精品解析：四川省达州市渠县中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题

渠县中学2023年春季半期考试 初2021年级数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由不等式的性质可知，或，即原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误； B、由不等式的性质可知，，，即原不等式不成立，不符合题意，选项错误； C、由不等式的性质可知，当时，；当时，；当时，；即原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误； D、，由不等式的性质可知，，原不等式一定成立，符合题意，选项正确； 故选：D． 3. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点P在第四象限可得横坐标为正，纵坐标为负，由此列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第四象限， ∴a-1＞0且-a＜0， 解得：a＞1， 把解集在数轴上表示为： 故选A. 【点睛】本题考查象限内点的坐标的特点，熟练掌握每个象限内点的坐标的特点是解题关键. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：、，该选项分解错误，不合题意； 、，该选项分解错误，不合题意； 、，该选项分解错误，不合题意； 、，该选项分解正确，符合题意； 故选：． 5. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转至，使点B落在的延长线上的D点处，则（　　） A. 90° B. 82° C. 80° D. 81° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 观察图中的函数图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x＜1时，ax＜bx+c，推出x＜1时，ax＜bx+c，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2）， 当x＞1时，ax＞bx+c， ∴关于x的不等式ax-bx＞c的解集为x＞1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系的理解和掌握，能根据图象得出正确结论是解此题的关键． 7. 如果不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，由不等式的解集是可得，据此即可求解，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 故选：． 8. 如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，设面积为，然后根据列出方程求解即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， 在和中， ， ， ，设面积为， 同理， ， 即， 解得． 故选：B 9. 如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】分别以点为顶点的等腰三角形有种情况，分别为，，，从这三方面考虑点的位置即可； 【详解】解：当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线在点两侧各有一个交点，此时点有个； 当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线有一个交点，此时点有个； 当时； 作的垂直平分线，与直线有一个交点，此时点有个； ∴满足条件的点总共有个； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点是解题的关键． 10. 如图，在中，、分别是和的平分线，于P，交于M，于Q，交于N，，，，，结论①；②；③；④．其中不正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 证明，根据全等三角形的性质得到，判断①；根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④． 【详解】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， ，①结论正确； ， ， 同理可得：， ，②结论正确； ， ， 由①知：，， 在中，， ， ，③结论正确； ④当时，， ， ， ，则与不相等，④结论错误； ∴不正确的结论有1个， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知等腰三角形的一个内角为，则其顶角的大小为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分的角是顶角和底角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角即为； 当的角为底角时，顶角为； ∴顶角的大小为或， 故答案为：或． 12. 已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，设另一个因式为，可得，即得，进而由多项式相等的条件得到，，据此即可求解，掌握多项式相等的条件是解题的关键． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 即， ∴，， 解得，， 故答案为：． 13. 若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集只有个整数解可得，解不等式即可求解，掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组只有个整数解， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 14. 若直线是由直线先向左平移个单位再向下平移个单位后得到的，则直线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据一次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减进行解答即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线是由直线先向左平移个单位再向下平移个单位后得到的， ∴直线向右平移个单位长度再向上平移个单位长度可得到直线， ∴直线的表达式为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，有一长度为的线段在直线的图象上滑动，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作关于直线的对称点，连接，则，由可得，得到，即得，进而可得，过作轴于，可得，作交轴于，则，得到，即得，，延长至，使，过点作轴于，连接交直线于点，将点沿向左平移个单位得到点，连接，，可得，由为等腰直角三角形可得，得到，即得，又由，，可得四边形为平行四边形，得到，即得，此时最小，过点作轴于点，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，则， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在等腰中， 又∵， ∴， ∴， ∴， 过作轴于， ∴， ∴， 作交轴于，则， ∴， ∴，， 延长至，使，过点作轴于，连接交直线于点，将点沿向左平移个单位得到点，连接，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，此时最小， 过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 16. 解答下列问题． （1）分解因式：； （2）分解因式：； （3）解不等式组并将解集表示在数轴上． 【答案】（1）； （2）； （3），不等式组的解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （）利用提公因式法因式分解即可； （）求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了因式分解，解一元一次不等式组，再数轴上表示不等式组的解集，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为 17. 已知，，求的值 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，先把所求式子因式分解得到，再根据完全平方公式的变形得到，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 18. 如图，已知是的角平分线，于点，于点，． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，于点，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到即可求证； （）由等腰三角形的性质可得，，进而由勾股定理可得，最后由三角形的面积即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上． （1）将向下平移个单位长度得到，画出； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（）根据平移的性质作图即可； （）根据旋转的性质作图即可； 本题考查了平移作图，旋转作图，掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 20. 如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接． （1）求的值和两直线交点的坐标； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出时自变量的取值范围． 【答案】（1），，点的坐标为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出的值，进而可得一次函数解析式，再联立函数解析式可得方程组，解方程组即可得到点的坐标； （）求出点坐标，可得，再根据即可求解； （）根据图象解答即可求解； 本题考查了一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数与不等式，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的函数解析式为， 由，解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，， ∴时自变量的取值范围为． 21. 在中，，将在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到，其中点A的对应点为点D，连接，． （1）如图1，试猜想与之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图2，若点D在边上， ，求的长． 【答案】（1） ， 证明：∵在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过），得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）3 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得可得，由平行线的性质可得,然后根据等量代换即可解答； （2）过点D作于点E，由旋转的性质可得，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，可得，得的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F， ∵在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过），得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴的长为3． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、勾股定理等知识点，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 22. 若关于的二元一次方程组的解满足且，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，先利用加减法求出二元一次方程组的解，再代入不等式解关于的一元一次不等式即可求解，正确求出二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解得． 23. 在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． （1）设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． （2）如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ （3）在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 【答案】（1）； （2）种； （3）安排型车厢节，型车厢节运输运费最少，最少运费为元 【解析】 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （）根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出一次函数解析式和一元一次不等式组是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴共有种安排车厢的方案； 【小问3详解】 解：∵，， ∴的值随的增大而减小， ∴当时的值最小，即安排型车厢节，型车厢节运输运费最少， 此时，最少运费元． 24. 阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． （1）试用“分组分解法”因式分解：． （2）已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】（1）； （2）①；②，． 【解析】 【分析】（）根据因式分解分组分解法分解即可； （）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可； 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 25. 【模型建立】 （）如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】 （）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线；求直线的函数表达式； （）如图，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是直线上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（）证明见解析 （） （）能，或或 【解析】 【分析】（）利用证明即可； （）过点作交直线于点，过点作轴交轴于点，则，首先可证得为等腰直角三角形，同理（）可证得，于是有，，然后求得直线与轴、轴的交点、的坐标，即可求得线段、的长，进而求得线段、的长，于是即可求得点的坐标，最终利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （）分四种情况讨论：当时；当时；当，且点在上方时；当，且点在下方时；分别求出点的坐标即可得出答案． 【详解】（）证明：如图， ，于点，于点， ， ， ， ， 又， ； （）解：如图，过点作交直线于点，过点作轴交轴于点，则， ， ， ，为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 把代入，得：， 解得：， ， 把代入，得：， ， ，， ，， ， ， 设直线的函数表达式为，把、代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形， 理由如下： ，轴于点，轴于点， ， ，，四边形为矩形， 设， 分四种情况： 当时， 如图，，则，过点作轴于点，交的延长线于点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ； 当时， 如图，，则，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， 又， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ； 当，且点在上方时， 如图，，且点在上方，则，过点作交射线于点， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ， 不在第四象限， 不符合题意，故舍去； 当，且点在下方时， 如图，，且点在下方，则，过点作交的延长线于点， 则， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定（等角对等边），全等三角形的判定与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，已知两点坐标求两点距离，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，矩形的判定与性质，多边形内角和问题，解一元一次方程等知识点，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县中学2023年春季半期考试 初2021年级数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转至，使点B落在的延长线上的D点处，则（　　） A. 90° B. 82° C. 80° D. 81° 6. 观察图中的函数图象，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如果不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 9. 如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，、分别是和的平分线，于P，交于M，于Q，交于N，，，，，结论①；②；③；④．其中不正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知等腰三角形的一个内角为，则其顶角的大小为______． 12. 已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为______． 13. 若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______． 14. 若直线是由直线先向左平移个单位再向下平移个单位后得到的，则直线的表达式为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，有一长度为的线段在直线的图象上滑动，则的最小值为______． 三、解答题 16. 解答下列问题． （1）分解因式：； （2）分解因式：； （3）解不等式组并将解集表示在数轴上． 17. 已知，，求的值 18. 如图，已知是的角平分线，于点，于点，． （1）求证：是等腰三角形： （2）若，，求的长． 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上． （1）将向下平移个单位长度得到，画出； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的． 20. 如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接． （1）求的值和两直线交点的坐标； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出时自变量的取值范围． 21. 在中，，将在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到，其中点A的对应点为点D，连接，． （1）如图1，试猜想与之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图2，若点D在边上， ，求的长． 22. 若关于的二元一次方程组的解满足且，求的取值范围． 23. 在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． （1）设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． （2）如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ （3）在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 24. 阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． （1）试用“分组分解法”因式分解：． （2）已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 25. 【模型建立】 （）如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】 （）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线；求直线的函数表达式； （）如图，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是直线上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $