复习课（第1课时 三角函数）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 复习课 第1课时　三角函数 知识梳理 构建体系 【知识网络】 【要点梳理】 1.角是如何分类的? 提示:任意角可按旋转方向分为正角、零角、负角. 2.象限角如何表示?请完成下表. 3.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,如何表示? 提示:{β|β=2kπ+α,k∈Z}. 4.1弧度的角是怎样定义的?度和弧度怎样转化? 提示:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作 1 rad.180°=π rad. 5.三角函数的定义和符号规律如何?完成下表. 6.三角函数线是怎样的? 提示:设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过点P作PM垂直x轴于点M.由三角函数的定义知,有向线段 分别称为角α的余弦线、正弦线、正切线. 7.同角三角函数的基本关系式有哪些? 8.诱导公式有哪些?请完成下表. 9.正弦、余弦、正切函数的性质有哪些?请完成下表. 10.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期的简图时,如何列表? 提示: 11.如何由函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象? 提示: 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.(　　) (2)角α的三角函数值与其终边上不同于坐标原点的点P的位置无关.(　　) (4)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(　　) × √ × × × (6)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (7)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(　　) (8)y=sin |x|是偶函数.(　　) (10)利用图象变换作图时,“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(　　) (11)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.(　　) × × √ × × × 专题归纳 核心突破 专题整合 专题一　任意角的三角函数的定义及三角函数线 分析:根据解析式有意义列不等式(组),利用三角函数线解不等式. 解答此类题目的关键在于借助单位圆,作出等号成立时对应角的三角函数线,运用运动的观点,找出符合条件的角的范围.在解题过程中实现了一个转化,即把代数问题几何化,体现了数形结合的思想. 专题二　同角三角函数关系式及诱导公式 分析:先化简条件式,再寻找待求式与条件式的关系,从而求值. 通过化简条件能更加清楚地理清条件与结论的关系,为快速找到解题途径创造条件. 专题三　三角函数的图象及变换 【例3】 已知函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数y=g(x)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移 个单位得到的,求函数y=g(x)的解析式. 1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的图象时,确定五个关键点的方法是分别令ωx+φ=0, 2.对于y=Asin(ωx+φ)+b(Aω≠0)的图象变换,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别. 3.由已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法,由图中的最高点或最低点确定A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ. 【变式训练3】 函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|< )的一段图象如图 所示. (1)求此函数解析式; (2)分析该函数图象是如何通过y=sin x的图象变换得来的? 专题四　三角函数的性质 在研究函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ))(Aω≠0)的相关性质时,常将ωx+φ看作一个整体,利用整体代换的思想方法求解. 高考体验 考点一　三角函数的图象及其变换 A.1 B.2 C.3 D.4 由图可知,两函数图象有3个交点.故选C. 答案:C 由题中图象知|AB|=xB-xA= (其中xA,xB分别为点A,B的横坐标),线段AB的垂直平分线对应于正弦曲线y=sin x在y轴右边的第1条对称轴,即直线x= , 考点二　三角函数的性质及其应用 答案:D 答案:A 答案:3 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,r=,则 称为α的正弦,记作sin α 称为α的余弦,记作cos α 称为α的正切,记作tan α 各象限符号 Ⅰ + + + Ⅱ + - - Ⅲ - - + Ⅳ - + - 口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦 三角函数线 有向线段为正弦线 有向线段为余弦线 有向线段为正切线 提示:sin2α+cos2α=1,tan α=. 角 正弦 余弦 正切 口诀 2kπ+α(k∈Z) sin α cos α tan α 函数名不变,符号看象限 π+α -sin α sin α tan α -α -sin α cos α cos α π-α -cos α -cos α -tan α -α cos α sin α — 函数名改变,符号看象限 +α -tan α -sin α — +α -cos α sin α — -α -cos α -sin α — 三角函数 y=sin x y=cos x y=tan x 定义域 R R 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R 三角函数 y=sin x y=cos x y=tan x 对称性 对称轴: x=kπ+(k∈Z) 对称中心: (kπ,0)(k∈Z) 对称轴: x=kπ(k∈Z) 对称中心: (k∈Z) 对称中心: (k∈Z) 周期 2π 2π π 三角函数 y=sin x y=cos x y=tan x 单调性 单调递增区间: (k∈Z) 单调递减区间: (k∈Z) 单调递增区间: [2kπ-π,2kπ](k∈Z) 单调递减区间: [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 单调递增区间: (k∈Z) 奇偶性 奇 偶 奇 x - ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 (3)如果角α终边上点P的坐标为,那么sin α=,cos α=-;同理如果角α终边上点Q的坐标为(x0,y0),那么sin α=y0,cos α=x0.