特训01 集合 常用逻辑用语 压轴题-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

特训01 集合 常用逻辑用语 压轴题 一、单选题 1．已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（     ） A．8 B．6 C．7 D．4 2．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．已知集合，若且对任意的，均有，则中元素个数的最大值为（     ） A．10 B．19 C．30 D．39 4．设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（     ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 5．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数一定为偶数； ④若，则. 其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 6．设集合、是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足： ， 对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（    ） ①， ② ③ ④ A． B． C． D． 二、多选题 7．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（    ） A．0，1是任何数域中的元素 B．若数集M，N都是数域，则是一个数域 C．存在无穷多个数域 D．若数集M，N都是数域，则整数集 8．19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 三、填空题 9．已知集合｛或，，对于，表示和中相对应的元素不同的个数，若给定，则所有的和为 ． 10．已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 11．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 12．已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 . 13．已知集合，对它的非空子集，将中的每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，试对的所有非空子集，求这些和的总和 . 14．已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ． 15．已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数可以为奇数； ④若，则. 其中正确命题的序号为 ． 四、解答题 16．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 17．已知集合为非空数集，定义： ， （1）若集合，直接写出集合，. （2）若集合，，且，求证： （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 18．已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值. 19．设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 20．已知集合 （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足不等式的的值. 21．记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 22．设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点. (1)证明：若则. (2)A中的元素所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积. (3)已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 集合 常用逻辑用语 压轴题 一、单选题 1．已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【分析】根据可得，可得，再根据可得，分和两种情况来讨论即可得解. 【解析】由得，所以， ，所以， （1）若，由，所以， 所以，， 所以，即， 从而， 所以，所以， 即或，与矛盾； （2）若， 则，从而， 所以，即， 从而， 所以，， 所以或，又， 所以，， 又， 所以， 由代入可得： ，所以或（舍）， 所以， 故选：A 2．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据题设描述只需保证各集合中（）尽量小，结合已知及集合的性质有最大时，进而分析的取值. 【解析】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中（）尽量小， 所以集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设，有， 当时，， 当时，， 只需在时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故的最大值为11. 故选：B 【点睛】关键点点睛：注意最大则各集合中（）尽量小，并求出该情况下特征值之和关于n的公式，再分析其最大取值. 3．已知集合，若且对任意的，均有，则中元素个数的最大值为（    ） A．10 B．19 C．30 D．39 【答案】D 【解析】根据，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解. 【解析】由题：集合，若且对任意的，均有，作如下等价转化： 考虑，是平面内的满足题目条件的任意两点， “”等价于“或”， 即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零， 要使集合中这样的点最多，就是直线两条直线上的整数点，共39个， （当然也可考虑直线两条直线上的整数点，共39个） 故选：D 【点睛】此题以元素与集合关系为背景，考查根据题目条件求集合中元素个数问题，关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律. 4．设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ） A．若有2个元素，则有3个元素 B．若有2个元素，则有4个元素 C．存在3个元素的集合，满足有5个元素 D．存在3个元素的集合，满足有4个元素 【答案】A 【解析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解. 【解析】若有2个元素，不妨设， 以为中至少有两个元素，不妨设， 由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设， 由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素， 当集合有个元素时，由②得：，则或. 当集合有多于个元素时，不妨设， 其中， 由于，所以， 若，则，但此时， 即集合中至少有这三个元素， 若，则集合中至少有这三个元素， 这都与集合中只有2个运算矛盾， 综上，，故A正确； 当集合有个元素，不妨设， 其中，则，所以， 集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D. 故选：A. 