精品解析：河南省许昌市许昌高级中学2025届高三上学期开学检测数学试题

2024-2025学年高三上学期开学检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的基本量运算，找出和，再根据等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】记公差为，由题， 故， ， 故选：A. 2. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性得到不等式得到，分离常数后，由的单调性得到，结合集合的包含关系得到是的充分不必要条件. 【详解】要在上单调递减， 则，解得， 在为增函数，则， 解得， 因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 3. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积． 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，， 所以，，又和平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故选：B． 4. 将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得总体平均数，然后利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】依题意可知，总体平均数为97， 从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，情况如下： 选到95，96，则样本平均数为95.5，所以， 选到95，97，则样本平均数为96，所以， 选到95，98，则样本平均数为96.5，所以， 选到95，99，则样本平均数为97，所以， 选到96，97，则样本平均数为96.5，所以， 选到96，98，则样本平均数为97，所以， 选到96，99，则样本平均数为97.5，所以， 选到97，98，则样本平均数为97.5，所以， 选到97，99，则样本平均数为98，所以， 选到98，99，则样本平均数为98.5，所以， 所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为． 故选：D. 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 6. 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长，再根据不等式整理可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B 7. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 没有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合二次函数的性质，可判定A正确；利用基本不等式，可得判定B错误；由，可判定C错误，利用对数的运算性质，得到，得到，设函数，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D错误. 【详解】对于A中，由正实数满足，可得，且， 则，当时，取得最小值为，所以A正确； 对于B中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以C错误； 对于D中，由， 因为，设， 可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，当时，函数取得最大值，最大值为， 则的最大值为，所以D不正确. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则（ ）（注：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求出函数的周期为4，利用的对称中心为求出的对称中心为，结合求出然后利用周期性，对称性和单调性逐项判断即可. 【详解】，故， 所以， 函数的对称中心为， 函数往左平移1个单位得到函数， 故函数的对称中心为， ，令得，， 故，即 且的对称中心为，故 故即的对称轴为. 对于A,区间上单调递减，故， 且， 所以，故A错误； 对于B,在区间上单调递减，对称中心为， 故，且在区间上单调递减， 则， ，故B错误； 对于C，， 且，结合在区间上单调递减， 故，故C正确； 对于D，，故， 且，即， 结合在区间上单调递减，故，故D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过赋值法求出函数的周期性和对称性，然后结合函数的单调性求解即可. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则（ ） A. 当时，满足的点P有2个 B. 的周长一定小于 C. 的面积可以大于 D. 若恒成立，则C的离心率的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】当点的坐标为或时，最大，计算得到A正确，的周长为，故B正确，面积为，C错误，根据计算离心率得到D正确，得到答案. 【详解】对于选项A：当点的坐标为或时，最大，此时，若， 则，所以，A正确； 对于选项B：的周长为，故B正确； 对于选项C：的面积为，故C错误； 故于选项D：因为，所以，可得， 得，得，又，所以，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特征值判断A，根据不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，根据对勾函数的性质判断D. 【详解】对于A，当时，故A错误； 对于B，若，则，即，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，显然， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 令，则，令， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以， 所以 ，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：BC 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；由对于C和D，由方程得解为与，再根据条件树形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解. 【详解】①当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. ②当时，，， 当，在单调递增；当，在单调递减， 故，且恒有，综上①②可知，， 综上，作出函数大致图象，如下图： 对于A，由上可知函数的值域为，故A错误； 对于B，函数的单调减区间为，故B正确； 对于C，当时，则方程，解得或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误； 对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根， 即方程与方程共有3个不相等的实数根， 又因为已有两个不等的实数根， 则方程有且仅有1个根，且不为. 所以与有且仅有1个公共点， 由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：先研究函数的单调性以及函数值的分布情况，接着作出函数的图象，数形结合使得问题更直观，进而即可进一步研究函数的性质情况：研究方程的根的个数问题，可先解方程得与，再根据条件依次分析两解对应的根的情况并树形结合即可得解. 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】结合对数函数画出分段函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】由题意得， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 又， 所以点是两个函数的交点， 所以当时，，可得， 当时，，可得， 可得的大致图象，如下图， 故答案为：2. 13. 甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将问题转化为在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率，然后可解. 【详解】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率. 甲从三个盒子中各取一球，共有种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法， 所以，甲获得3分的概率为. 故答案为： 14. 过双曲线的上焦点，作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的上､下两支分别交于，若，则双曲线的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线右焦点为，，，由题意结合双曲线定义可依次求出、、、、和，接着分别在、和中结合余弦定理求出，进而建立等量关系式求出，从而求得，进而由离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线右焦点为，由题，双曲线的一条渐近线方程为即， 过该渐近线作垂线，则由题，， 设，则由题，，， 所以，， 所以在中，①， 在中，②， 在中，③， 由①②得，化简解得， 由①③得，化简解得， 所以， 故双曲线的离心率. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为，，则结合双曲线定义可得、和的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角的余弦值，从而可建立等量关系式依次求出和，进而由离心率公式得解. 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知数列是公差为2为等差数列，求出首项即可写出通项； （2）先求出数列的通项，再用裂项求和的方法求前项和. 【小问1详解】 由可知数列是以公差的等差数列, 又得， 解得, 故， 即. 