椭圆讲义-2025届高考数学一轮复习

椭圆复习讲义-高考数学一轮复习专题 ( 高频考点梳理 ) 椭圆的定义 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点 椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 离心率 e＝（0＜e＜1） e＝（0＜e＜1） 准线 x＝± y＝± 椭圆的几何特征 1．椭圆的范围 2．椭圆的对称性 3．椭圆的顶点 顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点． 顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b） 其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．椭圆的离心率 ①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1． ②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样： e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2． 5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2． 求椭圆的离心率 椭圆的离心率e由公式计算，其中． 直线与椭圆的综合 直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则： 直线与椭圆相交⇔Δ＞0； 直线与椭圆相切⇔Δ＝0； 直线与椭圆相离⇔Δ＜0； 【解题方法点拨】 （1）直线与椭圆位置关系的判断方法 ①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断； ②借助直线和椭圆的几何性质来判断． 根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在． （2）弦长的求法 设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则|AB|＝＝（k为直线斜率） 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． （3）中点弦、弦中点常见问题 ①过定点被定点平分的弦所在直线的方程； ②平行弦中点的轨迹； ③过定点的弦的中点的轨迹． 解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点． （4）椭圆切线问题 ①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点； ②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切； ③过椭圆上一点只能作一条切线． （5）最值与范围问题的解决思路 ①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解； ②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解． 在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件． 椭圆的弦及弦长 椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段，弦长可以用椭圆的参数和弦的方程计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：利用椭圆的参数和弦的方程计算弦长． 2．联立方程，通过二次方程根与系数关系，求得弦长． 椭圆的焦点弦及焦半径 焦点弦是通过椭圆的焦点并且与椭圆交于两点的弦．焦半径是焦点到椭圆上某点的距离． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦长度：焦点弦的长度与焦点到弦中点的距离有关． 2．应用焦半径公式：利用焦点和椭圆的标准方程计算焦半径．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/11 23:13:56；用户：老师；邮箱：19375191752；学号：56382668 ( 清易错 ) 易错例题1．已知椭圆的焦点是F1，F2，且|F1F2|＝2，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C与直线y＝x+m交于M，N两点，且，求实数m的值． 【解答】解：（1）因为|F1F2|＝2c＝2， 所以c＝1， 因为椭圆的离心率e＝， 解得a＝2， 则b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3， 故椭圆C的方程为； （2）联立，消去y并整理得7x2+8mx+4m2﹣12＝0， 此时Δ＝64m2﹣28（4m2﹣12）＞0， 解得， 不妨设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由韦达定理得， 则 ＝， 因为， 所以， 解得m＝±2，满足， 故实数m的值为±2． 易错例题2．已知椭圆的离心率为C的上顶点，D为椭圆C上任意一点，且满足|PD|的最大值为4． （1）求椭圆C的方程； （2）已知．过点T的直线l（斜率存在且不为1）与椭圆C交于A，B两点．证明：MT平分∠AMB． 【解答】解：（1）由题知b＝2，又， 得到，解得a2≥8， 设D（x0，y0），则，又因为， 所以， 又y0∈[﹣2，2]，对称轴为，又a2≥8，所以，又， 所以，整理得到a4﹣16a2+64＝0，解得a2＝8， 所以椭圆方程为． （2）设直线l：y﹣1＝k（x+2）（k≠1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立y﹣1＝k（x+2）（k≠1）和，消y得到（1+2k2）x2+（8k2+4k）x+8k2+8k﹣6＝0， 由韦达定理得到， 设直线MB的倾斜角为α，直线MA的倾斜角为β，又因为，所以直线MT的倾斜角为， 则有，， 得到， 所以要证MT平分∠AMB，即证，也即证明， 即证kMB•kMA＝tanαtanβ＝1， 又 ＝ ＝ ＝， 所以MT平分∠AMB． ( 精选好题 ) 一．选择题（共8小题） 1．已知椭圆的右焦点为F，则E上满足的P点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知椭圆，则“a＝3”是“椭圆C的离心率为”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知F为椭圆E：的右焦点，直线mx﹣y+m＝0与椭圆交于点A，B，则△AFB的周长为（　　） A．4 B． C．8 D． 4．已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　） A．＝1 B． C． D． 6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知椭圆方程为＝1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．+＝1 D．＝1 8．已知F（1，0）为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，A（1，1），则|PA|+|PF|的最大值为（　　） A． B．6 C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知椭圆C：x2+4y2＝16的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的任意一点，则（　　） A．C的离心率为 B．|PF1|+|PF2|＝8 C．|PF1|的最大值为 D．使∠F1PF2为直角的点P有4个 （多选）10．已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（　　） A．△PF1F2的周长为 B．△PF1F2的面积的最大值为2 C．若A（1，0），则|PA|的最小值为 D．的最小值为 （多选）11．已知直线l：y＝kx（k≠0）交椭圆于A，B两点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与F2关于直线l的对称点为Q，则（　　） A．若k＝1，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C．l∥F1Q D．若直线BQ平行于x轴，则 三．填空题（共3小题） 12．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则x的取值范围是 　 　． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2．若P为椭圆上一点，且|PF1|•|PF2|＝14，则△F1PF2的面积为 　 　． 14．如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C相交于P，Q两点，|QF2|＝2|PF2|，cos∠PF2Q＝，则椭圆C的离心率为 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．如图所示，M、D分别为椭圆的左、右顶点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过M点作两条互相垂直的直线MA，MB与椭圆交于A，B两点，求△DAB面积的最大值． 16．已知椭圆C的两个焦点分别为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点作直线l交椭圆于M，N两点，Q是弦MN的中点，求直线l的方程． 17．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）经过点，且其右焦点F为（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点． （1）求椭圆C1的方程； （2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点N（n，0），使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由； （3）过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点． 18．已知椭圆C的方程为，其离心率为，F1，F2为椭圆的左右焦点，过F1作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为． （1）求椭圆C的方程； （2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D． ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． ②求△AOD面积的最大值． 19．已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线AP、QB的斜率分别为k1、k2，且k1＝λk2，求λ的值； （3）设△PQB和△PQA的面积分别为S1、S2，求|S1﹣S2|的最大值． 椭圆复习讲义-高考数学一轮复习专题 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．已知椭圆的右焦点为F，则E上满足的P点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：椭圆的右焦点为F（1，0）， 设P（x，y），由，得（x﹣1）2+y2＝3， 由，消去y得x2﹣8x+4＝0， 而﹣2≤x≤2，解得， 当时，对应的y值有2个，所以E上满足的P点有2个． 故选：B． 2．已知椭圆，则“a＝3”是“椭圆C的离心率为”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由椭圆C的方程可得， ①当a＞1时，可得，此时椭圆的离心率为， 由可得，，解得a＝3， 当0＜a＜1时，可得，此时椭圆的离心率为， 由可得，，解得； ②当a＝3时，则椭圆C的方程为，则此时， 此时椭圆C的离心率为， 综上得，a＝3是椭圆C的离心率为的充分不必要条件． 故选：A． 3．已知F为椭圆E：的右焦点，直线mx﹣y+m＝0与椭圆交于点A，B，则△AFB的周长为（　　） A．4 B． C．8 D． 【解答】解：∵直线mx﹣y+m＝0恒过的定点F1（﹣1，0）为椭圆E的左焦点， 由椭圆的定义知△AFB的周长为|AF|+|AB|+|BF|＝|AF|+|AF1|+|BF1|+|BF|＝2a+2a＝4a＝8． 故选：C． 4．已知椭圆的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题得t﹣4＞10﹣t＞0，可得7＜t＜10， 因为焦距为4，所以t﹣4﹣（10﹣t）＝4，解得t＝9， 所以椭圆的离心率为＝． 故选：B． 5．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　） A．＝1 B． C． D． 【解答】解：法一：由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n， ∴|AF1|＝2a﹣|AF2|＝2n． 