精品解析：江苏省如东县第一高级中学创新班2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

2024级新高一期中数学测试卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式得到集合，再利用集合的交集得到. 【详解】因为，，所以． 故选：C． 2. 若，求=（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用换底公式得到，再根据指数对数恒等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 3. 关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围. 【详解】由题可知是不等式的解集的一个真子集. 当时，不等式的解集为，此时； 当时，不等式的解集为， ，合乎题意； 当时，不等式的解集为， 由题意可得，此时. 综上所述，. 故选：D. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题. 4. 已知函数，若对任意，，且，有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得在为增函数，分段函数两段均为单调递增，而且右段的最低点不低于左段的最高点，即可求解. 【详解】∵对任意的，，总有成立， 不妨设， ∴函数在定义域上是增函数， ∴，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 5. 若实数a，b，c满足，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数与对数互化的性质分别表示出，结合对数运算性质即可得解. 【详解】由已知，得， 得，，， 所以，，， 而， 所以， 即， 故选：A. 6. 若函数的定义域为R， 则实数 a的取值范围是（ ） A. [0，1] B. [0，1） C. [0，] D. [0，） 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果. 【详解】要满足题意，只需在上恒成立即可. 当时，显然满足题意. 当时，只需， 解得. 综上所述， 故选：D. 7. 当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（ ）（参考数据：） A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，计算即可求出，从而得出结果． 【详解】设，则 又因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 解得：，因为， 故，所以的位数是. 故选：B 8. 已知函数，如果关于的方程恰有6个不同的实数根，则下列说法一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由恰有6个不同的实数根，结合的图象，判断方程两根的情况，由韦达定理得系数间符号的关系. 【详解】函数的图象如图所示， 关于的方程恰有6个不同的实数根， 设方程的两根分别为，则或，. 当0时，由韦达定理知，， 异号，，不能确定的符号，选项C、D正确. 当时，由韦达定理知，异号，同号，选项D正确. 故选：D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，选错不得分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”是假命题 C. 若，，，则 D. 若，值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用存在量词命题否定判定A；运用二次方程知识判定B；、运用指数对数函数的性质进行大小比较判定C；运用换元法求解函数值域判定D. 【详解】命题“”的否定就是“”，所以选项正确.  对于一元二次方程， . 当时，方程无实数根，所以命题“”是假命题，选项正确.  因为对数函数在上单调递减，所以，即. 对于，指数函数在上单调递减，，即. 对于，指数函数在上单调递减，. 又因为幂函数在上单调递增，所以，即. 所以，选项错误.  令，则，那么函数可转化为， 对于二次函数，对称轴为. 当时，取得最大值，. 所以函数的值域为，选项正确.  故选：ABD. 10. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为是正数，且， 所以不等式可知，即，得， 当且仅当，即取得等号， 所以的最大值为，所以A正确; 因为是正数，且， 所以，且， 所以， 当时有最小值为， 所以B正确; 由以上知，且， 所以， 因为，即， 当且仅当即时取等号，因为 所以等号不成立，即， 所以C错误; 因为， 当且仅当，即， 解得时等号成立，即， 所以的最小值为， 所以D正确. 故选:ABD. 11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（ ） A. 为“不动点”函数 B. 的不动点为 C. 恰好有两个不动点 D. 若定义在上仅有一个不动点的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不动点的定义，求出不动点判断ABC；设不动点为，由条件推得，求解判断D. 【详解】对于A，由，得，而，解得，因此为“不动点”函数，A正确； 对于B，由，得，即，即，解得， 经检验符合题意，因此的不动点为，B错误； 对于C，当时，，由，得，解得； 当时，，由，得，无解， 因此函数只有一个不动点，C错误； 对于D，设该不动点为，即，由， 得，即，于是，解得或， 当时，，由，得，解得或，此时有两个不动点，不符合题意， 当时，，由，得，解得，只有一个不动点，符合题意， 因此，D正确. 故选：AD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为，求解即可. 【详解】已知是R上的偶函数，且在上是单调减函数， 所以在上是单调增函数， 由，得，即， 解得，则符合题意的整数有. 故答案为： 13. 设，则=__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由，再同理，即可求解； 【详解】∵， 同理，， ∴. 故答案为：3 14. 函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间，、对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m的取值范围 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 由此作出图象如图所示，由图知当时，令， 整理得：， 解得：或， 要使对任意的，都有，必有， 所以m的取值范围是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题. 四､解答题（本题共6大题，共70分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. （3）已知，，试用，表示. 【答案】（1）1；（2）4；（3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （2）首先求出、，再由立方和公式计算可得； （3）依题意可得，，再根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） . （2）因为，则， 则， 所以； （3）因为，，所以，， 所以 . 16. 已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合． （1）设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C⊆（A∩B），求a的取值范围： （2）设m为实数，集合，若x∈（A∪B）是x∈D的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在；. 【解析】 【分析】（1）根据解绝对值不等式的公式，结合分式的性质、交集的定义、子集的性质进行求解即可； （2）根据必要不充分条件的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【小问1详解】 ， 所以，，所以， （1）由已知得， ①时，，此时满足题意； ②时，，要满足题意需 综上所述，a的取值范围是； 【小问2详解】 由已知得，由题意得D是的真子集 ， 所以， 要满足题意需（等号不同时成立） 答：满足条件的m存在，取值范围是． 17. 第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效. （1）若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？ （2）若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值. 【答案】（1）7天； （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的净化剂的有效时间即可. （2）由题设，将问题化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值. 【小问1详解】 因为一次投放4个单位的净化剂， 所以水中释放的浓度为， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，所以一次投放4个单位的净化剂，则有效时间可持续7天. 【小问2详解】 设从第一次投放起，经过天后浓度为． 因为，则，， 所以，即，令，， 所以， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2. 18. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）4 （2）①证明见详解 ② 【解析】 【分析】（1）计算，令，即求. （2）①计算，由新定义即可证明. ②求出的值域，设在上的值域为，存在与恒成立思想可得是的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出，结合集合的包含关系即可求出范围. 【小问1详解】 由题意可得，，令，可得. 【小问2详解】 ①由，， ， 所以函数的图象关于点对称. ②，函数在上单调递增，所以， 不妨设在上的值域为，则， 因为时，， 所以，即函数的图象过对称中心， （i）当时，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 由，，所以，所以， 由，可得，解得； （ii）当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得， 或， 因为，所以，， 易知，又，所以， 所以当时，成立； （iii）当时，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，，则，由得， ，解得. 综上可知，实数的取值范围为. 19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】（1） 集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明如下： 由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明如下： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【解析】 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级新高一期中数学测试卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，求=（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 3. 关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若对任意，，且，有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若实数a，b，c满足，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为R， 则实数 a的取值范围是（ ） A. [0，1] B. [0，1） C. [0，] D. [0，） 7. 当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（ ）（参考数据：） A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 8. 已知函数，如果关于的方程恰有6个不同的实数根，则下列说法一定正确的是（ ）. A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，选错不得分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“”是假命题 C. 若，，，则 D. 若，值域为 10. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点，则下列说法正确的（ ） A. 为“不动点”函数 B. 的不动点为 C. 恰好有两个不动点 D. 若定义在上仅有一个不动点的函数满足，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为__________. 13. 设，则=__________. 14. 函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______ 四､解答题（本题共6大题，共70分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. （3）已知，，试用，表示. 16. 已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合． （1）设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C⊆（A∩B），求a的取值范围： （2）设m为实数，集合，若x∈（A∪B）是x∈D的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由． 17. 第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（且）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效. （1）若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？ （2）若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续有效，试求m的最小值. 18. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $