7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第三册)

7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 一、弧度制 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 (1)单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；(2)定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 二、角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 三、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 题型一 对弧度制概念的理解 【例1】下列说法中，错误的是（ ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 【变式1-1】下列叙述中，正确的是（ ） A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角的和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 【变式1-2】圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（ ） A．扇形的圆心角大小不变 B．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D．不能确定 【变式1-3】下列说法中，错误的是( ) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 题型二 角度制化弧度制 【例2】角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】的角化为弧度制的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】将210°化成弧度为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】将化成的形式是（ ） A． B． C． D． 题型三 弧度制化角度制 【例3】把化成角度制是（ ） A．36° B．30° C．24° D．12° 【变式3-1】的角化为角度制的结果为_______． 【变式3-2】把弧度化成角度：（1）______；（2）2rad=______． 【变式3-3】把下列各角从弧度化为度： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型四 弧长公式的计算 【例4】一个扇形的半径为3，圆心角为，且周长为8，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】半径为，圆心角为的弧长为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为________. 【变式4-3】如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（ ） A． B．14π C．24π D．10π 题型五 扇形面积的计算 【例5】已知扇形的周长为，圆心角，则扇形的面积（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式5-1】已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表