精品解析：广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

2024年9月广附高二开学考试数学问卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（8道，共40分） 1. 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的根，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的值为（ ） A B. C. D. 5 已知函数（），，则（ ）. A. B. 的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 C. 在上单调递减 D. 6. 在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（3道，共18分） 9. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，现给出下列结论：则正确的选项为（ ） A. 直线与直线所成角的大小不变 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为定值 D. 存在一点，使得直线与平面所成角为 11. 一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有（ ） A. 平均数为3，中位数为4 B. 中位数为4，众数为3 C. 平均数为2，方差为2.1 D. 中位数为3，方差为0.85 三．填空题（3道，共15分） 12. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为________分． 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为________． 14. 设函数定义域关于原点对称且满足： （ⅰ）；（ⅱ）存在正常数使． 则函数的一个周期是___________________． 四．解答题（13，15，15，17，17，共77分） 15. 已知函数的图象过，两点，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数解析式； （2）若函数，求函数的单调区间. 16. 已知斜三角形. （1）借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； （2）若，求的最小值. 17. 如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点， （1）若·=32，求的长； （2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，． （1）证明：平面； （2）当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小． 19. 已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． （1）对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． （2）设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对三项之和为2024，求的值． （3）在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年9月广附高二开学考试数学问卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（8道，共40分） 1. 已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D 2. 已知是方程的根，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】代入方程，根据复数相等即可得出即可得解. 详解】由题意，得，即， 所以，且，解得， 所以. 故选：A. 3. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知转化为，，，作出函数，，，图象，数形结合即可得大小关系． 【详解】已知，，，则，，， 作出函数，，，的图象， 由图可知． 故选：A． 4. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 5. 已知函数（），，则（ ）. A. B. 的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 C. 在上单调递减 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，即函数关于对称，可得，根据三角函数的性质和图象变换，逐项判断. 【详解】根据题意，，即函数关于对称， 即，又， 所以，， 则，A错误； 的图象向左平移个单位长度得， ， 而，所以B错误； ，则，则函数先减后增，C错误； ，D正确. 故选：D 6. 在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案. 【详解】物实验中，血液中药物含量为的浓度为， 设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意 ，两边取对数得， 可得. 所以至少经过个小时才会“药物失效”. 故选：D. 7. 已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解. 【详解】 设上底面半径为，下底面半径为， 如图，根据题意， 在中，，即， 又因为圆台体积为，所以， 即 由①②方程可得：， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 8. 已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先得到点O是内心的充要条件是：，其中，，，从而得到，求出，利用余弦定理得到，求出，由基本不等式求出最大值，得到答案； 方法二：作出辅助线，得到，得到方程组，得到，作出内切圆，根据，求出，设出内切圆半径，故，由图知，从而求出. 【详解】方法一：点O是内心的充要条件是：，其中，，， 理由如下：若，则， 整理得， 所以，即点在的角平分线上， 同理可证，点在，的角平分线上，即点为的内心. 故， 故． 因为角A为锐角，， 所以．由定理得到， 故． 又因为（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 故， 方法二：如图，延长，交于点D， 设，即，故， 设， 则， ， 作的内切圆与边切于点E，与切于点F， 设圆O半径为r， 且A为锐角， ， 故，解得或（舍去）， 故， 又，解得，负值舍去， ，即，由图知， . 故选：C． 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 二．多选题（3道，共18分） 9. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABC；由的范围可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，，所以 ， 当且仅当，即等号成立，故B正确； 对于C，，要证即证， 所以，即证，由A可知，故C正确； 对于D，因为，且，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，现给出下列结论：则正确的选项为（ ） A. 直线与直线所成角的大小不变 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为定值 D. 存在一点，使得直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得直线与直线所成角判断选项A；利用面面垂直判定定理判断选项B；求得到平面的距离判断选项C；求得直线与平面所成角的范围判断选项D. 【详解】连接，则由正方体中， ，平面， 可得平面, 又平面，则， 则直线与直线所成角的大小不变.故选项A判断正确； 连接， 由正方体中，平面. 又平面，则平面平面. 故选项B判断正确； 由平面，平面， 可得平面， 则点到平面的距离相等，设该距离为d， 由，可得， 解之得，则点到平面的距离为定值. 故选项C判断正确； 正方体中， 直线与平面所成角为， 由中，，， 则，由为锐角，， 则. 故不存在一点，使得直线与平面所成角为.选项D判断错误. 故选：ABC 11. 一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有（ ） A. 平均数为3，中位数为4 B. 中位数为4，众数为3 C. 平均数为2，方差为2.1 D. 中位数为3，方差为0.85 【答案】ABD 【解析】 【分析】ABD举例，C用反证法证明不能出现6. 【详解】对于A：10次点数为符合题意，故A正确； 对于B：10次点数为符合题意，故B正确； 对于C：设10次点数为且，平均数为， 假设有一次点数为，不妨设，由方差公式，代入相关数据得： ，即，显然最大只能取， 不妨设得，此时方程无解，所以， 当时得：，最大只能取， 不妨设得，此时方程有唯一解，， 即10次点数为，但此时平均数为不合题意，所以， 当得取得， 此时方程无解（其余情况也均无解），所以， 当时，平均数为不合题意. 综上所述，假设有一次点数为不成立，故C错误； 对于D：10次点数为符合题意，故D正确. 故选：ABD 三．填空题（3道，共15分） 12. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为________分． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率估计即可. 【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这50名学生成绩的分位数为分． 故答案为： 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式化简，结合余弦定理求出，最后根据，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理，所以， 又，所以， 因为是中边上中线，则， 即，所以， 所以，可得，当且仅当时等号成立， 故， 即面积的最大值为． 故答案为： 14. 设函数的定义域关于原点对称且满足： （ⅰ）；（ⅱ）存在正常数使． 则函数的一个周期是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据题意可证得是奇函数，根据条件，结合抽象函数的关系以及周期的定义进行推导即可. 【详解】令， ， ∴是奇函数． ∵ ， ∴， ∴， 是以为周期的周期函数． 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关抽象函数的应用以及函数奇偶性和周期性的判断和求解，正确解题的关键是熟练掌握定义并能熟练应用. 四．解答题（13，15，15，17，17，共77分） 15. 已知函数的图象过，两点，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数的解析式； （2）若函数，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2） 答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据题目条件可得，由可得，再将代入解析式解得，故，最后根据三角函数图象的伸缩平移变换即可求出的解析式； （2）由（1）可得，根据，可得，，再根据正弦函数的单调区间即可求出的单调区间. 【小问1详解】 因为函数的图象过，两点， 所以，即，解得， 又因为，则. 所以， 所以，则， 又因为，所以，即， 所以将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 再向右平移个单位长度得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，即， 解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 16. 已知斜三角形. （1）借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析，①，②； （2） 【解析】 【分析】（1）由内角和及诱导公式得到，然后根据两角和的正切公式即可得证；然后根据结论即可求出①②的值； （2）可得出，然后根据基本不等式即可得出关于的一元二次不等式，从而得出的最小值． 【小问1详解】 ， ， ， ， ； ① ； ②； 【小问2详解】 ，则，，且， 所以，， ， ， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号 的最小值为． 17. 如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点， （1）若·=32，求的长； （2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 【答案】（1）4 （2）－ 【解析】 【分析】（1）利用投影向量来求向量的数量积即可； （2）先解三角形得到各边长，再利用向量知识来求解即可. 【小问1详解】 ,∴是在方向上的投影向量, ∴·＝,即； 法二：，∴·||·||||·||， 即； 小问2详解】 中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图: 易知因为E为中点， 所以， ，，, ∵＝x＋y,∴ ，解得：，所以： 法二： 在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 因为，所以， 又∵ 由平面向量基本定理得： ，解得：，所以： 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，． （1）证明：平面； （2）当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得，借助三角形全等得，再利用线面垂直的判定推理即得； （2）取PA中点，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判断性质求出线面角的正弦. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 显然，则，即， 由，，，得，则，即， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，，即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则，， 于是，，而， 则，，，于是， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面，于是， 而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为， 中，，， 且，则， 所以直线BD与平面夹角为. 19. 已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对． （1）对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由． （2）设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值． （3）在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值． 【答案】（1）不能，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合“变换”，逐次计算，得出规律，即可求解； （2）由变换得到或，分类讨论，求得的值，即可求解； （3）有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到有序数对也是形如的有序数对，得出有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12，进而得出变换的规律，即可求解. 【小问1详解】 解：对于有序数对， 不断进行“变换”：，，， 得到的有序数对分别为，，，，， 以下重复出现，所以不能得到有序数对． 【小问2详解】 解：由变换知：，，， 因为有序数对的三项之和为2024，且，所以，， 所以，故最大，即或， 当时，可得， 由，得，即， 所以，故； 当时，可得， 由，得，即， 所以，故． 综上可得，． 【小问3详解】 解：有序数对，将有序数对经过6次“变换”得到的有序数对分别为，， 由此可见，经过6次“变换”后得到的有序数对也是形如的有序数对， 与有序数对“结构”完全相同，但最大项减小12， 因为， 所以将有序数对经过次“变换”后得到的有序数对为， 经过“变换”后得到的有序数对分别为， 从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小， 所以当时，经过次“变换”得到的有序数对的三项之和均最小为4． 所以的最小值为505． 【点睛】方法点睛：对于的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$