精品解析：2024年湖北省武汉市部分学校数学中考模拟卷5

2024年武汉市中考模拟试题 数学试卷（五） 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共8页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明袋子中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他区别，从袋子中随机取出1个球，下列说法正确的是（ ） A. 可以事先确定取出的小球是哪种颜色 B. 取出每种颜色小球的概率相等 C. 取出红球的概率是，取出绿球的概率是，取出蓝球的概率是 D. 将其中1个蓝球换成红球，则取出每种颜色小球的概率相等 4. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图放置的正三棱柱，关于它的三视图的描述正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都不相同 6. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 两次掷一枚质地均匀的骰子，第二次掷出的点数能够被第一次掷出的点数整除的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（ ） A. 甲每分跑圈，乙每分跑圈 B. 甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C. 甲每分跑圈，乙每分跑圈 D. 甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 9. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 2023年全球人数约为80.86亿，数80.86亿用科学记数法表示是______． 12. 反比例函数图象经过三点,和，若，则，写出一个满足条件的k的值是______． 13. 计算的结果是__________． 14. 如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为______． 15. 四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为______． 16. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②一元二次方程的解为，；③；④．其中，正确的是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组的整数解． 18. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 19. 某校为响应进一步深化全民阅读号召，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 时间段/分钟 组中值 75 105 135 频数/人 6 20 4 请你根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中分钟时间段对应的扇形的圆心角度数为______，______； （2）样本数据的中位数位于______~______分钟时间段； （3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间． 20. 阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径， ． 是的直径， （____________）． ． ∴____________， （____________）， ∴____________， ， ， ． ． 任务： （1）请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； （2）如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 21. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （1）线段的长等于______； （2）半圆O以为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图： ①画的角平分线； ②在线段上画点P，使． 22. 某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据． 投资量x（万元） 2 种植树木利润y1（万元） 4 种植花卉利润y2（万元） 2 （1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式； （2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ （3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围． 23. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 24. 抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上． （1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； （2）如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值； （3）如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年武汉市中考模拟试题 数学试卷（五） 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共8页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 不透明袋子中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他区别，从袋子中随机取出1个球，下列说法正确的是（ ） A. 可以事先确定取出的小球是哪种颜色 B. 取出每种颜色小球的概率相等 C. 取出红球的概率是，取出绿球的概率是，取出蓝球的概率是 D. 将其中1个蓝球换成红球，则取出每种颜色小球的概率相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件以及概率的知识，根据事件的分类可判断A，求出取出各种小球的概率可判断B，C、D． 【详解】解：A．由于不透明袋子中有3种颜色的求，所以不可事先确定取出的小球是哪种颜色，故A不正确； C．取出红球的概率是，取出绿球的概率是，取出蓝球的概率是，故C不正确； B．由C可知取出每种颜色小球的概率不相等，故B不正确； D．将其中1个蓝球换成红球，则每种球的个数相等，取出每种颜色小球的概率相等，都为，故D正确． 故选D． 4. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，根据相关知识点逐个选项计算后判断即可． 【详解】A.，不符合题意； B.与不是同类项，不能合并，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意； 故选：D． 5. 如图放置的正三棱柱，关于它的三视图的描述正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三视图都不相同 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得物体的三视图如下： 主视图为矩形，左视图为矩形，但两个矩形的大小不一样，俯视图为等边三角形， ∴三视图都不相同． 6. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．