7.1.1 角的推广课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第七章　三角函数 7.1.1　角的推广 课标定位素养阐释 1.了解角的概念的推广,能正确区分正角、负角和零角. 2.理解象限角的概念. 3.掌握终边相同的角的表示方法,并能判断角的终边所在的位置. 4.体会数学抽象的过程,培养直观想象、数学运算的素养. 自主预习 新知导学 一、角的概念的推广 1.我们用扳手拧螺丝,扳手手柄从起始位置开始运动一段时,是否形成一个角? 提示:是. 2.用扳手拧螺丝时,扳手手柄转过的角度可以比360°大吗?扳手手柄有几个运动方向? 提示:可以;两个,顺时针和逆时针. 3.(1)角的形成:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角. 这两条射线分别称为角的始边和终边. (2)角的分类: 按旋转方向可将角分为如下三类: ①正角:按照逆时针方向旋转而成的角; ②负角:按照顺时针方向旋转而成的角; ③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,称为零角. 这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角. 4.钟表的时针从12点开始,转到6点位置时,形成的角是-180°;转到9点位置时,形成的角是-270°;时针第二次到达3点位置时,形成的角是-450°. 二、象限角 1.若将角的顶点放在坐标原点,始边落在x轴的正半轴上,则120°,-90°, -135°角的终边落在什么位置? 提示:它们的终边分别落在第二象限、y轴的负半轴上、第三象限. 2.为了方便起见,通常将角放在平面直角坐标系中来讨论,并约定:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上,这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角,如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限. 3.(1)钝角是第二象限角; (2)-423°角是第四象限角; (3)-360°角不是象限角. 三、终边相同的角 1.60°,-300°,420°,-1 020°这四个角的终边有什么关系? 提示:相同. 2.与60°角的终边相同的角有什么特点? 提示:若α与60°角的终边相同,则α=60°+k·360°,k∈Z. 3.所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 4.(1)与0°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}; (2)与-17°角终边相同的角的集合为{α|α=-17°+k·360°,k∈Z}. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.(　　) (2)终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.(　　) (3)终边相同的角的表示不唯一.(　　) (4)-70°角是第四象限角.(　　) (5)第三象限的角必大于第二象限的角.(　　) √ √ √ √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 任意角的概念 【例1】 (1)(多选题)下列说法不正确的是(　　) A.锐角都是第一象限角 B.第一象限角一定不是负角 C.第二象限角是钝角 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 (2)经过2个小时,钟表上的时针和分针转过的角度分别是　　　　　.  探究一 探究二 探究三 思想方法 解析:(1)锐角是大于0°且小于90°的角,终边落在第一象限,故是第一象限角,所以A正确;-330°角是第一象限角,但它是负角,所以B不正确;480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以C不正确;0°角小于180°角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确. (2)钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的. ×360°=60°,2×360°=720°,所以经过2个小时钟表的时针和分针转过的角度分别为-60°,-720°. 答案:(1)BCD　(2)-60°,-720° 探究一 探究二 探究三 思想方法 解题的关键是理解象限角、锐角、钝角、小于180°的角等概念.判断时也可以采用排除法,当判断一个说法错误时,只需举一反例. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练1】 下列说法正确的是(　　) A.三角形的内角一定是第一、第二象限角 B.钝角不一定是第二象限角 C.终边与始边重合的角是零角 D.钟表的时针旋转而成的角是负角 解析:90°角不是象限角,故A不正确;钝角必是第二象限角,故B不正确;360°角的终边与始边也重合,故C不正确;由于钟表的时针是按顺时针旋转的,故形成的角必为负角. 答案:D 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二 终边相同的角 【例2】 已知α=-1 910°.试把角α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角. 解:∵-1 910°=250°-6×360°, ∴α=250°-6×360°. ∵250°角是第三象限角,∴角α是第三象限角. 探究一 探究二 探究三 思想方法 已知α=-1 910°. (1)求与角α终边相同的最小正角和最大负角; (2)求角θ,使角θ与角α的终边相同,且-720°≤θ<0°. 解:与α终边相同的角的集合为{γ|γ=-1 910°+k·360°,k∈Z}. (1)与α终边相同的最小正角是250°,最大负角是-110°. (2)由例2知,α与250°角终边相同, 令θ=250°+k×360°(k∈Z), 因为-720°≤θ<0°,所以取k=-1,-2, 即250°-360°=-110°,250°-720°=-470°. 故θ=-110°或θ=-470°. 探究一 探究二 探究三 思想方法 1.将任意角化为α+k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(当α的绝对值不大时),也可以用除法. 2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时,可先写出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练2】 在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. (1)-150°;　(2)650°;　(3)-950°15'. 解:(1)因为-150°=210°-360°,所以在0°到360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)因为650°=290°+360°,所以在0°到360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角. (3)因为-950°15'=129°45'-3×360°,所以在0°到360°范围内,与 -950°15'角终边相同的角是129°45'角,它是第二象限角. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三 象限角或区域角的表示 【例3】 如图,角β的终边在阴影部分内,试指出角β的取值集合. 分析:找出0°~360°内阴影部分的角的集合 适合题意的角的集合 探究一 探究二 探究三 思想方法 解:由题图可知,终边落在x轴上方阴影部分的角的集合为: A={β|60°+k·360°≤β<105°+k·360°,k∈Z}. 终边落在x轴下方阴影部分的角的集合为B={β|240°+k·360°≤β<285°+k·360°,k∈Z}. 所以终边落在阴影部分内角β的取值集合是A∪B,即{β|60°+k·360°≤β<105°+k·360°,k∈Z}∪{β|240°+k·360° ≤β<285°+k·360°,k∈Z},其中集合B可以化为{β|180°+60°+k·360°≤β<180°+105°+k·360°,k∈Z},即{β|60°+(2m+1)·180°≤β<105°+(2m+1)·180°,m∈Z}.集合A可以化为{β|60°+2m·180°≤β<105°+2m·180°,m∈Z}. 故A∪B可化为{β|60°+n·180°≤β<105°+n·180°,n∈Z}. 探究一 探究二 探究三 思想方法 表示区域角的三个步骤: 第一步,先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. 第二步,按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出集合{x|α<x<β},其中β-α<360°. 第三步,区域起始、终止边界对应角α,β再加上k·360°(k∈Z),即得区域角集合.对于对顶区域,始边、终边再加上k·180°(k∈Z)即得区域角集合. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练3】 写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合. 解:在-180°~180°内终边落在阴影部分角的集合为{α|-45°<α<45°},所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为 {α|-45°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}. 探究一 探究二 探究三 思想方法 思想方法 用分类讨论法确定角所在的象限 【典例】 已知α为第二象限角,试判断 是第几象限角. 分析:由角α的范围,确定角 的范围,最后确定 是第几象限角. 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 已知角α所在的象限,确定 所在象限时,运用分类讨论的思想方法,求解时要对k的取值分k被n整除,k被n整除余1,k被n整除余2,……k被n整除余(n-1)进行讨论,最后就讨论的情况作总结. 探究一 探究二 探究三 思想方法 【变式训练】 已知α是第二象限角,则 是第几象限角? 探究一 探究二 探究三 思想方法 随堂练习 1.与405°角终边相同的角是(　　) A.-45°+k·360°,k∈Z B.-45°+k·180°,k∈Z C.45°+k·360°,k∈Z D.45°+k·180°,k∈Z 解析:首先找出0°~360°范围内与405°角终边相同的角,405°=45°+360°,即为45°,则与405°角终边相同的角为45°+k·360°,k∈Z. 答案:C 2.若α为第一象限角,则角2α的终边落在(　　) A.第二象限 B.第一象限 C.第一象限或第二象限 D.第一象限或第二象限或y轴的正半轴上 解析:由题意可得k·360°<α<90°+k·360°(k∈Z),所以k·720°<2α<180°+k·720°(k∈Z),所以2α角的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上. 答案:D 3.(多选题)与120°角终边相同的角是(　　) A.-600°+k·360°,k∈Z B.480°+k·360°,k∈Z C.120°+(2k+1)·180°,k∈Z D.660°+k·360°,k∈Z 答案:AB 4.如图,终边落在直线y=±x上的角α的集合是　　　　　.  解析:因为终边落在直线y=x上的角α可表示为:α=45°+n·180°=45°+2n·90°(n∈Z),终边落在直线y=-x上的角α可表示为α=135°+n·180°=45°+(2n+1)·90°(n∈Z),所以终边落在直线y=±x上的角α的集合是{α|α=45°+k·90°,k∈Z}. 答案:{α|α=45°+k·90°,k∈Z} 5.-1 040°角是第　　　　　象限角.  解析:∵-1 040°=-360°×3+40°, ∴-1 040°角是第一象限角. 答案:一 6.如图,射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置,接着再旋转-30°到OC的位置,求∠AOC的度数. 解:∠AOC=90°+(-30°)=60°. 解:∵α是第二象限角, ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z, ∴30°+k·120°<<60°+k·120°,k∈Z. 当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°<<60°+n·360°,n∈Z,此时为第一象限角; 当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°<<180°+n·360°,n∈Z,此时为第二象限角; 当k=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°<<300°+n·360°,n∈Z,此时为第四象限角. ∴为第一象限角、第二象限角或第四象限角. 解:∵α是第二象限角,∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z), ∴45°+·360°<<90°+·360°(k∈Z). 当k为偶数时,令k=2n,n∈Z, 则45°+n·360°<<90°+n·360°, 此时,为第一象限角; 当k为奇数时,令k=2n+1,n∈Z,则225°+n·360°<<270°+n·360°,此时,为第三象限角. ∴为第一象限角或第三象限角. $$