【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 5．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数一定为偶数； ④若，则. 其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称. 所以当，则有，，， 进而有：，，， ①若，则，正确； ②若，则，，，能确定4个元素，不正确； ③根据题意可知，，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确； ④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，，，，即，故正确， 综上：①③④正确. 故选C. 点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减； （2）对称：①变为，则图象关于y轴对称； ②变成，则图象关于x轴对称； ③变成，则图象关于原点对称； ④变成，则将x轴正方向的图象关于y轴对称； ⑤变成，则将x轴下方的图象关于x轴对称. 【解析】 6．设集合、是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足： ， 对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（    ） ①， ② ③ ④ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照两个集合“保序同构”的定义，对于①构造出函数，对于②构造出函数，对于③构造出函数，进行验证，符合要求，利用排除法得到④不正确，即可得到答案. 【解析】对于①：若，，存在函数, “,满足， 对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项①是“保序同构”; 对于②：若，存在函数， 对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项②是“保序同构”； 对于③：若，存在函数满足， 对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项③是“保序同构”; 对于④：不能找到函数，使得两个集合“保序同构”.从另一个角度来思考，前三个选项中的集合对是“保序同构”,由排除法可知, 不是“保序同构”只有④，所以不是“保序同构”的个数为1. 故选：A 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： （1）仔细阅读，理解新定义的内涵； （2）根据新定义，对对应知识进行再迁移. 二、多选题 7．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（    ） A．0，1是任何数域中的元素 B．若数集M，N都是数域，则是一个数域 C．存在无穷多个数域 D．若数集M，N都是数域，则整数集 【答案】ACD 【分析】AD选项，由数域定义可得答案；B选项，通过举反例判断选项正误；C选项，由题可知为素数为数域，据此可得答案. 【解析】A选项，根据定义，由，则，则0，1是任何数域中的元素，故A正确； B选项，若数集都是数域，不妨设， . 取，则，则不是一个数域，故B错误； C选项，由题可知，任何一个形如，是素数的集合都是数域，而素数有无穷多个，并且不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，故C正确； D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推，整数集是任何数域的子集，若数集都是数域，则，则整数集，故D正确． 故选：ACD． 8．19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 【答案】BCD 【分析】举反例结合“二划分”的定义判断A；利用“二划分”的定义判断B；找出两集合符合二划分定义判断C，D. 【解析】对于A，由于，故，不是的二划分，A错误； 对于B，， ， 显然，由于任意一个正整数M，都可写成形式， 其中为素数，，则M必为形式，其中k为正奇数，， 故可得，故B正确； 对于C，存在满足， 对于；对于，C正确； 对于D，选项B中集合， 使得对于，则； ，比如取3，5，则，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解二划分的含义，并按照其定义去判断每个选项. 三、填空题 9．已知集合｛或，，对于，表示和中相对应的元素不同的个数，若给定，则所有的和为 ． 【答案】 【解析】试题分析：由题意可得集合｛或，中，共有个元素，记为，的共有个，的共有个， ． 故答案为． 考点：推理与证明． 10．已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【解析】因为满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以一定各包含4个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是12，11，9， 特征数的和最小，如：，特征数为13； ，特征数为11；，特征数为9； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为13； ，特征数为15；，特征数为17； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的差为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，利用子集知识求解即可. 11．定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【解析】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 12．已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 . 【答案】5 【分析】先根据条件列出的所有情况，根据题意列举即可. 【解析】，由①②条件知，中元素各不相等且， 所以有以下24种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 因为集合有7个真子集，所以有3个元素， 即有3种情况.又，则满足题意，，，，，共5种情况. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 13．已知集合，对它的非空子集，将中的每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，试对的所有非空子集，求这些和的总和 . 【答案】 【分析】考虑集合中的元素在总和中出现的次数，根据不含“”的子集共有个，则可得含“”的子集共有个，从而可根据题意可求得结果. 【解析】考虑集合中的元素在总和中出现的次数， 因为的子集共有个，其中不含“”的子集共有个， 所以含“”的子集共有个， 所以，由题意得这些和的总和为 ， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查集合非空子集的应用，解题的关键是求出含“”的子集的个数，考查计算能力，属于较难题. 14．已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ． 【答案】 【分析】第一问：由所给定义得到集合，从而得到；第二问：由集合中元素确定集合中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得． 【解析】第一问：因为，所以， 所以， 第二问：因为， 易知集合中任意两个元素的和最小值是，最大值是， 且对任意，，都存在，，使得， 所以，由，解得． 