8.2.3 倍角公式课件 2024-2025学年高 一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.2.3　倍角公式 课标定位素养阐释 1.理解二倍角公式的推导过程,知道倍角公式与和角公式之间的内在联系. 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换. 3.培养数学运算、逻辑推理素养. 自主预习 新知导学 倍角公式 1.用α的三角函数如何表示sin 2α,cos 2α,tan 2α? 提示:将2α看作α+α,利用两角和的三角公式展开整理即可. 如cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos2α-sin2α. 2.(1)倍角公式: 记法 公式 S2α sin 2α=2sin αcos α C2α cos 2α=cos2α-sin2α T2α tan 2α= (2)公式变形: ① 3.(1)sin 15°cos 15°=　　　　　;  (2)1-2sin215°=　　　　　;  【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　) (2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(　　) (3)不存在角α,使cos 2α=2cos α.(　　) × √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 给角求值 【例1】 求下列各式的值. 分析:(1)逆用二倍角的正切公式求解. (2)先将sin 10°·sin 30°sin 50°sin 70°变换为 ,再将分子、分母都乘cos 10°,反复逆用二倍角的正弦公式即可得解. (3)先切化弦,再综合应用和角、差角公式及二倍角公式求解. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 化简:cos αcos 2αcos 4α·…·cos 2n-1α. 探究一 探究二 探究三 规范解答 所给角为非特殊角时,要仔细观察这些角之间的关系,特别注意角的和、差、倍关系.利用同角三角函数关系式与诱导公式进行函数间的转化是常用方法. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练1】 化简求值. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究二 给值求值 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 给值求值问题,注意寻找已知式与未知式的关系,一般有以下两种解题方向: (1)将已知式或未知式化简,使关系明朗化. (2)寻找角之间的关系,看是否符合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究三 化简问题 分析:(1)通分后逆用公式化简; (2)先切化弦,注意角的关系. 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.化简三角函数式的常用方法: (1)切化弦;(2)异名化同名;(3)异角化同角;(4)高次降低次. 2.化简三角函数式的常用技巧: (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化; (2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分; (3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用; (4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等; (5)利用“1”的恒等变形,如tan 45°=1,sin2α+cos2α=1等. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练3】 化简下列各式: 探究一 探究二 探究三 规范解答 答案:(1)sin α-cos α　(2)0 探究一 探究二 探究三 规范解答 规范解答 三角函数综合问题的求解 审题策略:先化简函数f(x)的解析式,再根据x的范围求最值及单调递减区间. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 答题模板:第1步,化简f(x)的解析式为f(x)=Asin(ωx+φ)+B型. 第2步,求ωx+φ的范围. 第3步,根据y=sin x的性质求f(x)的最值及单调区间. 第4步,得到结论. 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.化简f(x)错误,导致整个解题过程错误. 2.忽视x的范围对f(x)最值及单调区间的制约. 3.计算错误. 4.未用区间表示单调递减区间. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练】 求函数y=sin4x+2 sin xcos x-cos4x的最小正周期和最小值,并写出该函数在区间[0,π]上的单调递减区间. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 随堂练习 1.sin 22°30'·cos 22°30'的值为(　　) 答案:B 答案:A 答案:ACD ②sin αcos α=sin 2α,cos α=. ③1±sin 2α=(sin α±cos α)2.  答案:(1)　(2)　(3) (3)=　　　　　.  (1); (2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°; (3). 解:(1)=tan(2×150°)=tan 300°=-tan 60°=-. (2)原式=. =sin 50°·(1+) =sin 50°· =sin 50°· =sin 50° ==1, sin 80°=cos 10°cos210°, ∴原式=. 解:原式 =. (1)cos4-sin4; (2)sincoscos; (3)1-2sin2750°; (4)tan 150°+. 解:(1)cos4-sin4 = =cos α. (2)原式=cos =sincos = =sin =. (3)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=. (4)原式==-=-. 【例2】 已知α∈,sin α=. (1)求sin的值; (2)求cos的值. 解:(1)因为α∈,sin α=, 所以cos α=-=-. 故sin=sincos α+cossin α==-. (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×=-, cos 2α=1-2sin2α=1-2×, 所以cos=coscos 2α+sinsin 2α==-. 【变式训练2】 已知tan,tan(β-)=-,求tan(α+β)的值. 解:因为α-+β-, 所以tan=tan===, 所以tan(α+β)===. 【例3】 化简:(1); (2). 解:(1)原式==tan 2θ. (2)原式==1. (1)若<α<,则=　　　　　;  (2)若α为第三象限角,则=　　　　　.  解析:(1)∵α∈, ∴sin α>cos α, ∴== =sin α-cos α. (2)∵α为第三象限角,∴cos α<0,sin α<0, ∴=0. 【典例】 求函数f(x)=5cos2x+sin2x-4sin xcos x,x∈的最小值,并求其单调递减区间. 规范展示:f(x)=5-2sin 2x=3+2cos 2x-2sin 2x =3+4=3+4(sincos 2x-cossin 2x) =3+4sin(-2x)=3-4sin(2x-),∵≤x≤,∴≤2x-, ∴sin, ∴当2x-,即x=时, f(x)取最小值为3-2. ∵y=sin在区间上单调递增, ∴f(x)的单调递减区间为. 解:因为y=sin4x+2sin xcos x-cos4x =(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+2sin xcos x =-cos 2x+sin 2x =2 =2sin, 所以最小正周期T==π,ymin =-2. 由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z, 又x∈[0,π], 所以令k=0, 得函数在区间[0,π]上的单调递减区间为. A. B. C.- D. 解析:原式=×2sin 22°30'·cos 22°30'=sin 45°=. 2.已知sin x=,则cos 2x的值为(　　) A. B. C. D. 解析:cos 2x=1-2sin2x=1-2×. 3.(多选题)下列等式成立的是(　　) A.cos215°-sin215°= B.sin 40°+cos 40°=sin 70° C.sincos D.tan 15°=2- 解析:原式=. 答案: 4.=　　　　　.  解析:原式=cos2-sin2=cos. 答案: 5.若tan α=2,则=　　　　　.  6.已知sinsin,且α∈,求tan 4α的值. 解:因为sin=sin=cos(+α),则已知条件可化为sincos, 即sin,所以sin,所以cos 2α=. 因为α∈,所以2α∈(π,2π),从而sin 2α=-=-, 所以tan 2α==-2,故tan 4α==-. $$