【小问2详解】 因为, 所以 . 16. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点． （1）在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由； （2）若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）存在，P是中点，证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用面面平行和线面平行确定点的位置，然后利用线面平行判定定理证明即可； （2）过点D作，以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据面面夹角的向量公式求解可得. 【小问1详解】 存在，证明如下： 在四棱柱中，因为平面平面， 所以可在平面内作， 由平面几何知识可证，所以，可知P是中点， 因平面，所以平面． 即存在线段的中点，满足题设条件． 满足条件的点只有一个，证明如下： 当平面时，因为平面， 所以过作平行于CQ的直线既在平面内，也在平面内， 而在平面内过只能作一条直线， 故满足条件的点P只有唯一一个． 所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面． 【小问2详解】 过点D作，垂足为F，又因为平面ABCD， 所以DA，DF，两两互相垂直， 以D为坐标原点，分别以DA，DF，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有即 令，得，，所以． 设平面的法向量为． 则有即 令，得，，所以． 所以． 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 17. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. （1）证明：在上是增函数； （2）证明：是偶函数； （3）如果，解不等式. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （2）令，求得，再由，求得，进而得出，即可证明结论； （3）由（2）可得不等式可变为，结合（1）可求得不等式的解集. 【小问1详解】 设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； 【小问2详解】 因对定义域内任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． 【小问3详解】 由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 18. 2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图. 年级名次 是否近视 近视 40 30 不近视 10 20 （1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）； （2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在名和名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? （3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在名的概率. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中. 【答案】（1）4.74；（2）能；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据题中所给的频率分布直方图中对应的数据，可以求得第三组、第六组、第五组的频数以及前四组的频数和，结合前四组的频数成等比数列，得出相应的数据，利用中位数的特征，两边各占一半，求得结果； （2）利用题中所给的列联表，求得的值，与表中所给的临界值比较，得到结论； （3）根据题意，求出满足条件的基本事件数和总的基本事件数，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为人 第五组的频数为人 所以前四组的频数和为人 而前四组的频数依次成等比数列 故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人 所以中位数落在第四组，设为x， 因此有（或） 解得 所以中位数是4.74 （2）因为 所以 所以 因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系 （3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在名和 名的分别有2人和4人 从6人中任意抽取2人的基本事件共15个 至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个 所以至少有1人的年级名次在名的概率为. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关概率与统计的问题，解题方法如下： （1）根据频率分布直方图中所给的数据求相应的量，利用中位数的定义求得结果； （2）利用公式求得的值，结合临界值得到结果； （3）利用古典概型概率公式求得概率. 19. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. （1）求的方程; （2）若是四边形的等线，求四边形的面积; （3）设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 【答案】（1） （2）12 （3） 设，由，所以， 故曲线的方程为 由（*）知切线为，也为，即，即 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为， 由（2）知， 所以 由得 因为， 所以直线为的等线 . 【解析】 【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可. （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）利用给定条件和新定义证明即可. 【小问1详解】 由题意知，显然点在直线的上方， 因为直线为的等线，所以， 解得，所以的方程为 【小问2详解】 设，切线，代入得: 故， 该式可以看作关于的一元二次方程， 所以，即方程为 当的斜率不存在时，也成立 渐近线方程为，不妨设在上方， 联立得，故， 所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等， 则过点的等线必定满足:到该等线距离相等， 且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为， 由，解得，故 . 所以， 所以， 所以，所以 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到，证明即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三上学期开学检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 2. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 没有最大值 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则（ ）（注：） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 9. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则（ ） A. 当时，满足的点P有2个 B. 的周长一定小于 C. 的面积可以大于 D. 若恒成立，则C的离心率的取值范围是 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. 的最小值为 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 对于任意实数，定义，设函，则函数的最小值是______． 13. 甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________. 14. 过双曲线的上焦点，作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的上､下两支分别交于，若，则双曲线的离心率__________. 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 16. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，Q为AD的中点． （1）在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由； （2）若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. （1）证明：在上是增函数； （2）证明：是偶函数； （3）如果，解不等式. 18. 2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图. 年级名次 是否近视 近视 40 30 不近视 10 20 （1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）； （2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在名和名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? （3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在名的概率. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中. 19. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. （1）求的方程; （2）若是四边形的等线，求四边形的面积; （3）设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $