第一、二章综合测试卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章《集合与常用逻辑用语》第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末综合测试 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如果集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A. B. C. 8 D. 16 4. “”是“关于的一元二次方程有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如果，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 不等式的解集是 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 11. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的真子集的个数是___________. 13.若关于的不等式的解集为，则的取值集合是____________. 14. 已知正数满足，则最大值是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 . （1）当时，求; （2）若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 16. 已知集合，. （1）若，求实数k的取值范围； （2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 17. （1） 已知 ， 求函数的最大值． （2）求函数的最小值. （3）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 18. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为 （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值． 19. 已知集合中的元素有个且均为正整数，将集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合，即，其中.若集合中元素满足，则称集合为“完美集合”. （1）若集合，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由. （2）若集合为“完美集合”，求正整数的值以及相应的集合. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《集合与常用逻辑用语》第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D C A C C C B ABD ABD BC 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 如果集合，那么（ ） A. B. C. D. 解：根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系可知， ，，或，其中只有D正确. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 解：原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 注意到要否定结论而不是否定条件，所以D选项正确. 3. 设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A. B. C. 8 D. 16 解：由题意，， 由集合的定义可知，集合中有以下元素：①，②，③，④， 根据集合中元素满足互异性去重得， 所以中所有元素之积为. 4. “”是“关于的一元二次方程有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：因为关于的一元二次方程有实数根， 所以，所以或， 因为是集合或的真子集， 所以“”是“关于的一元二次方程有实数根”的充分不必要条件. 5. 如果，则正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 解：取，则，故A错误； 取，则，故B错误； 由于，所以，则，故C正确； 取，则，，故D错误. 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 解：由的不等式的解集为可得， 故可变形为， 不等式等价于，解得， 7. 关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 解：，， 当时，不等式的解集为空集. 当时，不等式的解集为，区间内有三个整数，所以， 当时，不等式的解集为，区间内有三个整数，所以. 综上所述，实数的取值范围是或， 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 解：，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 不等式的解集是 解：因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以， 又因为，所以； A．，故正确； B．因为，所以，故正确； C．因为解集为，所以，故错误； D．因为即为，即，解得，故正确； 10. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 解：对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C，，则，当且仅当，即，时，故C错误； 对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确． 11. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 解：∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的真子集的个数是___________. 解：共5个元素， 则真子集的个数是. 13.若关于的不等式的解集为，则的取值集合是____________. 解：当时，-1<0显然成立；当时，可得. 故的取值集合是. 14. 已知正数满足，则最大值是___________. 解：令，因为，，所以. 则， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以，即，解得， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 . （1）当时，求; （2）若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 解：（1）当时，，所以， 或，所以. （2）因为，所以， 若，则； 综上，. 所以实数m取值范围为. （3）因为，又， ， 当集合时，有：，解得：； 当集合时，有：或， 解得：. 综上所述：实数的取值范围为：. 16. 已知集合，. （1）若，求实数k的取值范围； （2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 解：（1）由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则； 由，则，即，解得. （2）p是q的必要不充分条件等价于. ①当时，，解得，满足. ②当时，原问题等价于（不同时取等号） 解得. 综上，实数k的取值范围是. 17. （1） 已知 ， 求函数的最大值． （2）求函数的最小值. （3）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）因为，可得， 则 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为，所以函数的最大值为． （2）因为，可得， 则， 当且仅当时，即时等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以， 因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是. 18. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为 （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值． 解：（1）由题意得， 当时，，代入上式，得 所以 （2） ， 当且仅当，即时取“=”． 所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为 19. 已知集合中的元素有个且均为正整数，将集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合，即，其中.若集合中元素满足，则称集合为“完美集合”. （1）若集合，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由. （2）若集合为“完美集合”，求正整数的值以及相应的集合. 解：（1）对于集合，取集合、、，则， 三个集合、、两两没有公共元素，且，故集合为“完美集合”， 对于集合，若集合，则存在集合、、， 使得，，且， 记集合所有元素之和为，集合中所有元素之和为，集合所有元素之和为， 则，可得， 故集合不是“完美集合”. （2）因为集合为“完美集合”，由（1）可知，则， 根据定义可知，为中的最大元素，故， 又因为集合中各元素之和为， 所以，集合中的另一个元素为，且为、、、、中的某个数， 所以，的可能取值有、、、、， 当时，则，或，满足定义要求； 当时，则，或，满足定义要求； 当时，则，或，满足定义要求； 当或时，在、、、、中任取两个数，这两个数之和的最大值为， 此时，集合不是“完美集合”. 综上所述，当时，或； 当时，或； 当时，或. 学科网（北京）股份有限公司 $$