7.3.2 正弦型函数的性质与图象课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第七章　三角函数 7.3.2　正弦型函数的性质与图象 课标定位素养阐释 1.了解正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的定义及性质. 2.能求正弦型函数的周期、最值、单调区间等. 3.会用“图象变换法”作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 4.培养数学运算、直观想象和逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 一、正弦型函数 1.函数 的定义域、值域、周期是什么? 提示:R;[-2,2];6π. 2.(1)一般地,形如 y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0)的函数,通常叫做正弦型函数. 二、A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 2.(1)φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响: (2)ω对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响: (3)A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响: (4)用“变换法”作图: 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A.(　　) (2)函数y=3sin(2x-5)的初相为5.(　　) (3)由函数 的图象得到y=sin x的图象,必须向左平移.(　　) (4)把函数y=sin x的图象上点的横坐标变为原来的3倍就得到函数y=sin 3x的图象.(　　) × × × × 合作探究 释疑解惑 探究一 用五点法作y=Asin(ωx+φ)的图象 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:列表: 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:列表: 描点、连线略. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤: 第一步,列表: 第二步,在同一坐标系中描出各点. 第三步,用光滑的曲线连接这些点,进而得到图象. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解:(1)列表: 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 三角函数图象的变换 【例2】 由函数y=sin x,x∈R的图象怎样变换可得到函数 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 由函数y=sin x的图象通过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤: 探究一 探究二 探究三 易错辨析 其中正确的是　　　　　.(填序号)  答案:③ 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 求y=Asin(ωx+φ)的解析式 探究一 探究二 探究三 易错辨析 根据部分y=Asin(ωx+φ)的图象,确定A,ω,φ的方法 (1)A:一般可由图象上的最高点、最低点来确定. (2)ω:因为 ,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T,即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (3)φ:把“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个点的位置. 依据五点列表法原理,点的序号与式子的关系如下: “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0; “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx+φ= ; “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π; “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx+φ= ; “第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π. 在用以上方法确定φ的值时,还要注意题目中给出的φ的范围,不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (4)A,ω,φ三个量中初相φ的确定是一个难点,除使用初始点 外,还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤ )图象的一段如图所示,试确定此函数的解析式. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 因忽视伸缩变换对平移变换的影响致错 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范? 探究一 探究二 探究三 易错辨析 答案:C 探究一 探究二 探究三 易错辨析 1.图象的左右平移是针对x而言的,即平移多少是指自变量x的变化,而不是对ωx而言. 2.图象的伸缩变换也是针对x而言的,即只是x的系数发生改变,变为原来的 (倍),而不涉及φ. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 答案:A 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 答案:D 2.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则(　　) 答案:C 答案:CD 答案:③ 描点连线得图象如图所示. y=2sin (2)一般地,正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(其中A≠0,ω≠0,x∈R)的周期T=,频率f=,初相为φ,值域为[-|A|,|A|],|A|也称为振幅,|A|的大小反映了y=Asin(ωx+φ)的波动幅度的大小. 3.已知函数y=4sin,则函数的最小正周期是;振幅是4;初相是. 1.如何由y=sin x的图象得到y=sin x,y=sin 2x,y=sin的图象? 提示:y=sin x图象上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的,得到y=sin x的图象;y=sin x图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin 2x的图象;y=sin x的图象向右平移个单位,得到y=sin(x-)的图象. y=sin x的图象y=sin(x+φ)的图象y=sin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)的图象. 3.y=2sin x的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=2sin 3x的图象,再将所得图象向左平移个单位,得到函数y=2sin的图象. y=sin 【例1】 已知函数y=2sin,用五点法画出其简图. 分析:五点法列表→描点→连线. 2x- 0 π 2π x y=2sin 0 2 0 -2 0 描点,连线得函数y=2sin在一个周期内的图象. 再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位,就可得函数 y=2sin(x∈R)的图象. 作函数y=2sin,x∈[0,π]的简图. x 0 π 2π- - 0 π y=2sin - 0 2 0 -2 - ωx+φ 0 π 2π x - y 0 A 0 -A 0 【变式训练1】 作出函数y=3sin2x+,x∈- 的图象. x - 2x+ 0 π 2π y=3sin 0 3 0 -3 0 (2)描点:在坐标系中描出下列各点: . (3)连线:用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来,得函数 y=3sin,x∈的图象,如图所示. y=3sin+1的图象? 解法一:y=sin x的图象y=sin的图象y=sin的图象y=3sin2x-的图象y=3sin2x-+1的图象. 解法二:y=sin x的图象y=sin 2x的图象y=sin 2的图象y=3sin 2(x-)=3sin的图象y=3sin(2x-)+1的图象. 【变式训练2】 为了得到函数y=sin,x∈R的图象,只需把函数 y=sin x,x∈R的图象上所有的点: ①先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变); ②先向右平移个单位,再把所得各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变); ③先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变); ④先向右平移个单位,再把所得各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变). 解:由题中的图象,知A=3,T=π,又图象过点A, ∴所求图象由y=3sin 2x的图象向左平移个单位得到,∴y=3sin 2, 即y=3sin. 【例3】 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<) 的部分图象如图所示,确定其一个函数解析式. T= 解:该函数的周期T==4π, ∴ω=. ∵函数的最大值为3, ∴A=3. ∴y=3sin. (方法一)所给图象是由函数y=3sin的图象向右平移个单位得到的,于是所求解析式为y=3sinx-,即y=3sin. (方法二)∵周期为4π, ∴由图象知最高点为. ∴3sin=3, ∴+φ=2kπ+,k∈Z. ∴φ=2kπ-,k∈Z. ∵|φ|≤,∴φ=-. ∴所求解析式为y=3sin. (方法三)∵图象过点, ∴3sin φ=-. ∴sin φ=-. ∵-≤φ≤, ∴φ=-. ∴所求解析式为y=3sin. (方法四)由图象过点,且该点在递增区间上, ∴+φ=2kπ,k∈Z, ∴φ=2kπ-,k∈Z. ∵|φ|≤,∴φ=-. ∴所求解析式为y=3sin. 【典例】 为了得到y=sinx的图象,只需要将y=sin的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 错解:由y=sinx的图象得y=sinx-的图象时,由φ=-,知向左平移个单位.故选A. 提示:错解中有3个错误点:①审题不清,没有弄清楚哪一个函数图象平移变换得另一个函数图象;②平移方向上应该是“左加右减”,在错解中,由y=sinx的图象得y=sin(x-)的图象时应该向右平移;③平移的单位长度由于忽视了x的系数导致错误. 正解:∵y=sin=sin, ∴当由y=sin的图象得y=sinx的图象时,应该是向左平移个单位. 【变式训练】 把函数f(x)=sin(-3x+)的周期扩大为原来的2倍,再将其图象向右平移个单位,则所得图象的解析式为(　　) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=sin 解析:由周期扩大为原来的2倍得y=sin(-x+)的图象,将所得图象向右平移个单位,得y=sin[-]=sin(-x+)的图象. 1.先将函数y=sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,则所得函数图象对应的解析式为(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sinx D.y=sin 解析:由题意,y=sin→y=sin(x-)→y=sin, 即y=sin. A.ω=,φ= B.ω=,φ= C.ω=,φ= D.ω=,φ= 解析:由所给图象可知,=2,∴T=8. 又T=,∴ω=. ∵当x=1时,图象处于最高点,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z). ∵0≤φ<2π,∴φ=. 3.(多选题)要得到函数y=sin的图象,只要将y=sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 4.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是3,最小正周期是,初相是,则这个函数的解析式是　　　　　.  解析:由题意知,A=3,φ=,∴ω=7,∴y=3sin. 答案:y=3sin 5.函数y=2sin图象的一条对称轴是　　　　　.(填序号)  ①x=-;②x=0;③x=;④x=-. 6.作出函数y=sin2x-在区间上的图象. 解:令X=2x-,列表如下: X 0 π 2π x y 0 0 - 0 $$