第二章　一元二次函数、方程和不等式　章末测试-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末测试 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设全集U为实数集，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. ，或 2. 若为实数，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 5 C. 25 D. 12 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 6. 已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 设，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若a､b､c为实数，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为1 C. 的最大值为3 D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（）的最小值是________． 13. 若，并且，则由小到大的顺序排列是_______． 14. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. （1）已知，求的最小值﹔ （2）已知，，且，求的最小值. 18. 已知的不等式：． （1），求不等式的解集． （2），求不等式的解集． 19. 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元，公司拟投入万元，作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《一元二次函数、方程和不等式》章末测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B B C B A A D ACD ACD BC 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设全集U为实数集，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. ，或 解：，或， ， 又图中阴影部分所表示的集合是， 而，或， 即，或， 2. 若为实数，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 解：对于A，若，则，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当，时，，， ，，，，即，D正确. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：，，故“”是“”的必要不充分条件. 4. 若，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 5 C. 25 D. 12 解：因为，所以， 当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号. 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 解：对于集合，，解得.由于故. 6. 已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 解：因为一元二次不等式的解集为， 所以，，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，的最大值为. 7. 若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 解：由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 故若存在这样的x，y使不等式有解. 即或. 8. 设，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 解：，则， ， 当且仅当，即时，等号成立. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若a､b､c为实数，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 解：A：若，则，故不成立； B：，在中两边同时乘以，得，若两边同时乘以b，得，故，成立； C：在两边同时除以，可得，不成立； D：令，，则有，，，不成立. 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 解：因为的解集为或， 所以不等式对应的二次函数开口向下，所以，A正确； 且是方程的两根， 所以，即，B错误； ，C正确； 即为，不等式两边同除以得： ，解得：， 所以的解集为，D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为1 C. 的最大值为3 D. 最小值为 解：对于A，当时，，故选项A错误； 对于B，因为，即的最小值为1，故选项B正确； 对于C，因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为3，故选项C正确； 对于D，因为，所以， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，即不成立，故等号不成立， 所以最小值不为，故选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（）的最小值是________． 解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值是. 13. 若，并且，则由小到大的顺序排列是_______． 解：由且，则， 由且，则或， 综上，结合，故. 14. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______． 解：由，得． 由题意可得，使得成立， 即，使得成立． ，当且仅当时等号成立，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 解：（1）由， 可得． （2）， ∵，∴，，， ∴，∴． 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 解：（1）因为 当时，，； （2）因为，所以， ①当，即，即时，满足题意， ②当时，由，有，解得， 综合①②得实数a的取值范围为：或 17. （1）已知，求的最小值﹔ （2）已知，，且，求的最小值. 解：（1）， 当且仅当，即时等号成立 （2）， 当且仅当，即，时等号成立. 18. 已知的不等式：． （1），求不等式的解集． （2），求不等式的解集． 解：（1）当时，可化为， 即，即，解得或， 所以当时，的解集为或. （2）可化为 当时，不等式可化为，则； 当时，不等式可化为， 当时，不等式进一步化为，所以或； 当时，不等式进一步化为， 当时，，即，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元，公司拟投入万元，作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 解：（1）设每件定价为t元，依题意得， 整理得，解得． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （2）依题意知当时，不等式有解， 等价于时，有解， 由于， 当且仅当，即时等号成立，所以， 当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 学科网（北京）股份有限公司 $$