值； （2）当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）； （3）若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 26. 如图，内接于，过点C作交于点E，交于点D，连接交于点G，连接，设（m为常数）． （1）求证：； （2）设，求证：； （3）求的值（用含m的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖南省初中学业水平考试模拟试卷 数学（BEST联考） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，在数轴上点，关于原点对称，点表示的实数是，则点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数轴，根据题意可知，据此即可求得答案． 【详解】根据题意可知，点表示的实数是，则点表示的实数是． 故选：B 2. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形完全相同的几何体即可． 【详解】解：A．四棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误； B．圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； C．圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； D．球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，掌握三视图都相同的常见的几何体有球和正方体是解答本题的关键． 3. 如图，将有两个拐弯的一段公路用三条线段表示，测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是根据两直线平行，内错角相等，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4. 公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式．根据最高限速标志牌的意义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是． 故选：B 5. “绿水青山就是金山银山．”从这句话中随机选取一个汉字，选取“山”的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】∵在“绿水青山就是金山银山”这10个字中，“山”字有3个， ∴从这句话中随机选取一个汉字，选取“山”的概率是， 故选C． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 6. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．下面截取了某个棋局中的四个局部图案，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：由轴对称的定义可知：C是轴对称图形，符合题意；选项A、B、D中图案不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 7. 计算：（ ） A. x B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据单项式乘多项式进行计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：D． 8. 二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∴顶点在第一象限． 故选：A． 9. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形的面积为． 故选：B． 10. 对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵函数图象经过点， ∴， 即，故D选项正确，不符合题意； ∵函数图象不经过第二象限， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项错误，符合题意； 故选：C 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 的倒数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了倒数，乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，那么k值是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流是电阻的反比例函数，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式即可． 【详解】解：把代入反比例函数式， ． 故答案为：36 13. 如图，在中，过边的中点E作直线交于点D．若，则的长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等角对等边及线段垂直平分线的性质，根据，得到，然后根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 故答案为：4． 14. 在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的重量x的一组对应值： 所挂物体重量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧长度 20 22 24 26 28 30 … 则当所挂重物为时（在允许范围内），弹簧的长是______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题考查了函数的表示方法，本题需仔细分析表中的数据，进而解决问题．明确变量及变量之间的关系是解好本题的关键．由表中的数据可知，时，，并且每增加千克的质量，长度增加，依此可求所挂重物为时（在允许范围内）时的弹簧长度． 【详解】解：由表格可得：当所挂物体重量为时，弹簧长；当不挂重物时，弹簧长， 则， 当所挂重物为时，弹簧的长度为：（）． 故答案为： 15. 5位同学在“阳光大课间”活动中进行“一分钟跳绳”比赛，即在1分钟内看谁跳绳的个数最多．统计跳绳个数的5个数据分别为：160，163，160，157，160，则这组数据的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是计算数据的方差，熟记计算公式是解本题的关键，先求解这组数据的平均数，再计算方差即可． 【详解】解：∵， ∴这组数据的方差为 ； 故答案为： 16. 如图，的对角线、相交于点，且，，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，平行四边形的对边相等． 17. 某同学解一个关于x的一元一次不等式，不等式中的■是一个数字，但被墨水涂污看不清楚了．根据如图所示的不等式的解集，可知■处的数字为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式得解集，先解不等式得到，再由数轴可知不等式得解集为，据此可得答案． 【详解】解：解不等式得， 由数轴可知，不等式得解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，内接于是的直径，连接．已知，则的度数是______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据圆周角定理得到，进而利用邻补角互补求解即可． 此题考查了同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，邻补角互补等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知等腰三角形的周长为18，设腰长为x，底边长为y． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，等腰三角形的性质： （1）根据三角形的周长公式可得，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，再由三角形的三边关系，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵等腰三角形的周长为18，腰长为x，底边长为y， ， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可得，解得， ∵x，x，y构成三角形的三边， ∴， 即， 解得． 综上可知，自变量x的取值范围是． 20. 如图，，点P在的内部，且满足．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：在和中， ； （2）证明：， ， ∴点P在等腰顶角的角平分线上， ． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键； （1）直接利用证明两个三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知整式． （1）将整式分解因式； （2）求证：若取整数，则能被整除． 【答案】（1）； （2）证明：取整数， 和均为整数， 又由（）可知，， 能被整除． 【解析】 【分析】（）利用配方法把配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可； （）利用（）的结果即可求证； 本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ， ； 【小问2详解】 略 22. 劳动教育必须注重理论联系实际，在实践操作中培养学生的劳动技能．某学校基于这个理念，带领学生到劳动实践基地进行了劳动技能培训活动．为了解培训效果，学校对学生在培训前和培训后各进行了同一项目的劳动技能检测．老师对检测结果的评价为“合格”“良好”“优秀”3个等级，并依次记为分、分、分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得分）．学校随机抽取名学生培训前后次的检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）这名学生在培训前得分的中位数对应的等级为 ；（填“合格”“良好”或“优秀”） （2）求这名学生培训后比培训前的平均分提高了多少． 【答案】（1）合格； （2）这名学生培训后比培训前的平均分提高了分 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）； （2）根据加权平均数的计算公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意知，培训前合格的有人，良好的有人，优秀的有人， ∴这名学生在培训前得分的中位数对应的等级为合格， 故答案为：合格． 【小问2详解】 解：名学生在培训前的平均分为： （分）， 名学生在培训后的平均分为： （分）， ∴这名学生培训后比培训前的平均分提高了： （分）． 23. 如图，四边形是矩形，点E在上，点F在的延长线上，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由矩形的性质得出即可求证； （2）由平行四边形的性质可得再得到，再根据勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， 在中， ， ． 24. 已知小华同学的家离学校．根据以往经验，小华在平面直角坐标系中绘制了在学校和家之间的路上匀速行走时小华和小华妈妈离学校的距离y（单位：m）和出发的时间x（单位：）的函数图象，分别如图中的线段． （1）分别求出小华和小华妈妈步行的速度和； （2）一天放学后，小华从学校往家的方向行走，小华妈妈也同时从家里出发步行往学校方向走，两人汇合一同去参加一个志愿者活动，求小华和小华妈妈多少能汇合． 【答案】（1）小华步行的速度为，小华妈妈步行的速度为 （2）小华和小华妈妈能汇合 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，读懂所给函数图象是解题的关键． （1）根据所给图象，分别求出小华和小华妈妈步行的速度和即可； （2）设小华和小华妈妈能汇合，结合所给图象，列出方程并求解即可解决问题． 【小问1详解】 根据图象可得， ， ． 答：小华步行的速度为，小华妈妈步行的速度为; 【小问2详解】 设小华和小华妈妈能汇合． 依题意得， 解得． 答：小华和小华妈妈能汇合． 25. 已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，求t的值； （2）当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）； （3）若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 【答案】（1） （2）若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握二次函数对称性和增减性，一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键． （1）把代入二次函数解析式，解方程即得； （2）根据图象开口向上，对称轴是直线和，分，，三种情况解答； （3）根据，结合（2）的后两种情况，运用一元二次方程根与系数的关系解答并验证即得． 【小问1详解】 ∵经过点， ∴， 解得，； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ①若， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，为3； ②若， ∴当时，y取得最小值，为; ③若， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，即． 综上可知，若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为． 【小问3详解】 由（2）知，当时，y取最小值，解得，． ， ． 由题意，可知为一元二次方程的两个根． 由韦达定理，得， ． 当时，y取得最小值，即，解得，，不合． 综上，． 26. 如图，内接于，过点C作交于点E，交于点D，连接交于点G，连接，设（m为常数）． （1）求证：； （2）设，求证：； （3）求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：， 是的直径． 如图，连接． ， 又，即， ， ， ，， ； （2） 证明：如图，设相交于点M，连接． 由（1）可知， ，即． 又． ， 又∵， ∴， ∵，则垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 即， ． ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接．根据圆周角定理得到是的直径，由，得到，进一步得到，进一步即可得出结论； （2）设相交于点M，连接．由（1）可知，得到，再根据．推出，由即可得出结论； （3）证明，得到，解直角三角形得到，代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ， ，即． 又， ， ，即， 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $