7.2.2 单位圆与三角函数线课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第七章　三角函数 7.2.2　单位圆与三角函数线 课标定位素养阐释 1.了解三角函数线的意义. 2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.培养直观想象和逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 三角函数线 1.正弦值、余弦值、正切值因角α的不同,可能为正值、可能为负值,也可能为0.而有向线段既有大小又有方向,能否用有向线段表示sin α,cos α,tan α? 提示:能.有向线段的方向与三角函数值的正负吻合,长度与三角函数值的绝对值的大小对应. 2.(1)一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.若角α的终边与单位圆的交点为P,则点P的坐标为(cos α,sin α).  (2)如果过角α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线,垂足为M,过点A(1,0)作与x轴垂直的直线l,与角α的终边(或其反向延长线)交于点T,那么角α的正弦线是 .正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)三角函数线的长度等于三角函数值.(　　) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.(　　) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.(　　) (4) 没有正切线.(　　) × √ × × 合作探究 释疑解惑 探究一 作已知角的三角函数线 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 当α∈ ,且α逐渐增大时,sin α,cos α,tan α的值如何变化? 解:sin α从1变到0;cos α由0变到-1;tan α由-∞变到0.(取不到端点值) 探究一 探究二 探究三 思想方法 作已知角的三角函数线时,先确定角α终边的位置,再画线.同时应注意所画线的方向. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 作出 的三角函数线. 解:如图所示, 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 利用三角函数线比较三角函数值的大小 【例2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小: 分析:先在平面直角坐标系中的单位圆中画出所给角的三角函数线,再比较大小. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大小时,分三步: (1)作出角的终边与单位圆的交点. (2)作出三角函数线. (3)比较三角函数线的长度,同时要注意方向. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 利用三角函数线证明有关问题 探究一 探究二 探究三 思想方法 本题的实质是数形结合思想,即要求找到与所研究问题相应的几何解释,再由图形的相关性质解决问题. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 思想方法 利用数形结合法解三角不等式 【典例】 解关于x的不等式:sin x≥ ,x∈[0,2π). 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 利用三角函数线解三角不等式,一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域,在找角的终边所在的区域时,注意对正弦要找单位圆上相应点的纵坐标,对余弦应在单位圆上找相应点的横坐标,根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧,即可找到角的终边所在的区域,再根据角的终边所在的区域写出角的取值集合. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 利用单位圆中的三角函数线求满足 的角α的取值集合. 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.下列四个说法:①角α一定时,单位圆中的正弦线一定;②单位圆中,有相同正弦线的角相等;③角α和角α+π有相同的正切线;④具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上.其中错误的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:②有相同正弦线说明角的终边相同,但角不一定相等,所以②错误,①③④均正确. 答案:B 2.已知 分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线,则下列结论正确的是(　　) A.MP<OM<AT B.OM<MP<AT C.AT<OM<MP D.OM<AT<MP 解析:在△OMP中,易求sin 60°= 故OM<MP<AT. 答案:B 答案:BD 4.若角α的余弦线的长度为1,则角α的终边在　　　　　上.  解析:因为角α的余弦线的长度为1,所以|cos α|=1,所以角α的终边在x轴的正半轴上或负半轴上. 答案:x轴 答案:(1)<　(2)> 6.作出 的三角函数线. ,余弦线为,正切线为 【例1】 作出的正弦线、余弦线和正切线,并利用三角函数线求sin,cos,tan的值. 解:在直角坐标系中作单位圆,如图,以Ox轴为始边作角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥x轴,垂足为M,由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线,与OP的反向延长线交于点T,即的正弦线为,余弦线为,正切线为. 在Rt△OMP和Rt△OAT中, 易知||=||=,||=1, 故sin,cos=-,tan=-1. - -的正弦线为,余弦线为,正切线为. (1)sin与sin; (2)tan与tan. (1)∵||>||,且都与y轴正方向相同, ∴sin>sin. (2)∵||>||,且都与y轴正方向相反, ∴tan<tan. 解:令α=,β=. 如图所示,P1,P2分别是角α,β的终边与单位圆的交点,分别是角α,β的正弦线,分别是角α,β的正切线. 【变式训练2】 比较cos和cos的大小. 解:如图,分别为角的余弦线,由||>||,且的方向与x轴正方向相反,所以cos>cos. 证明:如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P,单位圆交x轴正半轴于点A,作PM⊥x轴,PN⊥y轴,作AT⊥x轴,交α的终边于点T.所以为角α的正弦线,为角α的正切线.因为α∈(0,), 所以sin α>0,tan α>0. 得sin α=||,tan α=||, 设劣弧AP的弧长为,则α=. 所以S△AOP=·||·||=sin α, S扇形AOP=·||=α,S△AOT=·||·||=tan α. 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT,故sin α<α<tan α. 【例3】 已知α∈,求证:sin α<α<tan α. 证明:设角α的终边与单位圆交于P(x,y),A,B分别为单位圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点.过点P作PQ⊥OA,PR⊥OB,Q,R为垂足,连接PA,PB,如图所示.则角α的正弦线为,余弦线为.又α∈(0,), ∴sin α>0,cos α>0. ∴sin α=||=y,cos α=||=x. 又在△OPQ中,||+||>||,||=1, ∴sin α+cos α>1. 【变式训练3】 已知α∈,求证:1<sin α+cos α<. ∵S△OAP=|·||=y=sin α,S△OBP=|·||=x=cos α, S扇形OAB=×12=, ∵S△OAP+S△OBP<S扇形OAB, ∴sin α+cos α<,即sin α+cos α<. 综上可知,1<sin α+cos α<. 分析:先研究sin x=时角x终边的位置,再求出满足sin x≥的x的取值集合. 解:如图所示,作直线y=与单位圆O分别相交于点Q,N.过点Q,N分别作x轴的垂线,垂足分别为P,M,则PQ=MN=.又OQ=ON=1,所以在区间[0,2π)内正弦值为的角有两个,即.所以满足sin x≥的角x的终边落在阴影部分内,所以满足条件的原不等式的解集为. -≤cos α< 解:如图,作直线x=-,x=与单位圆相交. 则终边落在图中阴影部分的角就是满足条件的角, 故满足条件的角α的取值集合为{α|2kπ-≤α<2kπ-或2kπ+<α≤2kπ+, k∈Z}. ,cos 60°=,tan 60°=, 3.(多选题)依据三角函数线,如下判断正确的有(　　) A.sin =sin B.cos=cos C.tan >tan D.sin >sin 5.比较大小:(1)sin　　　　　sin;  (2)tan　　　　　tan.  α=- 解:如图所示,-角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥x轴于点M,过点A(1,0)作x轴的垂线交OP的反向延长线于点T,则分别为-的正弦线、余弦线和正切线. $$