精品解析：江苏省南通市海安市2024-2025学年高三上学期开学数学试题

2025届高三期初学业质量监测试卷 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得. 【详解】解不等式，得， 所以. 故选：B 2. 已知命题，则：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论. 【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以：. 故选：C 3. 函数在区间上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可. 【详解】，即， 设，则单调递减， 且 故存在唯一一个使 故在上，，此时单调递减； 在上，，此时单调递增； 故在区间上先减后增. 故选：D 4. 已知函数，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式，代入验证即可得答案. 【详解】因为，而， 所以. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得，则， 则. 故选：D. 6. 设，函数，则“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 不充分不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的性质确定不等式成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可； 【详解】因为关于x的不等式的解集为，则， 可得恒成立，故充分性成立； 取，满足恒成立， 但的解集为，故必要性不成立； 所以“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设切点切点横坐标为，由题意列出的关系，进而得到，再由二次函数求最值即可. 【详解】设切点横坐标为，求导： 得， 由题意可得解得：， 所以， 所以时，的最大值为. 故选:C 8. 若函数的3个零点由小到大排列成等差数列，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为和的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中项求解. 【详解】令可得， 在同一直角坐系中作出和的图象如下： 要使有3个零点，则， 由图可知：有一个零点，有2个零点，且， 即有一个零点，有2个零点，且 故，， 由于，故， 化简可得，平方解得， 由于，故， 故选：B 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个数； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数； (3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列曲线平移后可得到曲线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像的平移变换可判断ABD，根据图像的伸缩变换可判断C. 【详解】对于A，曲线向右平移3个单位可得到曲线，故A正确； 对于B，曲线向上平移3个单位可得到曲线，故B正确； 对于C，曲线横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线，故C错误； 对于D，曲线，向左平移个单位可得到曲线，故D正确； 故选：ABD 10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（ ） A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D. 若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 【答案】BC 【解析】 【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D. 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意有，解得， 所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故B正确； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即, 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 又因为，所以， 因为，所以, 当时，采光效果不变， 所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D错误. 故选：BC. 11. 设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论正确的是（ ） A. 若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0 B. 若不具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数不存在 C. 若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对 D. 若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例，即可判断B选项；通过构造，即可判断C选项；通过构造，即可判断D选项. 【详解】对于A，，则， 当为奇函数时，则，即； 当为偶函数时，则，即， 即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正确； 对于B，当，时，不具有奇偶性， 满足的奇函数与偶函数存在，故B错误； 对于C，为奇函数时，令奇函数，偶函数，则， ，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故C正确； 对于D，为偶函数，令奇函数，偶函数，则， ，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可. 【详解】设，则. 在上任取一点， 则函数在该点处的切线方程为：即. 只要不同，切线方程就不同. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则______________（用x表示），当的面积最大时，______________． 【答案】 ①. . ②. 【解析】 【分析】结合图形，折叠后易得，设，利用，即可求得的表示式；依题意，求出的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时的值. 【详解】 如图2是图1沿着折叠后的图形，因，则， 因矩形的周长为24，则，对折后,易得, 设，则,在中，由勾股定理，， 整理得，即 的面积为， 因，则当且仅当时，， 此时时，. 故答案为：；. 14. 已知a为常数，且．定义在上的函数满足：，且当时，，则______________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，先求出，再赋值得到，将转化为，运用不等式传递性，得到恒成立，只能.解方程即可. 【详解】时，，则. 因为，定义在上的函数满足：． 令，得到，即. 由于，则. 则要使得式子恒成立，则，解得或或者. 由于，则. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，设，， 所以， 则， 则， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则， 则， 则， 又，平面， 所以平面， 故为平面的一个法向量， 又平面的法向量为， 则平面与平面的夹角的余弦值为 ， 又平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，故. 16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①；②． （1）请你在①和②中任选一个进行证明； （2）在中，已知，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明； 若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明； （2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得，再利用面积公式求解. 【小问1详解】 若选①，证明如下： . 若选②，证明如下： . 【小问2详解】 由已知， 可得， 即， 即， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以的面积. 17. 