(　　) (5)若α∈R,则tan α=恒成立.(　　) (9)若sin x>,则x>.(　　) 【例1】 求函数f(x)=的定义域. 解:2sin x-≥0,即sin x≥,借助三角函数线得{x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}. 故f(x)=的定义域是[+2kπ,+2kπ](k∈Z). 【变式训练1】 求函数f(x)=的定义域. 解:要使函数f(x)有意义,则 如图所示,结合三角函数线知 即2kπ+≤x<2kπ+(k∈Z). 故f(x)的定义域为(k∈Z). 【例2】 已知=3,求的值. 解:=3,即=3, 解得tan θ=. 故=-3. 【变式训练2】 已知-<x<0,sin x+cos x=. (1)求sin x-cos x的值; (2)求的值. 解:(1)将sin x+cos x=两边平方,得2sin x·cos x=-. ∴(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=. ∵-<x<0, ∴sin x<0,cos x>0,∴sin x-cos x<0. 故sin x-cos x=-. (2)=-. 解:(1) 由题中图象可知A=2,, ∴T=,ω=. 将点N代入y=2sin,得2sin=-2, ∴+φ=2kπ-,φ=2kπ-(k∈Z). ∵|φ|<π,∴φ=-.∴函数的解析式为y=f(x)=2sin. (2)y=2sin=2sin,即y=g(x)的解析式为g(x)=2sin. ,π,,2π. 解:(1)由题中图象知 A=,k==-1, T=2×=π, ∴ω==2.∴y=sin(2x+φ)-1. 当x=时,2×+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z.又|φ|<,∴φ=,∴所求函数的解析式为y=sin-1. (2)把y=sin x的图象向左平移个单位得到y=sin的图象,然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的,得到y=sin的图象,再横坐标保持不变,纵坐标变为原来的得到y=sin的图象, 最后把函数y=sin的图象向下平移1个单位,得到 y=sin-1的图象. 【例4】 已知函数f(x)=2sin+a+1(其中a为常数). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值; (3)求函数f(x)取最大值时x的取值集合. 分析:(1)将2x+看成一个整体,利用y=sin x的单调区间求解. (2)先求x∈时2x+的取值范围,再根据函数的最值求a的值. (3)先求函数f(x)取最大值时2x+的值,再求x的值. 解:(1)由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z),由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z). (2)∵0≤x≤,∴≤2x+, ∴-≤sin≤1, ∴f(x)的最大值为2+a+1=4, ∴a=1. (3)当f(x)取最大值时,2x++2kπ, ∴2x=+2kπ,∴x=+kπ,k∈Z,∴当f(x)取最大值时,x的取值集合是. 【变式训练4】 已知函数f(x)=sin2x++1. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 解:(1)T==π. (2)当x∈时,2x+, 由正弦函数y=sin x在区间上的图象,知 当2x+,即x=时,f(x)取得最大值+1; 当2x+,即x=时,f(x)取得最小值0. 综上,f(x)在区间上的最大值为+1,最小值为0. 1.(2023·全国甲高考)若函数y=f(x)的图象由y=cos(2x+)的图象向左平移个单位得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) 解析:由题意知f(x)=cos[2]=cos=-sin 2x.在平面直角坐标系中画出y=f(x)=-sin 2x与y=x-的大致图象,如图所示. 2.(2023·全国新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　　.  答案:- 解析:对比正弦曲线y=sin x的图象(图略)易知,点对应“五点法”中的第五点,所以ω+φ=2π①. 所以由sin(ωx+φ)=,得两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=,解得ω=4,代入①,得φ=-,所以f(x)=sin,所以f(π)=sin= -sin=-. 3.(2023·全国乙高考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间()上单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=(　　) A.- B.- C. D. 解析:由题意,知函数f(x)的周期T=2()=π,所以|ω|==2,则ω=±2,不妨取ω=2.又由题意,得f()=-1,即sin(2×+φ)=-1,所以+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),所以f(-)=sin[2×(-)+2kπ+]=sin(其中k∈Z).故选D. 4.(2022·全国新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f=(　　) A.1 B. C. D.3 解析:∵y=f(x)的图象关于点中心对称,∴b=2,且sin=0. ∴ω+=kπ,k∈Z,解得ω=,k∈Z. ∵T=,ω>0,<T<π,∴<π,∴2<ω<3.∴当k=4时,ω=符合题意. 故f(x)=sinx++2.∴f=sin+2=1.故选A. 5.(2022·全国乙高考)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　　.  解析:依题意,T=,则f(T)=f=cos(2π+φ)=cos φ=. 又0<φ<π,∴φ=.∴f(x)=cos. 又x=为f(x)的零点, ∴f=cos=0,∴ω++kπ,k∈Z, ∴ω=3+9k,k∈Z.又ω>0,∴ω的最小值为3. $$