在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得， 又∠AF2F1，∠BF2F1互补，∴cos∠AF2F1+cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1， 得3n2+6＝11n2，解得． ∴， ∴所求椭圆方程为， 故选：B． 法二：如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n， 由椭圆的定义有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a﹣|AF2|＝2n． 在△AF1B中，由余弦定理推论得． 在△AF1F2中，由余弦定理得，解得． ∴， ∴所求椭圆方程为， 故选：B． 6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为MF1⊥MF2，故M在F1F2为直径的圆上，即x2+y2＝c2， 圆在椭圆内部，故c＜b，， 故． 故选：B． 7．已知椭圆方程为＝1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．+＝1 D．＝1 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得，． 两式相减可得：+＝0． 由x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝，代入上式可得： ＝0，化为a2＝3b2． 又c＝4，c2＝a2﹣b2，联立解得a2＝24，b2＝8． ∴椭圆的方程为：+＝1． 故选：C． 8．已知F（1，0）为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，A（1，1），则|PA|+|PF|的最大值为（　　） A． B．6 C． D． 【解答】解：由于椭圆的焦点为F（1，0），所以c＝1且焦点在x轴上，则9＞m＞0， 且，m＝8，所以椭圆方程为， 所以，设左焦点为F1， 根据椭圆的定义得， 当P是AF1的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以|PA|+|PF|的最大值为． 故选：A． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知椭圆C：x2+4y2＝16的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的任意一点，则（　　） A．C的离心率为 B．|PF1|+|PF2|＝8 C．|PF1|的最大值为 D．使∠F1PF2为直角的点P有4个 【解答】解：由原方程可得椭圆标准方程为， ∴，∴，故A错误； 由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝8，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段F1F2为直径的圆（因为b＜c＜a）与C有4个交点，故满足∠F1PF2为直角的点P有4个，故D正确． 故选：BCD． （多选）10．已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（　　） A．△PF1F2的周长为 B．△PF1F2的面积的最大值为2 C．若A（1，0），则|PA|的最小值为 D．的最小值为 【解答】解：A．△PF1F2 的周长l＝|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2+4，故A正确； B．∵点P（x0，y0）是椭圆C上异于左、右顶点的一点，∴0＜|y|≤1，∴△PF1F2 的面积＝|F1F2||y|＝2|y|≤2，故B正确； C．|PA|＝＝＝，∴|PA|min＝，故C错误； D．当直线y＝k（x+4）与椭圆C相切时，联立， 化为（ 1+5k2）x2+40k2x+80k2﹣5＝0， ∴Δ＝（40k2）2﹣4（5k2+1）（80k2﹣5）＝0，解得 ， ∴ 的最小值为 ，故D正确． 故选：ABD． （多选）11．已知直线l：y＝kx（k≠0）交椭圆于A，B两点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与F2关于直线l的对称点为Q，则（　　） A．若k＝1，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C．l∥F1Q D．若直线BQ平行于x轴，则 【解答】解：如图，直线l与QF2交于G， 对于A，若k＝1，则Q（0，c），所以b＝c， 所以，故A正确； 对于B，设A（x0，y0），则B（﹣x0，﹣y0），且即， 所以， 所以，故B错误； 对于C，由题意可知OG是中位线，故l∥F1Q，故C正确； 对于D，设点B（x0，y0），则直线， 因为直线BQ平行于x轴，所以点Q（﹣x0，y0），FQ的中点， 所以由点G在直线l上且得， 解得，即， 因此，故D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则x的取值范围是 　（1，2）　． 【解答】解：方程表示焦点在x轴上的椭圆， 则， 即1＜m＜2． 故答案为：（1，2）． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2．若P为椭圆上一点，且|PF1|•|PF2|＝14，则△F1PF2的面积为 　7　． 【解答】解：∵椭圆， ∴a＝4，b＝，c＝＝3， ∴|PF1|+|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝6， ∴cos∠F1PF2＝＝＝＝0， 可得∠F1PF2＝， ∴sin∠F1PF2＝1． 故△F1PF2的面积为：×|PF1|•|PF2|＝14＝7． 故答案为：7． 14．如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C相交于P，Q两点，|QF2|＝2|PF2|，cos∠PF2Q＝，则椭圆C的离心率为 　　． 【解答】解：设|PF2|＝m，由椭圆的定义及题意可得|PF1|＝2a﹣m，|QF2|＝2m， |QF1|＝2a﹣2m，|PQ|＝|QF1|+|PF1|＝4a﹣3m， 在△PQF2中，cos∠PF2Q＝， 由余弦定理可得：cos∠PF2Q＝＝， 解得m＝a， |PF1|＝，|PF2|＝， 所以|PQ|＝，|QF2|＝，则∠QPF2＝∠PF2Q， 可得cos∠QPF2＝cos∠PF2Q＝， 在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2＝＝， 整理可得：2a2＝5c2，可得e＝＝． 故答案为：． 四．解答题（共7小题） 15．如图所示，M、D分别为椭圆的左、右顶点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过M点作两条互相垂直的直线MA，MB与椭圆交于A，B两点，求△DAB面积的最大值． 