7.1.2 弧度制及其与角度制的换算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第七章　三角函数 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 课标定位素养阐释 1.了解弧度制,能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算. 2.掌握弧度制中扇形的面积公式. 3.培养数学抽象和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、弧度制 1.如图,在射线OA上有一点M,OA经旋转后得到角α,此时点M运动的路程为s,路程s与角α有关系吗? 提示:有关系.s越大,|α|越大. 2.(1)用度作单位来度量角的制度称为角度制,规定1°= 60' ,1'= 60″ . (2)①长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. ②在半径为r的圆中,若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则α= . 3.在半径为2的圆周上有一段弧的长度为3,则这段弧所对的圆心角为 rad,圆周角为 rad. 二、弧度制与角度制的换算 1.如图,AB是☉O的直径,∠AOB是平角,它是多少弧度? 提示:圆心角∠AOB所对弧为半圆弧,设圆的半径为r, 三、扇形面积公式 1.已知扇形的弧长为 ,半径为2,则扇形的面积是多少? 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.(　　) (2)1弧度是长度为半径的弧.(　　) (3)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.(　　) (4)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应.(　　) (5)用弧度制度量角,与圆的半径的长短有关.(　　) (6)30 rad=30°.(　　) × × √ √ × × 合作探究 释疑解惑 探究一 角度制与弧度制的互化 (1)将角α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自是第几象限角; (2)将角β1,β2用角度制表示出来,并找出在-720°~0°之间所有与它们终边相同的角. 分析:利用公式180°=π rad实现角度和弧度的互化.利用终边相同的角的表示方法写出与角β1,β2终边相同的角的集合,进而求得满足条件的角. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 设θ=k·360°+108°(k∈Z), ∵-720°≤θ<0°, ∴-720°≤k·360°+108°<0°, ∴k=-2或k=-1, ∴在-720°~0°之间与β1终边相同的角是-612°角和-252°角. 设γ=k·360°-60°(k∈Z),则由-720°≤γ<0°得-720°≤k·360°-60°<0°, ∴k=-1或k=0, ∴在-720°~0°之间与β2终边相同的角是-420°角. 探究一 探究二 探究三 思想方法 角度制与弧度制互化的原则及方法: 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 将下列角度与弧度进行互化. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 用弧度制表示角的集合 【例2】 用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的正半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如下图). 分析:观察图形的阴影部分→确定角的始边和终边→写出集合 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.根据已知图形写出区域角的集合的步骤: (1)仔细观察图形. (2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围的角. 2.注意事项:用不等式表示区域角的范围时,要注意角的集合形式是否能够合并,这一点容易出错. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练2】 用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的正半轴,终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 扇形面积公式的应用 【例3】 已知扇形的面积为1,周长为4,求扇形圆心角的弧度数. 探究一 探究二 探究三 思想方法 将例3中扇形的面积改为S,周长仍为定值4,当S取得最大值时圆心角的弧度数是多少? 解:设扇形的半径为R,弧长为l. ∵2R+l=4,∴l=4-2R, 易知当R=1时,S有最大值,此时l=4-2=2, 即当S取得最大值时扇形的圆心角的弧度数为2. 探究一 探究二 探究三 思想方法 联系扇形的半径r、弧长l和圆心角α的两个公式:一是面积 ,二是l=αr,如果已知其中两个,那么就可以求出另一个. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 (1)若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为(　　) A.40π cm2 B.80π cm2 C.40 cm2 D.80 cm2 (2)已知扇形的周长为20,面积为9,求扇形圆心角的弧度数. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 思想方法 利用函数思想求扇形面积的最值 【典例】 已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 分析:正确使用扇形弧长公式及面积公式. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 当扇形的周长一定时,其面积有最大值,最大值的求法是先把面积S转化为半径r的函数,再求函数的最值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 如图,某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,其截面形状是扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成).已知OA=10 m,OB=x m(0<x<10),线段BA,CD与 的长度之和为30 m,圆心角为θ弧度. (1)求角θ关于x的函数解析式; (2)记铭牌的截面面积为y m2,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.在半径不相等的两圆中,1 rad的圆心角所对的(　　) A.弦长相等 B.弧长相等 C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径 答案:D 2.若圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长,则圆弧所对圆心角的弧度数为(　　) 答案:C 答案:AC 答案:-600° 5.用弧度表示出与-780°角终边相同的角的集合为　　　　　.  6.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,求扇形的圆心角的弧度数. 解:设扇形的半径为R cm,弧长为l cm,则l+2R=6,∴l=6-2R. 即R2-3R+2=0,解得R=1或R=2. 当R=1时,l=4;当R=2时,l=2. ∴扇形的圆心角α=4或α=1. 则=πr,故∠AOB==π弧度. 2.(1)设一个角的角度数为n,弧度数为α,则 . (2)180°=πrad. 3.(1)120°=rad; (2)-=-60°. 提示:扇形的圆心角为 rad=60°, 故S扇=×π×22=. 2.若扇形的弧长为l,半径为r,则扇形面积S= lr . 3.已知扇形的圆心角为1 rad,半径为1,则扇形面积S= . 【例1】 设α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-. 解:(1)∵180°=π rad, ∴-570°=-=-, ∴α1=-=-2×2π+. 同理α2=750°==2×2π+. ∴α1是第二象限角,α2是第一象限角. (2)β1=×180°=108°. β2=-=-×180°=-60°. (1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°= rad和1 rad=°进行换算. (2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=°;n°=n· rad. (1)112°30';　　(2)-. 解:(1)112°30'=°=. (2)-=-°=-75°. 解:(1)如题图①,以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z);以OB为终边的角为 -+2kπ(k∈Z). 所以终边落在阴影部分内的角的集合为 . (2)如题图②,以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z);以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z);不妨设终边落在右边阴影部分的角的集合为M1,终边落在左边阴影部分的角的集合为M2,则M1=, M2=. 所以终边落在阴影部分的角的集合为M1∪M2= 解:∵30°=,210°=, ∴角θ的集合为, 即∪{θ(2k+1)π<θ<+(2k+1)π,k∈Z}, ∴角θ的集合为. 解: 设扇形的半径为R,弧长为l. ∵2R+l=4,∴l=4-2R,根据扇形面积公式S=lR,得1=(4-2R)·R,∴R=1,∴l=2, ∴扇形圆心角α==2. 即扇形的圆心角的弧度数为2. ∴S=lR=(4-2R)R=-R2+2R=-(R-1)2+1. ∴扇形圆心角α==2. S=lr=|α|r2 (1)解析:∵72°=,∴S扇形=×202=80π(cm2). 答案:B (2)解:设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为θ,则l+2r=20, ∴l=20-2r,由lr=9,得(20-2r)r=9, ∴r2-10r+9=0,∴(r-1)(r-9)=0,∴r=1或r=9. 当r=1时,l=18,则θ==18>2π(舍). 当r=9时,l=2,则θ=, 故扇形圆心角的弧度数为. 解:设扇形的圆心角为θ,半径为r cm,弧长为l cm,面积为S cm2,则l+2r=40, ∴l=40-2r. ∴S=lr=×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100. ∴当r=10时,扇形的面积最大,最大为100 cm2, 此时θ==2. 解:(1)根据题意,可算得的长度=xθ(m),的长度=10θ(m). 因为BA+CD+=30 m, 所以10-x+10-x+xθ+10θ=30. 所以θ=(0<x<10). (2)依据题意,可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=θ×102-θx2(0<x<10), 所以y=-x2+5x+50=-(x-)2+(0<x<10). 所以当x=时,y的值最大,且ymax=. A. B. C. D.2 解析:设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为R,所对弧长等于R的圆心角的弧度数为α=,故选C. 3.(多选题)下列表述中正确的是(　　) A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z} B.终边在y轴上的角的集合是 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y=x上的角的集合是α+2kπ,k∈Z 4.-转化为角度是　　　　　.  解析:∵1 rad=°, ∴-=-°=-600°. 解析:∵-780°=-, ∴所求集合为. 答案: 由面积公式S=lR得(6-2R)·R=2. $$