重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年八年级下学期定时训练数学试卷（四）

2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（下）定时训练数学试卷（四） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0且x≠1 D．x≥0且x≠1 3．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形 4．（4分）估算的结果（　　） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 5．（4分）已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，那么B（6，2）的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（2，6） 7．（4分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（　　） A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α 8．（4分）如图所示，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，⋯，若连续作旋转变换，则第2023次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（　　） A． B．（8088，0） C．（8100，0） D． 9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E．连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（　　） A．10 B．6 C．6 D．3 10．（4分）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：|1﹣2|+|2﹣3|+|1﹣3|＝4． ①对﹣2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种； 以上说法中正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．（4分）16的算术平方根是 　 　． 12．（4分）点P在一次函数y＝﹣3x+2的图象上，且到x轴的距离等于3，则P点的坐标为　 　． 13．（4分）如图，菱形ABCD中，∠A＝108°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为N，连结CP，则∠BPC＝　 　度． 14．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝AB，P为△ABC内一点，且PA＝3，PB＝2，∠BPC＝135°，则△ABC的面积为 　 　． 15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 　 　． 16．（4分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着对角线BD向下折叠，顶点A落在点A′处，A′D交BC于点E，BC的垂直平分线分别交BD，BC，BA′于点F，G，H，连接CF，CH，若AD＝8，AB＝6，则GH的长为 　 　． 17．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为 　 　． 18．（4分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“八喜数”，把数M分解成M＝A×B的过程，称为“八喜分解”．例如572＝22×26；22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，故572是“八喜数”．把一个“八喜数”M进行“八喜分解“，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B之差记为Q（M），令，当能被8整除时，则满足条件的M的最大值与最小值的差是 　 　． 三、解答题（共78分） 19．（20分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（8分）学习了矩形的判定后，小蒋对等腰三角形底边上的高和底角顶点到顶角外角平分线的距离的数量关系进行了拓展性研究．请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作等腰三角形ABC的外角∠CAM的角平分线AN，再过点C作CH⊥AN于点H．（只保留作图痕迹） 已知：如图，三角形ABC中AC＝AB，AD是底边BC上的高，AN平分∠CAM，CH⊥AN于点H．求证：AD＝CH． 证明： ∵AN平分∠CAM， ∴． ∵AC＝AB，AD是底边BC上的高， ∴①　 　＝，∠ADC＝90°． 又∵∠BAC+∠CAM＝180°， ∴＝②　 　． 又∵CH⊥AN于点H， ∴③　 　＝90°． ∴四边形ADCH 为矩形． ∴AD＝CH． 小蒋进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形底边上的高等于④　 　． 21．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长． 22．（10分）重庆市涪陵区是中国规模最大、最集中的榨菜产区，享有中国“榨菜之乡“的美誉．已知3件鲜脆榨菜丝和4件麻辣萝卜干的进价共240元，5件鲜脆榨菜丝和2件麻辣萝卜干的进价共260元． （1）请分别求出每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价． （2）某特产店计划用不超过5600元购进鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干共150件，且鲜脆榨菜丝的数量不少于麻辣萝卜干数量的，在销售过程中，每件鲜脆榨菜丝的售价为50元，每件麻辣萝卜干的售价为42元．为了方便顾客选择喜欢的口味，特产店拿出一件鲜脆榨菜丝和一件麻辣萝卜干作为样品让顾客免费品尝（此样品不再销售给顾客）．若剩下的特产全部都卖完，该特产店应如何进货，可使利润最大？最大利润为多少元？ 23．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2AD＝4．点P从C出发，沿着折线CB→BA运动，到达点A停止运动．设点P运动的路程为x，连接DP，记△DPC的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象，当△DPC的面积大于四边形ABCD面积的时，直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线BC交x轴于点． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，过点A的直线交线段BC于点M，且满足△ABM与△ACM的面积比为4：5，点E和点F分别是直线AM和x轴上的两个动点，当CE+EF的值最小时，求出点M坐标及CE+EF的最小值． （3）如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线OB方向平移2个单位得到点M'，将△BOC沿着射线MA方向平移2个单位得到△B'O'C'，若点Q是直线AB上的一个动点，当△M′O′Q是以M′Q为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点Q的横坐标． 25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为Rt△ABC的角平分线． （1）如图1，若AD+AC＝BC，求出∠ADC的度数； （2）如图2，当AC≠BC时，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得线段BE．点F是线段BC上一点，且CF＝CD，连接EF，当∠CEF＝∠CBE，请判断AC，CD与BC的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当时，N为线段CD上一动点，F为BC的中点，连接NF，将线段NF绕点F顺时针旋转90°得线段FN'．H为直线AB上一动点，连接FH，将△AHF沿FH翻折至△ABC所在平面内，得到△A'FH，连接A'N，A'N'，NN'．当FA'﹣FN'最大时，直接写出△A'NN'的面积的最大值． 2023-2024学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（下）定时训练数学试卷（四） 参考答案与试题解析 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（4分）已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0且x≠1 D．x≥0且x≠1 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到x≥0且，进行计算即可得到答案． 【解答】解：根据题意得：x≥0且， 解得：x≥0且x≠1， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，是解题的关键． 3．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠BAO＝∠DAO时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是菱形 【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCA， ∵∠BAO＝∠DAO， ∴∠BAO＝∠BCA， ∴AB＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 4．（4分）估算的结果（　　） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【分析】先根据二次根式的除法法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可． 【解答】解：∵ ＝ ＝， 且， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握相关运算法则并正确进行无理数的估算是解题的关键． 5．（4分）已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小 ∴k＜0 又∵kb＜0 ∴b＞0 ∴此一次函数图象过第一，二，四象限． 故选：A． 【点评】熟练掌握一次函数的性质．k＞0，图象过第1，3象限；k＜0，图象过第2，4象限．b＞0，图象与y轴正半轴相交；b＝0，图象过原点；b＜0，图象与y轴负半轴相交． 6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，那么B（6，2）的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（2，6） 【分析】过B作BC⊥OA于C，过B′作B′D⊥x轴于D，构建△OB′D≌△BOC，即可得出答案． 【解答】解：如图，过B作BC⊥OA于C，过B′作B′D⊥x轴于D， ∴∠BCO＝∠B′DO＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， 由旋转的性质可知，∠B′OB＝90°，OB＝OB′， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3； 在△OB′D和△BOC中， ， ∴△OB′D≌△BOC（AAS）， ∴B′D＝OC，OD＝BC， 又∵B（6，2），即BC＝2，OC＝6， ∴B′D＝6，OD＝2， ∴B′（﹣2，6）． 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的判定和性质，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 7．（4分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（　　） A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α 【分析】证出△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，得出∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，证明△AEF是等边三角形，得出∠AFE＝60°，可得出答案． 【解答】解：连接AC，EF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AB∥CD． ∴∠B+∠BCD＝180°． ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°． ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC． ∴∠ACF＝∠B＝60°．∠CAD＝60°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE． ∴∠BAE＝∠CAF＝α． ∴△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α， ∴∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF， ∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AFE＝60°， ∵∠AFC＝∠FAD+∠D， ∴∠EFC＝∠FAD＝60°﹣α， ∴∠CEF＝α， 不能证出∠AFD＝90°﹣α， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，利用菱形的性质进而得出△ABE≌△ACF是解题的关键． 8．（4分）如图所示，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④，⋯，若连续作旋转变换，则第2023次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（　　） A． B．（8088，0） C．（8100，0） D． 【分析】观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，然后求出一个循环组旋转过的距离，即可得解． 【解答】解：∵A（﹣3，0），B（0，4）， ∴， 由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，三角形④的直角顶点的坐标为（12，0）， 这样旋转6次直角顶点是（24，0），再旋转一次到三角形⑦，直角顶点仍然是（24，0），⋯， 题中旋转变换规律是每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合， ∵2023÷3＝674⋯1， ∴674×12＝8088，再翻转一次，直角顶点不变， ∴第2023次旋转后的三角形的直角顶点的坐标为（8088，0）， 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形变化—旋转，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题的关键． 9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E．连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（　　） A．10 B．6 C．6 D．3 【分析】由平行四边形的性质得∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝12，AD∥BC，再证∠ABE＝∠AEB，则AE＝AB＝12，过点E作EF⊥CD于点F，则∠FED＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得DF＝3，则EF＝3，CF＝9，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝12，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝12， ∵AE＝2ED， ∴2ED＝12， ∴ED＝6， 如图，过点E作EF⊥CD于点F， 则∠EFC＝∠EFD＝90°， ∴∠FED＝90°﹣∠D＝90°﹣60°＝30°， ∴DF＝ED＝3， ∴EF＝＝＝3，CF＝CD﹣DF＝12﹣3＝9， ∴CE＝＝＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 10．（4分）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：|1﹣2|+|2﹣3|+|1﹣3|＝4． ①对﹣2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种； 以上说法中正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【解答】解：①对﹣2，3，5，9进行“差绝对值运算”得：|﹣2﹣3|+|﹣2﹣5|+|﹣2﹣9|+|3﹣5|+|3﹣9|+|5﹣9|＝5+7+11+2+6+4＝35， 故①正确； ②对x，，5进行“差绝对值运算”得：＝， ∵表示的是数轴上点x到和5的距离之和， ∴的最小值为， ∴x，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确； 对a，b，c进行“差绝对值运算”得：|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|， 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b+a﹣c+b﹣c＝2a﹣2c； 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b+a﹣c﹣b+c＝2a﹣2b； 当a﹣b≥0，a﹣c≤0，b不可能≥c； 当a﹣b≥0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b﹣a+c﹣b+c＝2c﹣2b； 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣a+c﹣b+c＝﹣2a+2c； 当a﹣b≤0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b+a﹣c+b﹣c＝2b﹣2c； 当a﹣b≤0，a﹣c≥0，b不可≤c； 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣a+c+b﹣c＝﹣2a+2b； a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种， 故③不正确， 综上，故只有1个正确的． 故选：B． 【点评】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．（4分）16的算术平方根是 　4　． 【分析】运用平方与算术平方根的互逆运算关系进行求解． 【解答】解：∵42＝16， ∴16的算术平方根是4， 故答案为：4． 【点评】此题考查了实数算术平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用平方与算术平方根的互逆运算关系． 12．（4分）点P在一次函数y＝﹣3x+2的图象上，且到x轴的距离等于3，则P点的坐标为　或　． 【分析】与x轴的距离等于3，那么点的纵坐标为±3，代入一次函数可得其横坐标． 【解答】解：和x轴的距离等于3的点的纵坐标为±3， 当y＝3时，x＝﹣； 当y＝﹣3时，x＝， 则P点的坐标为：（﹣，3），（，﹣3）， 故答案为：（﹣，3），（，﹣3）． 【点评】此题主要考查了考查一次函数图象上的点的坐标的特点；用到的知识点为：点到x轴的距离等于此点的纵坐标的绝对值；点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式． 13．（4分）如图，菱形ABCD中，∠A＝108°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为N，连结CP，则∠BPC＝　72　度． 【分析】连接AP，先根据∠A＝108°与菱形的性质求出∠ADB＝36°，再利用PN垂直平分AD，进一步得到∠PAD＝∠ADB＝36°，利用三角形外角得到∠APB＝72°，再通过△ABP≌△CBP，得出∠BPC＝∠APB＝72°． 【解答】解：连接AP，如图所示， ∵四边形ABCD是菱形． ∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝． ∴∠ADB＝∠ABD． ∵∠BAD＝108°． ∴∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝36°． ∵PN垂直平分AD． ∴PD＝PA． ∴∠PAD＝∠ADB＝36°． ∴∠BPA＝∠PAD+∠ADB＝72°． 在△ABP与△CBP中， ． ∴△ABP≌△CBP（SAS）． ∴∠BPC＝∠BPA＝72°． 故答案为：72． 【点评】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 14．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝AB，P为△ABC内一点，且PA＝3，PB＝2，∠BPC＝135°，则△ABC的面积为 　　． 【分析】将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△DBA，则BD＝BP＝2，∠PBD＝90°，∠BDA＝∠BPC＝135°，所以∠BPD＝∠BDP＝45°，PD＝＝2，则∠ADP＝∠BDA﹣∠BDP＝90°，AD＝PC＝＝1，因为CD＝PC+PD＝1+2，所以AC2＝AD2+CD2＝10+4，由BC2+AB2＝2AB2＝AC2＝10+4，求得S△ABC＝AB2＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△DBA，则△DBA≌△PBC， ∴BD＝BP＝2，∠PBD＝90°，∠BDA＝∠BPC＝135°， ∴∠BPD＝∠BDP＝45°，PD＝＝＝2， ∴∠ADP＝∠BDA﹣∠BDP＝135°﹣45°＝90°， ∵AP＝3， ∴AD＝PC＝＝＝1， ∵∠BPD+∠BPC＝45°+135°＝180°， ∴C、P、D三点在同一条直线上， ∴CD＝PC+PD＝1+2， ∴AC2＝AD2+CD2＝12+（1+2）2＝10+4， ∵∠ABC＝90°，BC＝AB， ∴BC2+AB2＝2AB2＝AC2＝10+4， ∴AB2＝5+2， ∴S△ABC＝BC•AB＝AB2＝， 故答案为：． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 　13　． 【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果． 【解答】解：如图，连接BP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AP＝CQ， ∴AD﹣AP＝BC﹣CQ， ∴DP＝QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB＝DQ， ∴PC+QD＝PC+PB， ∴PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 如图，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， ∴PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5， ∴CE＝＝13． ∴PC+PB的最小值为13． ∴PC+DQ的最小值为13． 故答案为：13． 【点评】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 16．（4分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着对角线BD向下折叠，顶点A落在点A′处，A′D交BC于点E，BC的垂直平分线分别交BD，BC，BA′于点F，G，H，连接CF，CH，若AD＝8，AB＝6，则GH的长为 　　． 【分析】证明△A'BE≌△CDE（AAS），得出A′E＝CE，BE＝DE，设CE＝t，则BE＝8﹣t＝DE，得出t2+62＝（8﹣t）2，解得，连接EH．设A'H＝x，则BH＝6﹣x，由勾股定理求出x即可得出答案． 【解答】解：∵将一张长方形纸片ABCD沿着对角线BD向下折叠， ∴A′B＝AB＝CD＝6，∠A′BD＝∠ABD＝∠CDB，∠BEA'＝∠DEC，∠A'＝∠DCE＝90°， ∴△A'BE≌△CDE（AAS）， ∴A′E＝CE，BE＝DE， 设CE＝t，则BE＝8﹣t＝DE， 在Rt△DCE 中，CE2+CD2＝DE2， ∴t2+62＝（8﹣t）2， 解得， ∴， ∵HF是BC的垂直平分线， ∴BG＝CG＝4， ∴， 连接EH．设A'H＝x，则BH＝6﹣x， 在Rt△BGH中，GH2＝BH2﹣BG2＝（6﹣x）2﹣16， 在Rt△A'EH中，， 在Rt△EGH中，GH2+GE2＝EH2， ∴， 解得， ∴A'H＝， ∴BH＝6﹣＝， ∴GH＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 17．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为 　8　． 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集确定a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负数解进一步确定a的取值，最后求和即可． 【解答】解：， 解不等式①得，x≤a， 解不等式②得，x＜5， ∵关于x的不等式组的解集为x≤a， ∴a＜5， ， 方程可化为， 方程两边同乘2y﹣1得，4+a﹣3＝2y﹣1， 解得y＝， ∵关于y的分式方程有非负数解， ∴且， 解得a≥﹣2且a≠﹣1， ∴﹣2≤a＜5且a≠﹣1， 又∵a为整数， ∴a＝﹣2，0，1，2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣2+0+1+2+3+4＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集以及分式方程的解的情况． 18．（4分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“八喜数”，把数M分解成M＝A×B的过程，称为“八喜分解”．例如572＝22×26；22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，故572是“八喜数”．把一个“八喜数”M进行“八喜分解“，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B之差记为Q（M），令，当能被8整除时，则满足条件的M的最大值与最小值的差是 　3528　． 【分析】设A的十位数为a，个位数为b，则B为10a+8﹣b，根据G（M）能被8整除求出a的可能的值，再由a的值求出b的值，即可得出答案． 【解答】解：设A的十位数为a，个位数为b， 则A＝10a+b，B＝10a+8﹣b， ∴A+B＝20a+8，|A﹣B|＝|2b﹣8|， ∵能被8整除， ∴，k为整数， ∴5a+2＝（|b﹣4|）4k＝4k（|b﹣4|）， ∴5a+2是4的倍数， ∴满足条件的a有2，6， 若a＝2，则 为整数， ∴， ∴|b﹣4|是3的因数， ∴b﹣4＝﹣3，﹣1，1，3， ∴满足条件的b有1，3，5，7， ∴A＝21，B＝27或A＝23，B＝25或A＝25，B＝23或A＝27，B＝21， ∴A×B＝567或575， 若a＝6，则 为整数， ∴， ∴|b﹣4|是8的因数， ∴b﹣4＝﹣8，﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，8，又自然数M的个位数字不为0， ∴满足条件的b有2，3，5，6， ∴A＝62，B＝66或A＝63，B＝65或A＝65，B＝63或A＝66，B＝62， ∴A×B＝62×66＝4092或4095， 综上，M的值为567或575或4092或4095． 所以M的最大值与最小值的差＝4095﹣567＝3528． 故答案为：3528． 【点评】本题考查了因式分解的新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“八喜数”含义，能把A和B用含a和b的式子表示出来． 三、解答题（共78分） 19．（20分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先算二次根式的乘除，零指数幂，利用二次根式的性质化简，再合并即可； （2）先算负整数指数幂、零指数幂，利用二次根式的性质化简和绝对值，再合并即可； （3）根据分式的减法法则计算即可； （4）根据分式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝2； （2）原式＝ ＝； （3）原式＝ ＝ ＝ ＝； （4）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】此题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解此题的关键． 20．（8分）学习了矩形的判定后，小蒋对等腰三角形底边上的高和底角顶点到顶角外角平分线的距离的数量关系进行了拓展性研究．请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作等腰三角形ABC的外角∠CAM的角平分线AN，再过点C作CH⊥AN于点H．（只保留作图痕迹） 已知：如图，三角形ABC中AC＝AB，AD是底边BC上的高，AN平分∠CAM，CH⊥AN于点H．求证：AD＝CH． 证明： ∵AN平分∠CAM， ∴． ∵AC＝AB，AD是底边BC上的高， ∴①　∠CAD　＝，∠ADC＝90°． 又∵∠BAC+∠CAM＝180°， ∴＝②　90°　． 又∵CH⊥AN于点H， ∴③　∠AHC　＝90°． ∴四边形ADCH 为矩形． ∴AD＝CH． 小蒋进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形底边上的高等于④　等于底边的端点到等腰三角形的顶角的外角的平分线的距离　． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明四边形ADCH是矩形即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵AN平分∠CAM， ∴． ∵AC＝AB，AD是底边BC上的高， ∴∠CAD＝，∠ADC＝90°． 又∵∠BAC+∠CAM＝180°， ∴＝90°． 又∵CH⊥AN于点H， ∴∠AHC＝90°． ∴四边形ADCH 为矩形． ∴AD＝CH． 研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形底边上的高等于底边的端点到等腰三角形的顶角的外角的平分线的距离． 故答案为：∠CAD，90°，∠AHC，等于底边的端点到等腰三角形的顶角的外角的平分线的距离． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意正确作出图形． 21．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长． 【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△FAE≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CD， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BD＝BC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）解：∵四边形ADBF是菱形， ∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积， ∵点D是BC的中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40， ∴AB•AC＝40， ∴×8•AC＝40， ∴AC＝10， ∴AC的长为10． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 22．（10分）重庆市涪陵区是中国规模最大、最集中的榨菜产区，享有中国“榨菜之乡“的美誉．已知3件鲜脆榨菜丝和4件麻辣萝卜干的进价共240元，5件鲜脆榨菜丝和2件麻辣萝卜干的进价共260元． （1）请分别求出每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价． （2）某特产店计划用不超过5600元购进鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干共150件，且鲜脆榨菜丝的数量不少于麻辣萝卜干数量的，在销售过程中，每件鲜脆榨菜丝的售价为50元，每件麻辣萝卜干的售价为42元．为了方便顾客选择喜欢的口味，特产店拿出一件鲜脆榨菜丝和一件麻辣萝卜干作为样品让顾客免费品尝（此样品不再销售给顾客）．若剩下的特产全部都卖完，该特产店应如何进货，可使利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）设每件鲜脆榨菜丝的进价为x元，每件麻辣萝卜干的进价为y元，根据“3件鲜脆榨菜丝和4件麻辣萝卜干的进价共240元，5件鲜脆榨菜丝和2件麻辣萝卜干的进价共260元”列出方程组，解方程组即可； （2）设该特产店购进鲜脆榨菜丝m件，则购进麻辣萝卜干（150﹣m）件，获得利润为w元，先根据购进鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的费用不超过5600元，且鲜脆榨菜丝的数量不少于麻辣萝卜干数量的，列出不等式组，求出自变量的取值范围，再根据特产店的利润＝销售脆榨菜丝和麻辣萝卜干利润之和列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设每件鲜脆榨菜丝的进价为x元，每件麻辣萝卜干的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每件鲜脆榨菜丝的进价为40元，每件麻辣萝卜干的进价为30元； （2）设该特产店购进鲜脆榨菜丝m件，则购进麻辣萝卜干（150﹣m）件，获得利润为w元， 根据题意得：， 解得90≤m≤110， 又w＝（50﹣40）（m﹣1）﹣40+（42﹣30）（150﹣m﹣1）﹣30＝10（m﹣1）+12（149﹣m）﹣70＝10m﹣10+1788﹣12m﹣70＝﹣2m+1708， ∵﹣2＜0， ∴当m＝90时，w最大，最大值为1528， ∴当购进鲜脆榨菜丝90件，购进麻辣萝卜干60件时，可使利润最大，最大利润为1528元． 【点评】本题考查一次函数、一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组． 23．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2AD＝4．点P从C出发，沿着折线CB→BA运动，到达点A停止运动．设点P运动的路程为x，连接DP，记△DPC的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象，当△DPC的面积大于四边形ABCD面积的时，直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【分析】（1）分当0≤x≤4时，当4＜x≤7时两种情况列出函数解析式，写出自变量x的取值范围即可； （2）根据函数解析式，画出函数图象，可从增减性方面写出一条性质即可； （3）先求出四边形ABCD面积的是4，再根据图象中y＞4时，自变量的取值范围写出即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤4时， y＝， 当4＜x≤7时， PB＝x﹣4，AP＝7﹣x， ∵BC＝2AD＝4． ∴AD＝2， ∴y＝S四边形ABCD﹣S△PBC﹣S△PAD ＝ ＝ ＝﹣x+10， ∴y关于x的函数关系式为：y＝ （2）列表： x 0 4 7 y 0 6 3 画该函数的图象如下： 函数性质：答案不唯一，比如： ①当0≤x≤4时，y随x的增大而增大， ②当4＜x≤7时，y随x的增大而减小； （写出一条即可）． （3）∵四边形ABCD面积＝， ∴四边形ABCD面积的＝4， 观察图象，y＞4时，自变量的取值为：2.7＜x＜6． （答案不唯一，只要误差不超过0.2即可）． 故答案为：2.7＜x＜6． 【点评】本题考查研究函数的一般方法，解答时涉及分段函数，一次函数，图形面积计算，代数式运算，掌握研究函数的一般方法是解题的关键． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线BC交x轴于点． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，过点A的直线交线段BC于点M，且满足△ABM与△ACM的面积比为4：5，点E和点F分别是直线AM和x轴上的两个动点，当CE+EF的值最小时，求出点M坐标及CE+EF的最小值． （3）如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线OB方向平移2个单位得到点M'，将△BOC沿着射线MA方向平移2个单位得到△B'O'C'，若点Q是直线AB上的一个动点，当△M′O′Q是以M′Q为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点Q的横坐标． 【分析】（1）通过直线AB的解析式可求出点B的坐标，已知点C的坐标，用待定系数法可求出直线BC的解析式． （2）△ABM与△ACM的高相等，底边之比等于面积之比，，通过成比例线段可求出点M的坐标，经计算可得射线AM是∠BAC的角平分线，在射线AB上截取AC′＝AC，点C′到x轴的距离，即为CE+EF的最小值． （3）由平移的性质可知直线OO′和直线AM斜率相同，可求出点O′和点M′的坐标，点Q在直线AB上，设点Q的坐标为（t，），当QM′＝QO′或QM′＝M′O时，△M′O′Q是以M′Q为腰的等腰三角形，用两点间的距离公式，即可求解． 【解答】解：（1）∵直线分别交x轴、y轴于点A、点B． ∴令x＝0，得y＝9． ∴点B的坐标为（0，9）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b． 代入点B（0，9）和点． 得． 解得． ∴直线BC的解析式为y＝x+9． （2）过点M分别作x轴和y轴的垂线，分别交x轴和y轴于点G和点H． ∵点B（0，9）和点． ∴OB＝9，OC＝． ∵△ABM与△ACM的面积比为4：5． ∴． 根据平行线成比例线段可得：． 即． 解得OH＝5． 同理可得OG＝2． ∴点M的坐标为（2，5）． ∵点A是直线与x轴的交点， ∴令y＝0，解得x＝﹣3． ∴点A的坐标为（﹣3，0）． 又∵点M（2，5），点． ∴直线AB的斜率KAB＝，直线AM的斜率KAM＝， AC＝． ∴∠BAC＝60°，∠MAC＝30°． ∴∠BAE＝∠MAC． 在射线AB上取点C′，使得AC′＝AC，连接C′E，过点C′作x轴的垂线，交x轴于点I， 在△C′AE和△CAE中． ． ∴△C′AE≌△CAE（SAS）． ∴C′E＝CE，C′A＝CA． 