【解答】解：（1）由已知可得：，解得：a＝2，， ∴椭圆的方程为：． （2）∵M（﹣2，0）， 设AB的直线方程为：x＝ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程：， 整理得：（t2+4）y2+2mty+m2﹣4＝0， ∴，， ∵， ∴（x1+2）（x2+2）+y1y2＝0⇒x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2＝0， （ty1+m）（ty2+m）+2（ty1+ty2+2m）+4+y1y2＝0， 即，， 则（t2+1）（m2﹣4）﹣2m2t2﹣4mt2+（m2+4m+4）（t2+4）＝0， 则（t2m2﹣4t2+m2﹣4）﹣2m2t2﹣4mt2+m2t2+4m2+4mt2+16m+4t2+16＝0， 整理得5m2+16m+12＝0，解得或m＝﹣2（舍去）， ∴， ∴， ∴， 令， 则， 由对勾函数单调性知，， 所以，当且仅当u＝8时，即t＝0时等号成立， 此时S△DAB最大值为． 16．已知椭圆C的两个焦点分别为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点作直线l交椭圆于M，N两点，Q是弦MN的中点，求直线l的方程． 【解答】解：（1）椭圆C的两个焦点分别为， 设椭圆C的标准方程为，且， 则a2＝b2+c2＝b2+3①， 又椭圆C过点，所以②， 联立①②，解得a2＝4，b2＝1， 所以椭圆C的标准方程为． （2）由题意可知直线l的斜率存在，且直线l过点， 设直线l的方程为，即， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则，消去y得， ， 所以， 又是弦MN的中点，所以，解得k＝﹣2， 故直线l的方程为2x+y﹣2＝0． 17．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）经过点，且其右焦点F为（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点． （1）求椭圆C1的方程； （2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点N（n，0），使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由； （3）过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点． 【解答】解：（1）因为椭圆C1右焦点为（1，0），且经过点， 所以， 解得， 则椭圆C1的方程为； （2）不妨设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），k≠0， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 此时Δ＝（﹣8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＞0恒成立， 不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为R（x0，y0）， 易得， 此时， 因为， 所以， 此时直线NR为直线PQ的垂直平分线，直线NR的方程为， 令y＝0， 解得， 即N点的横坐标为， 因为k2∈（0，+∞）， 所以， 可得， 故线段OF上存在点N（n，0），使得，其中； （3）证明：不妨设直线AB的方程为y＝k（x﹣4），k≠0， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0， 因为过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点， 所以Δ＝（﹣32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0， 解得， 不妨设A（x3，y3），B（x4，y4），E（x4，﹣y4）， 由韦达定理得，， 此时直线AE的方程为， 令y＝0， 解得＝ ＝， 因为当直线AB斜率为0时，直线AE也过点（1，0）． 所以直线AE过定点（1，0）． 18．已知椭圆C的方程为，其离心率为，F1，F2为椭圆的左右焦点，过F1作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为． （1）求椭圆C的方程； （2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D． ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． ②求△AOD面积的最大值． 【解答】解：（1）由题△ABF2的周长，可得， 又，则c＝2，b2＝a2﹣c2＝8，故椭圆的方程为． （2）①由题，设直线AD为x＝ty+m且t≠0，A（x1，y1），D（x2，y2），B（x2，﹣y2）， 联立方程可得：，化简可得：（2t2+3）y2+4mty+2m2﹣24＝0． Δ＝16m2t2﹣8（2t2+3）（m2﹣12）＝24（8t2﹣m2+12）＞0， ∴，， ∵A，B，F1共线，则有，化简可得2ty1y2+（m+2）（y1+y2）＝0， 即，化简可得mt+6t＝0恒成立． ∴m＝﹣6，即直线AD的方程为x＝ty﹣6恒过定点（﹣6，0）． ②设直线AD恒过定点记为M（﹣6，0）， 由上Δ＝24（8t2﹣m2+12）＝24×8（t2﹣3）＞0，可得t2＞3， ∴，• ＝， 令，则， 当且仅当，即时，取等号． ∴△AOD面积的最大值为． 19．已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线AP、QB的斜率分别为k1、k2，且k1＝λk2，求λ的值； （3）设△PQB和△PQA的面积分别为S1、S2，求|S1﹣S2|的最大值． 【解答】解：（1）因为A（﹣a，0），B（a，0），所以， 由可得，解得a＝2， 因为离心率为，则，又a2＝b2+c2，则b2＝1， 所以椭圆C的方程为：； （2）由题可知：点在椭圆内，直线PQ与椭圆必相交， 且直线PQ的斜率可以不存在，但不为0， 设直线PQ的方程为，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立方程，消去x可得， 则Δ＝t2+15（t2+4）＞0， 由根与系数的关系可得：，则， 所以 ＝， 即，所以λ＝； （3）由（2）可知：， 所以 ＝＝＝＝， 因为t2≥0，则， 因为函数在上单调递增， 故， 所以，当且仅当t＝0时，等号成立， 因此，|S1﹣S2|的最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$