湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期（9月）综合自主测试数学试题

雅礼中学2025届高三综合自主测试（9月） 数学 时量：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2. 已知，则（ ）. A. B. C. 2 D. 1 3. 已知的图象与直线在区间上存在两个交点，则当最大时，曲线的对称轴为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若平面单位向量，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ） A. B. C. D. 7. 已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，线段的中点为，且，若点在抛物线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，直线，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ） A. 存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形 B. 当时，三棱锥体积 C. 当时，三棱锥的外接球表面积为 D. 当时，直线与平面所成的角的正弦值为 11. 已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为______. 13. 已知是定义域为的奇函数.若以点为圆心，半径为2的圆在x轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为___________. 14. 如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则____________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为，参观科技展的学生中女生占． （1）根据已知条件，填写下列列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关． 参观科技展 未参观科技展 合计 男生 女生 合计 （2）用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示女生人数，求的分布列和数学期望． 参考公式和数据：，其中． 0．1 0．05 0．025 0．01 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 10．828 16. 在中，角，的对边分别为，的面积为，． （1）求角． （2）若面积为，，为边的中点，求的长． 17. 如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）． （1）求证：． （2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角余弦值；若不存在，说明理由． 18. 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射） （1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． （2）设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标． 19. 已知函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间． （2）若的极大值为，求的取值范围． （3）当时，求证：． 雅礼中学2025届高三综合自主测试（9月） 数学 时量：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】6 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1）列联表见解析，与性别有关 （2）分布列见解析， 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【18题答案】 【答案】（1）为双曲线的一部分，解析式为 （2）或 【19题答案】 【答案】（1），单调递减区间，单调递增区间是 （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$