由三角函数可得，sin∠BAC＝＝＝sin60°＝． 解得：C′I＝． ∴CE+EF＝C′E+EF≥C′I＝． 故点M的坐标为（2，5）；CE+EF的最小值为． （3）设B′O′交x轴于点J，O′C交y轴于点K． 由平移的性质可得OO′∥AM，B′O′∥BO，O′C′∥OC，M′M∥OB． ∴∠OO′K＝60°，点M′的坐标为（2，7）． 由三角函数可得，sin∠OO′K＝． cos∠OO′K＝． 解得：OK＝1，O′K＝． ∴点O′的坐标为：（﹣，﹣1）． ∵点Q在直线AB上，设Q点的坐标为（t，）． 由两点间距离公式： M′Q＝＝． QO′＝＝． M′O′＝＝． 当M′Q＝QO′时，＝． 解得t＝﹣． 当M′Q＝M′O′时，． 解得t1＝，t2＝﹣． 故点Q的横坐标为：或﹣或﹣． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行线成比例线段，点到直线的距离垂线段最短，平移的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的判定条件，解题的关键是：（1）会用待定系数法求一次函数的解析式；（2）能够通过角平分线找到已知点的对称点，熟练应用点到直线的距离垂线段最短；（3）熟悉平移的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的判定条件，能够用两点间的距离公式列式求解． 25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为Rt△ABC的角平分线． （1）如图1，若AD+AC＝BC，求出∠ADC的度数； （2）如图2，当AC≠BC时，将线段BD绕点B顺时针旋转90°得线段BE．点F是线段BC上一点，且CF＝CD，连接EF，当∠CEF＝∠CBE，请判断AC，CD与BC的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当时，N为线段CD上一动点，F为BC的中点，连接NF，将线段NF绕点F顺时针旋转90°得线段FN'．H为直线AB上一动点，连接FH，将△AHF沿FH翻折至△ABC所在平面内，得到△A'FH，连接A'N，A'N'，NN'．当FA'﹣FN'最大时，直接写出△A'NN'的面积的最大值． 【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，证明△ACD≌△ECD，得出∠A＝∠CED，AD＝DE，由已知得出BE＝AD，进而得出2∠B＝∠A，即可求解； （2）连接DE交CB于点G，证明∠5＝∠1，然后证明△CEF∽△CBE，得出CE2＝CB⋅CF，等量代换得出CE2＝CD⋅CB，证明△ACD≌△ECF（ASA），得出AC＝CE，即可得出AC2＝CD⋅CB； （3）勾股定理得出，FA'﹣FN'最大时即FN取得最小值时，当FN⊥CD时，FN最小，如图所示，设NN'与BC交于点Q，依题意，FN＝FN'，且∠NFN'＝90°，则，，当FA'+FQ最大时，即FA'与BC重合时，取得最大值，此时，进而根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，在CB上截取CE＝CA， ∵CD为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ECD＝45°， 又∵CD＝CD， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴∠A＝∠CED，AD＝DE， ∵AD+AC＝BC，CE+BE＝BC， ∴BE＝AD， ∴DE＝BE， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠CED＝∠B+∠EDB＝2∠B＝∠A， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝30°+45°＝75°； （2）如图所示，连接DE交CB于点G， ∵CD为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°， ∴∠1＝∠2＝45°， ∵BD＝BE，∠DBE＝90°， ∴∠GDB＝∠GEB＝45°＝∠2， ∵∠CGD＝∠EGB， ∴△CGD∽△EGB， ∴，即， 又∵∠CGE＝∠DGB， ∴△CGE∽△DGB， ∴∠5＝∠GDB＝45°， ∴∠5＝∠1， ∵∠CEF＝∠CBE，即∠3＝∠4， ∵∠ECF＝∠BCE， ∴△CEF∽△CBE， ∴， ∴CE2＝CB⋅CF， 又∵将线段BD绕点B顺时针旋转90°得线段BE，CF＝CD， ∴BD＝BF，∠4+∠ABC＝90°， ∴CE2＝CD⋅CB， 又∵∠ACB＝90°，则∠A+∠ABC＝90°， ∴∠4＝∠A， 又∵∠3＝∠4， ∴∠3＝∠A， 又∵∠5＝∠1＝45°，CD＝CF， ∴△ACD≌△ECF（ASA）， ∴AC＝CE， ∴AC2＝CD⋅CB； （3）∵，∠ACB＝90°， ∴， ∵F是BC的中点， ∴， ∴， ∵FA'﹣FN'最大时即FN取得最小值时， 当FN⊥CD时，FN最小，如图所示，设NN'与BC交于点Q， 依题意，FN＝FN'，且∠NFN'＝90°， 则，， ∴△A'NN'的面积最大时，为NN'边上的高取得最大值， ∴当FA'+FQ最大时，即FA'与BC重合时，取的最大值， 此时， ∴△A'NN'的面积的最大值为． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/12 9:00:57；用户：王立研；邮箱：orFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@weixin.jyeoo.com；学号：25840186 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$