解题时由邻补角定义得到与互补，再由与互补，利用同角的补角相等得到，利用同位角相等两直线平行得到 与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到与互补，而与对顶角相等，由的度数求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 两次掷一枚质地均匀的骰子，第二次掷出的点数能够被第一次掷出的点数整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，画树状图得出共有36种等可能的结果数，使得第二次掷出的点数能够被第一次掷出的点数整除的结果有6个，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图如图： 共有36个等可能的结果，使得第二次掷出的点数能够被第一次掷出的点数整除的结果有14个， 第二次掷出的点数能够被第一次掷出的点数整除的概率； 故选：C． 8. 甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（ ） A. 甲每分跑圈，乙每分跑圈 B. 甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C. 甲每分跑圈，乙每分跑圈 D. 甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，由题意得出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，当甲比乙跑得快时， 由题意得， 解得， ∴甲每分跑圈，乙每分跑圈， 当乙跑得比甲快时，同理可得：甲每分跑圈，乙每分跑圈； 故选：B． 9. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 10. 如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，设交于点，设，利用勾股定理求出（用表示），再利用相似三角形的性质求出（用表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点，设， ， 可以假设，， 四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 由翻折的性质可知，，，，， 在中，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 2023年全球人数约为80.86亿，数80.86亿用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】80.86亿． 故答案为：． 12. 反比例函数图象经过三点,和，若，则，写出一个满足条件的k的值是______． 【答案】1(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，象限内点的坐标特点，先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据中横坐标大于0，得出在第一象限，即可求出，写出答案即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过,两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在第一、三象限， ∵反比例函数图象经过点，， ∴在第一象限，， ∴， ∴的值可以是1． 故答案为：1(答案不唯一)． 13. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算以及因式分解，根据运算法则即可求解． 【详解】 故答案为： 14. 如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、正方体展开图．由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，证明，得出，证明，得出，求出，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】如图： 由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，， ，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：16． 15. 四边形中，，，，，为的中点，若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，延长至点，使，证明，根据性质得，，过点作交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，最后由勾股定理，垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，延长至点，使， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②一元二次方程的解为，；③；④．其中，正确的是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：由抛物线开口方向得到，然后利用抛物线与轴的交点得到，由对称轴在右侧得对称轴为直线，则，再结合图象与轴交于和，可判断②，可得对称轴为直线，则，根据当时，当时，求得的值即可判断③④． 【详解】解：∵函数图象开口向上，交轴负半轴，且对称轴在右侧， ∴，，对称轴为直线，则， ∴，故①正确； 由函数图象可知，图象与轴交于和，则对称轴为直线， ∴方程的解为，， 即一元二次方程的解为，，故②正确； 由图象可知，当时，， 即：，故③不正确； ∵对称轴为直线， ∴， 当时，， 即，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组的整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出其整数解． 【详解】解不等式①，得． 解不等式②，． ∴不等式组的解集为． ∴满足不等式组的整数解为． 18. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 分别是，的中点， ， 四边形是平行四边形， ． （2） 由（1）已证：四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则， ， ，即， ， 故当时，四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证； （2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某校为响应进一步深化全民阅读号召，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 时间段/分钟 组中值 75 105 135 频数/人 6 20 4 请你根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中分钟时间段对应的扇形的圆心角度数为______，______； （2）样本数据的中位数位于______~______分钟时间段； （3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间． 【答案】（1），25 （2）60，90 （3）84分钟 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数、加权平均数； （1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可得到分钟时间段对应扇形的圆心角的度数，的值以及样本数据的中位数位于哪一时间段； （2）总人数40人，则中位数是从小到大排列后的第20和21人的平均数，都在组，即可求解； （3）根据表格中的数据，可以计算出该校八年级学生周末课外平均阅读时间． 【小问1详解】 分钟时间段对应的扇形的圆心角度数为 本次调查的学生有：（人， ∴分钟时间段所占百分比为：， 的值是25， 故答案为：，25，； 【小问2详解】 ∵总人数40人， ∴中位数是从小到大排列后的第20和21人的平均数，都在组， 即中位数位于分钟时间段， 故答案为：60，90； 【小问3详解】 （分钟）， 答：估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间大约为84分钟． 20. 阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径， ． 是的直径， （____________）． ． ∴____________， （____________）， ∴____________， ， ， ． ． 任务： （1）请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； （2）如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径， ． 是的直径， （直径所对的圆周角相等）， ， ． ， ． ， ， （相似三角形的对应边成比例）， ． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质； （1）根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程； （2）先根据已知和割线定理求得，，，则，再根据切线性质和勾股定理求得；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明，则，进而求得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 图3中，连接，， ， 设，，，则， 是的切线，是割线， 由割线定理得，则， 解得（负值舍去）， ，，，则， 是的直径，是的切线， ， ； ，， ∴，则， ， ． 21. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （1）线段的长等于______； （2）半圆O以为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图： ①画的角平分线； ②在线段上画点P，使． 【答案】（1） （2） ①如图，即为所求： ； ②如图，点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，无刻度直尺作图，中位线 （1）利用勾股定理求解； （2）取中点，连接与圆相交即为，此时由中位线可得，再结合即可得到，即的角平分线； （3）取与网格线的交点，连接延长交于点，连接交于点，连接，延长交的延长线于，连接延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 ． 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资量x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据． 投资量x（万元） 2 种植树木利润y1（万元） 4 种植花卉利润y2（万元） 2 （1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式； （2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ （3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围． 【答案】（1）y1=2x（x≥0）；y2=x2（x≥0）；（2）他至少获得14万元利润，他能获取的最大利润是32万元；（3）6≤m≤8． 【解析】 【分析】（1）根据题意设y1=kx、y2=ax2，将表格中数据分别代入求解可得； （2）由种植花卉m万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8-m）万元，根据“总利润=花卉利润+树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可； （3）根据获利不低于22万，列出不等式求解可得． 【详解】（1）设y1=kx， 由表格数据可知，函数y1=kx的图象过（2，4）， ∴4=k•2， 解得：k=2， 故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）； ∵设y2=ax2， 由表格数据可知，函数y2=ax2的图象过（2，2）， ∴2=a•22， 解得：a=， 故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2=x2（x≥0）； （2）因为种植花卉m万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8﹣m）万元， w=2（8﹣m）+m2=m2﹣2m+16=（m﹣2）2+14， ∵a=0.5＞0，0≤m≤8， ∴当m=2时，w的最小值是14， ∵a=＞0， ∴当m＞2时，w随m的增大而增大 ∵0≤m≤8， ∴当m=8时，w的最大值是32， 答：他至少获得14万元利润，他能获取的最大利润是32万元． （3）根据题意，当w=22时，（m﹣2）2+14=22， 解得：m=﹣2（舍）或m=6， 故：6≤m≤8． 23. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD， ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG， ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； （2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。 证明：∵四边形ABCD菱形 ∴AB=AD ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG ∵∠EAG=∠BAD ∴ ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可； （2）根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立； （3）如图：连接EB，BD,设BE和GD相交于点H，先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD，再根据相似的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 (2)略 (3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H ∵四边形AEFG和ABCD为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴△EAB∽△GAD ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 24. 抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上． （1）求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； （2）如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值； （3）如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度． 【答案】（1）抛物线的函数表达式：，顶点坐标： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线与轴交于点．求得点，代入二次函数解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）设直线与轴交于点，令，得，故点的坐标为，为等腰直角三角形，过点作轴，交直线于点，则，则是等腰直角三角形，设点，则，进而表示出，根据二次函数的性质求得的最大值为； （3）过点作，设交轴于点，当时，，则，此时最小，，设，则，勾股定理求得，根据，，可得，则，即，求得直线的解析式为：，联立求得点，进而即可求解． 【小问1详解】 解：与轴交于点． 将，代入得 又在抛物线上， ， 解得． 故抛物线的函数表达式 顶点的坐标为． 【小问2详解】 设直线与轴交于点，令，得，故点的坐标为 ， 为等腰直角三角形 过点作轴，交直线于点，则， 是等腰直角三角形 ∴，设点，则 ∴， 故当时，有最大值． ∴的最大值为 【小问3详解】 解：如图所示，过点作，设交轴于点， 当时，， 则，此时最小， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴, 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为： 联立 解得：（舍去）或， 当时，， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，正弦的定义，勾股定理求两点距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $