8.2.4 三角恒等变换的应用（第2课时 积化和差与和差化积公式）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

人教B版 数学 必修第三册 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.2.4　三角恒等变换的应用 第2课时　积化和差与和差化积公式 课标定位素养阐释 1.能根据公式Sα±β和Cα±β推导出积化和差与和差化积公式. 2.了解三角变换在解决有关数学问题中所起的作用,进一步体会三角变换的特点. 3.培养逻辑推理和数学运算素养. 自主预习 新知导学 一、积化和差公式 1.在公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β和sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β中,能否用sin(α+β)和sin(α-β)表示sin αcos β,cos αsin β? 提示:能.将sin αcos β和cos αsin β看作未知数,解方程组可得. 2.积化和差公式: 3.(1)sin 15°sin 105°=　　　　　;  (2)cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°=　　　　　.  二、和差化积公式 1.借助于积化和差公式,我们可以把正弦、余弦的积的形式化为正弦或余弦的和或差的形式,那么已知正弦或余弦的和或差的形式,能否化为正弦或余弦的积的形式? 提示:对于Acos x+Bcos y或Asin x+Bsin y,只要A=B,就可以化为积的形式. 2.和差化积公式: 3.求下列各式的值: (1)sin 54°-sin 18°; (2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)sin(A+B)+sin(A-B)=2sin Acos B.(　　) (2)sin(A+B)-sin(A-B)=2cos Asin B.(　　) (3)cos(A+B)+cos(A-B)=2cos Acos B.(　　) (4)cos(A+B)-cos(A-B)=2cos Acos B.(　　) √ √ √ × 合作探究 释疑解惑 探究一 求值问题 【例1】 求下列各式的值: (1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°; (2)sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. 分析:利用和、积互化公式变形求解. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 求解给角求值问题需正确地选用公式,相约(相消)去掉非特殊角的三角函数,从而化为特殊角的三角函数. 探究一 探究二 探究三 规范解答 【变式训练1】 求下列各式的值. (2)cos271°+cos 71°cos 49°+cos249°. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究二 化简问题 【例2】 化简:4sin(60°-θ)sin θsin(60°+θ). 分析:需化简的式子是乘积的形式,可考虑应用积化和差公式,同时注意(60°-θ)+(60°+θ)=120°. 解:原式=2sin θ [2sin(60°-θ)sin(60°+θ)] =-2sin θ[cos 120°-cos(-2θ)] =sin θ+2sin θcos 2θ =sin θ+(sin 3θ-sin θ) =sin 3θ. 探究一 探究二 探究三 规范解答 化简:cos(270°+θ)cos(30°+θ)cos(30°-θ). 解:原式=sin θsin(60°-θ)sin(60°+θ),结合例2知,结果为 sin 3θ. 探究一 探究二 探究三 规范解答 用积化和差公式化简三角函数式时,若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化和时,应选择两角和或差是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行积化和差. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究三 三角恒等式的证明 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.证明三角恒等式就是借助于三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,消除等式左右两边的差异. 2.若所证等式同时含有三角形的三个内角,则应根据三角形内角和定理,从换去某角开始,到换回此角结束. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 规范解答 三角变换的综合应用 【典例】 已知f(x)=cos2(x+θ)-2cos θcos x·cos(x+θ)+cos2θ,求f(x)的最大值、最小值和最小正周期. 审题策略:要求f(x)的最小正周期,则f(x)的表达式必须化为f(x)=Acos(ωx+φ)+B的形式. 探究一 探究二 探究三 规范解答 答题模板:第1步,将次数高的三角函数降幂. 第2步,和差化积、积化和差变换. 第3步,将f(x)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(或f(x)=Acos(ωx+φ)+B)型. 第4步,求最大值、最小值和最小正周期. 探究一 探究二 探究三 规范解答 1.变形化简错误,导致函数的解析式错误. 2.公式应用错误. 3.未化简到最简形式,错用有关的周期公式. 探究一 探究二 探究三 规范解答 探究一 探究二 探究三 规范解答 随堂练习 答案:C 答案:B 答案:BC 4.sin 105°cos 75°=　　　　　.  cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]; sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. 答案:(1)　(2) 解析:(1)原式=-[cos(15°+105°)-cos(15°-105°)]=. (2)cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°=cos 10°×[cos(50°+70°)+cos(50°-70°)] =cos 10°·(-+cos 20°)=-cos 10°+cos 10°cos 20° =-cos 10°+[cos(10°+20°)+cos(10°-20°)] =-cos 10°+=-cos 10°+cos 10°=. cos x+cos y=2coscos; cos x-cos y=-2sinsin; sin x+sin y=2sincos; sin x-sin y=2cossin. 解:(1)sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=2×. (2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73° =2cos 120°cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°) =2××cos 26°++cos 26° =-cos 26°++cos 26° =-. 解:(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50° =(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°) =sin 50°+cos 40° =sin 50°+sin 50° =. (2)原式=cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° =cos 10°cos 50°cos 70° = =cos 70°+cos 40°cos 70° =cos 70°+(cos 110°+cos 30°) =cos 70°+cos 110°+ =. (1)cos+cos+cos; 解:(1)原式 = = = =-. (2)原式 =(cos 120°+cos 22°)+ cos 142°-cos 22°+cos 98°=(cos 142°+cos 98°)+cos 22° =+cos 120°cos 22°+cos 22°=. =-2sin θ 【变式训练2】 化简:. 解:原式==tan. 【例3】 在△ABC中,求证:sin A+sin B-sin C=4sinsincos. 证明:左边=sin(B+C)+2sin·cos=2sincos+2sincos=2cos=4sinsincos=右边, 故原等式成立. 【变式训练3】 在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4coscoscos. 证明:∵A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B),即=90°-,∴cos=sin. ∴sin A+sin B+sin C =2sin·cos+sin(A+B) =2sin·cos+2sin·cos =2sin =2cos·2cos·cos =4coscoscos, ∴原等式成立. 规范展示:∵f(x)=cos2(x+θ)-2×[cos(x+θ)+cos(θ-x)]cos(x+θ)+cos2θ =cos2(x+θ)-cos2(x+θ)-cos(x+θ)cos(θ-x)+cos2θ =cos2θ-cos(x+θ)·cos(θ-x)=cos2θ-(cos 2θ+cos 2x) =cos 2θ-cos 2x=-cos 2x+, ∴f(x)的最大值为1,最小值为0,最小正周期为π. 【变式训练】 求函数y=cos2+sin2(x+)-1的最小正周期. 解:∵y=1+cos 2x-+1-cos 2x+-1 =cos2x--cos2x+=sin·sin 2x=sin 2x, ∴最小正周期T==π. 1.sincos的值是(　　) A.1- B.(2+) C.(2-) D.-1) 解析:sincos[sin+sin()]=(2-), 故选C. 2.sin(45°+A)-sin(45°-A)可化简为(　　) A.-sin A B.sin A C.sin A D.-sin A 解析:sin(45°+A)-sin(45°-A)=2cos·sin=2cos 45°sin A=sin A. 3.(多选题)对于函数f(x)=cos2x-+sin2x+-1,下列说法正确的是(　　) A.最大值为1 B.最小正周期为π C.奇函数 D.无单调递增区间 解析:sin 105°cos 75°=(sin 180°+sin 30°)=. 答案: 5.函数y=sincos x的最大值为　　　　　.  解析:∵y=sincos x=sin(2x-)-, ∴ymax=. 答案: 6.已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求sin(α+β)的值. 解:∵cos α-cos β=,∴-2sinsin.① 又sin α-sin β=-, ∴2cossin=-.② ∵sin≠0,∴由①②,得-tan=-, 即tan.∴sin(α+β)==. $$