故答案为：； 15．已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题： ①若，则； ②若，则S中至少有8个元素； ③若，则S中元素的个数可以为奇数； ④若，则. 其中正确命题的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】①根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断； ②若，则中至少有4个元素，故错误； ③若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数； ④根据，显然图象关于轴，轴，和轴对称，判断即可． 【解析】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称. 所以当，则有，，， 进而有：，，，， ①若，则，故①正确； ②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确； ③根据题意可知，，若，能确定4个元素， 当，也能确定个，当，也能确定8个所以， 则中元素的个数一定为偶数，故③错误； ④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知， 则，，，即， 即，故④正确， 综上：①④正确. 故答案为：①④. 四、解答题 16．设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【解析】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 17．已知集合为非空数集，定义： ， （1）若集合，直接写出集合，. （2）若集合，，且，求证： （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347. 【解析】（1）根据题目定义，直接计算集合及； （2）根据两集合相等即可找到，，，的关系； （3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值． 【解析】（1）根据题意，由，则，； （2）由于集合，，且， 所以中也只包含四个元素， 即， 剩下的， 所以； （3）设满足题意，其中， 则， ， ， ， ，， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则，， 依题意有，即， 故的最小值为674，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347. 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 18．已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值. 【答案】 【分析】根据描述法的定义，分别化简集合 ，先根据，可得，再由，所以，进而可得结果. 【解析】 ，因此且， 所以，即； 又， 因此 即，，所以； 又， 因此 即，，所以. 【点睛】集合的基本运算的关注点： （1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图． 19．设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）；（2）充分非必要条件，理由见解析. 【分析】（1）根据已知列出不等式，计算求解即可； （2）由，分，，两种情况，根据不等式性质，依次推理可得，即可得出为充分条件，当“x比y更接近m”时，可知，观察可知，不一定成立,即可得出结论. 【解析】（1）由题意可知，即，解得：，则实数的取值范围是. （2）①由题意可知. 1）若，则，显然必有 那么，若，则显然，满足, 若，则必有，满足 2）同理若，则，显然必有 那么，，则显然，满足,若，则必有，满足 是“x比y更接近m”的充分条件, ②x比y更接近m，则，或, 显然存在成立. " x比y更接近m "不是的必要条件 综上是"x比y更接近m"的充分非必要条件. 【点睛】本题考查新定义"接近"的理解和运用，考查充分、必要条件的证明，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题. 20．已知集合 （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足不等式的的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析；. 【解析】（1）将代入化简即可判断； （2）设，.由（1）可知，即,或.再分别代入，验证是否符合题意即可； （3）设且则代入 化简可得结论，等式同时除以可得,得，可得结果. 【解析】（1）证明：若，则且. 所以 因为所以原式. 因为.所以偶数.原式得证 （2）因为，且则，所以 设，. 由（1）可知，即 所以或. 当时，代入可得 此时，满足，所以成立 当时，代入解得， 不满足，所以不成立； 综上，可知 （3）证明：因为，所以可设且 则 代入得： 即成立， 原式得证 对于，不等式同时除以可得 由（2）可知，在范围内， 所以，即. 【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系，考查了函数与方程思想的应用，同时考查了不等式的解法，同时考查了计算能力，体现数学运算，逻辑推理等数学学科素养，属于难题. 21．记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 【答案】(1)； (2)5 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接写出集合，再根据的定义写出； （2）设，则，则由题意可得，从而可求得结果； （3）设A中的所有元素为，，…，，其中，记（），先利用反证法证明这些互不相等，再根据定义证明即可. 【解析】（1）； 若，则. （2）的最小值为5. 证明如下： 设. 因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到， 所以，解得. 当时，有，符合题意. （3）证明：设A中的所有元素为，，…，，其中. 记（），则这些互不相等. 证明如下：如果存在，， 则，的每一位都相等， 所以，的每一位都相等， 从而，与集合A中元素的互异性矛盾. 定义集合，则. 又， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理解，考查理解能力，属于难题. 22．设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点P为A中元素a的格点. (1)证明：若则. (2)A中的元素所对应的格点记作（），现将A中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以为顶点的三角形面积. (3)已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据集合A的描述，令判断是否满足集合描述即可证； （2）根据题设定义写出的前6项，进而确定坐标，即可求三角形面积； （3）根据题意、一定属于，一定不属于，并求，结合即可求参数范围. 【解析】（1）由题设， 则，且， 所以若则，得证. （2）如下表取，行为，列为， 0 1 2 3 由表格知：最小的6个数为分别为， 所以， 所以，则，以为顶点的三角形面积为. （3）同（2），将A中元素按下标小到大，从小到大排序， 由题设，又至少有2个元素，即、一定属于，故； 由最多有5个元素，即一定不属于，故； 综上，. 【点睛】关键点点睛：根据题设描述写出及对应，结合交集的结果确定参数范围. ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$