11.2 乘法公式（第3课时 乘法公式综合)（教学课件)-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）七年级数学上册 第十一章 整式的乘除 第3课时 乘法公式综合 11.2 乘法公式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1．平方差公式的推导：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2. 2．平方差公式： (1)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． (2)符号语言：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 知识点1：平方差公式(重点) 复习导入 3．平方差公式的特征： (1)左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b和－b)互为相反数. (2)右边是乘式中两项的平方差． 注：公式中的a，b可以是任意的数或代数式． 复习导入 如图，若在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为a2－b2.将剩余部分拼成一个长方形，则这个长方形的长为(a＋b)，宽为(a－b)，面积为(a＋b)(a－b)．所以可以得出(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 知识点2：平方差公式的几何意义(难点) 复习导入 1．完全平方公式的推导： (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2； (a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－2ab＋b2. 知识点3：完全平方公式(重难点) 注：2ab的符号取决于左边二项式中两项乘积的符号． 复习导入 2．完全平方公式 (1)文字语言：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． (2)符号语言：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 注：1.为了更方便地记住完全平方公式的结构和结果，我们可以用口诀来记忆：“首”平方，“尾”平方，“首尾”2倍放中央． 2．公式中的a，b可以表示任何数或代数式． 3．运用完全平方公式时需要注意以下几点： (1)明确原式是两数和的平方运算还是两数差的平方运算，找出对应的a和b； (2)完全平方公式的结果为两个数的平方和再加上(或减去)这两个数的积的2倍，不能忘记2倍乘积项． (1)验证(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， 如图①所示，大正方形的面积可表示为(a＋b)2，大正方形的面积还可以表示为四个部分的面积之和，则有 (a＋b)2＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2. (2)验证(a－b)2＝a2－2ab＋b2，如图②，同理，易得 (a－b)2＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2. 知识点4：完全平方公式的几何意义(重点) 注：一般地，可以通过不同方法求几何图形的面积来验证完全平方公式． 复习导入 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 知识点5：添括号法则(难点) 注：1.添括号和去括号都只改变式子的形式，不改变式子的值，是恒等变形． 2．添括号是否正确，可以用去括号法则进行检验. 复习导入 解 解 课本例题 课本例题 例7 计算 解 解 例8 利用乘法公式计算： 解 解 课本例题 解 解 课堂练习 2.利用完全平方公式计算： 解 解 课堂练习 3.计算： 解 解 解 1. 下列各式中，与( a － b ＋ c )2的值不相等的是(　A　) A. [ a －( b ＋ c )]2 B. [ a －( b － c )]2 C. [( a － b )＋ c ]2 D. [( a ＋ c )－ b ]2 A 分层练习-基础 2. 在下列式子的变形中，错误的是(　C　) A. ( a2－ b2)＋( a － b )＝ a2－ b2－( b － a ) B. [ a ＋( b ＋ c )][ a －( b ＋ c )]＝( a ＋ b ＋ c )( a － b － c ) C. ( a － d )－( c － b )＝ a － b － c － d D. ( a － b ＋ c )＋( a ＋ b － c )＝2 a C 3. 计算： (1)[( x ＋2)( x －2)]2； 【解】原式＝( x2－4)2＝ x4－8 x2＋16. (2)( m －2 n ＋ p )2； 【解】原式＝( m －2 n )2＋2( m －2 n )× p ＋ p2 ＝ m2－4 mn ＋4 n2＋2 mp －4 np ＋ p2. (3)(2 x － y ＋3)(2 x ＋ y －3)； 【解】原式＝[2 x －( y －3)]·[2 x ＋( y －3)] ＝(2 x )2－( y －3)2＝4 x2－ y2＋6 y －9. (4)(－2 a ＋3 b ＋5 c )(2 a ＋3 b －5 c ). 【解】原式＝[3 b ＋(5 c －2 a )][3 b －(5 c －2 a )] ＝(3 b )2－(5 c －2 a )2＝9 b2－(25 c2－20 ac ＋4 a2)＝9 b2－25 c2＋20 ac －4 a2. 4.利用乘法公式计算： (1)299×301＋1； (2)1122－113×111. 解：(1)299×301＋1＝(300－1)×(300＋1)＋1＝3002－1＋1＝90 000. (2)1122－113×111＝1122－(112＋1)×(112－1)＝1. (3)1012＋992－98×102； 【解】原式＝(100＋1)2＋(100－1)2－(100－2)(100＋2) ＝1002＋200＋1＋1002－200＋1－(1002－4)＝1002＋6 ＝10 006. 分层练习-巩固 5. 如图①，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.(1)图②是将图①中 的阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如 图①，阴影部分的面积是 ；比较图①，图②阴影部分的面积，可以得 到乘法公式 ⁠ ( a ＋ b )( a － b )　 a2－ b2　 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2　 (2)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①( x ＋3 y )( x －3 y )＋(3 y ＋ x )(－ x ＋3 y )； ②1002－98×102. 【解】①( x ＋3 y )( x －3 y )＋(3 y ＋ x )(－ x ＋3 y ) ＝ x2－(3 y )2＋(3 y )2－ x2＝0. ②1002－98×102＝1002－(100＋2)(100－2)＝1002－(1002－22) ＝1002－1002＋4＝4. $$