分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点． （1）当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率； （2）求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率； （2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由可知,椭圆上顶点为，即, 直线的斜率为，则直线的方程为：， 将其代入整理得，，解得，或， 因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：； 【小问2详解】 如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和， 利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半. 显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为 代入，整理得：，显然， 设，则， 于是， ， 点到直线的距离为， 则四边形的面积为， 令，则，且，代入得，， 因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时. 18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求： （1）概率； （2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望； （3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率． 【答案】（1）， （2）X分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出； （2）求出的可能取值范围及对应的概率，求出； （3）分蓝方击中、和次三种情况讨论，结合条件概率即可求解. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 的可能取值为， 因为，， ， 所以分布列为： 所以； 【小问3详解】 先考虑四轮后对抗结束的概率： 若红方多击中两次，则分为：①若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为， ②若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为， ③若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为， 所以四轮后对抗结束且红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为； 若蓝方多击中两次，则分为：①若红方击中次，则蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为， ②若红方击中次，则蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为， ③若红方击中次，则蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为， 所以四轮后对抗结束且蓝方比红方多击中对方目标两次的概率为； 所以在4轮对抗后训练结束的概率为， 所以在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为 . 19. （1）函数与的图象有怎样的关系?请证明； （2）是否存在正数c，对任意的，总有？若存在，求c的最小值；若不存在，请说明理由； （3）已知常数，证明：当x足够大时，总有． 【答案】（1）关于直线对称，证明见解析；（2）存在，；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明. （2）由零点，可得，再构造函数，利用导数证明时不等式恒成立. （3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得. 【详解】（1）函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 令为函数图象上任意一点，即，则，因此点在函数的图象上， 反之亦然，而点与关于直线对称， 所以函数与的图象关于直线对称. （2）存在正数，对任意的，恒成立， 令，显然， 根据指数函数与幂函数的增长特征，在上恒有， 当时，求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 因此，； 令，求导得，函数在上单调递增， ，因此函数在上单调递增，， 所以存在正数c，对任意的，总有，. （3），不妨令，则不等式， 令，求导得， 当时，；当， 函数在上单调递增；在上单调递减， 当时，，， 当时，由，得是函数的一个零点， 又，而趋近于正无穷大时，趋近于， 因此存在大于的正数，使得，当时，， 所以对于，存在正数，使得，恒有； ，不妨令，，不等式， 令，则函数在上单调递增；在上单调递减，， 令，求导得，函数在上单调递增，值域为， 存在，使得，当，即时，，恒成立， 当，即时，函数有两个零点， 对于，恒成立，因此对于，存在正数，使得，恒成立， 取，对于任意的，成立， 所以当x足够大时，总有. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三期初学业质量监测试卷 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则：（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增 4. 已知函数，则（   ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 9 6. 设，函数，则“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 不充分不必要 7. 已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 8. 若函数的3个零点由小到大排列成等差数列，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列曲线平移后可得到曲线的是（ ） A. B. C. D. 10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（ ） A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D. 若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 11. 设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论正确的是（ ） A. 若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0 B. 若不具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数不存在 C. 若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对 D. 若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个______． 13. 已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则______________（用x表示），当的面积最大时，______________． 14. 已知a为常数，且．定义在上的函数满足：，且当时，，则______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①；②． （1）请你在①和②中任选一个进行证明； （2）在中，已知，求的面积． 17. 分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点． （1）当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率； （2）求四边形的面积的最大值． 18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求： （1）概率； （2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望； （3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率． 19. （1）函数与的图象有怎样的关系?请证明； （2）是否存在正数c，对任意的，总有？若存在，求c的最小值；若不存在，请说明理由； （3）已知常数，证明：当x足够大时，总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $